（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義11 直線的方程（原卷版）

第第頁§2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2．3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.會(huì)根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)1．兩直線的交點(diǎn)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點(diǎn)A(a，b)．(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行1．若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解．(√)2．無論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交．(×)3．若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交．(×)4．在兩直線斜率都存在的情況下，若斜率不相等，則兩直線相交．(√)一、求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)例1(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,3)且經(jīng)過直線l1：x＋3y－4＝0與l2：5x＋2y＋6＝0的交點(diǎn)的直線方程；(2)求經(jīng)過兩條直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線方程．反思感悟求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l1：3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點(diǎn)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))(2)經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0二、直線系過定點(diǎn)問題例2無論m為何值，直線l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒過一定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．反思感悟解含參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題的策略(1)方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解．(2)方法二：含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(diǎn)(x0，y0)．跟蹤訓(xùn)練2已知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1，求證：無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限．對(duì)稱問題典例光線通過點(diǎn)A(2,3)，在直線l：x＋y＋1＝0上反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)，試求入射光線和反射光線所在直線的方程．[素養(yǎng)提升]對(duì)稱問題中的直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)可以通過直觀想象理解對(duì)稱問題中的點(diǎn)線位置關(guān)系．(2)直線的對(duì)稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，其中的點(diǎn)、直線可以通過數(shù)學(xué)運(yùn)算確定．1．兩條直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,2) B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)2．直線2x＋y＋1＝0與直線x－y＋2＝0的交點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．不論m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒過定點(diǎn)()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)4．斜率為－2，且過兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點(diǎn)的直線方程為______________．5．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一點(diǎn)，則k＝________.1．知識(shí)清單：(1)兩條直線的交點(diǎn)．(2)直線過定點(diǎn)．2．方法歸納：消元法、加減消元法、直線系法．3．常見誤區(qū)：對(duì)兩直線相交條件認(rèn)識(shí)模糊：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0.1．直線x＝1和直線y＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(2,2)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,1)2．直線3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(－4，－3) B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)3．經(jīng)過直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)，且經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程是()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝04．兩條直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值是()A．－24B．6C．±6D．245．當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒過一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是()A．(2,3) B．(－2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)6．過兩直線2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為________．7．三條直線ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為________．8．已知直線ax＋2y－1＝0與直線2x－5y＋c＝0垂直相交于點(diǎn)(1，m)，則a＝________，c＝________，m＝________.9．求經(jīng)過直線l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x－y＋7＝0的直線方程．10．若兩條直線l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交點(diǎn)在第四象限，求k的取值范圍．11．直線kx＋y＋1＝2k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)()A．(2，－1) B．(－2，－1)C．(2,1) D．(－2,1)12．若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是()A．a(chǎn)＝1或a＝－2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠－2 D．a(chǎn)≠±1且a≠－213．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，則b＝________.14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直線l：ax－y－2＝0與線段AB恒相交，則a的取值范圍為________．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在直線方程為()A．y＝2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x－3C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝016．直線l過定點(diǎn)P(0,1)，且與直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分別交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程．2．3.2兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩點(diǎn)間距離公式并會(huì)應(yīng)用.2.用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問題．知識(shí)點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)．(2)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).1．點(diǎn)P1(0，a)，點(diǎn)P2(b，0)之間的距離為a－b.(×)2．當(dāng)A，B兩點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸平行或垂直時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式不適用．(×)3．點(diǎn)P1(x1，y1)，點(diǎn)P2(x2，y2)，當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)|P1P2|＝|x1－x2|.(×)一、兩點(diǎn)間的距離例1如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．延伸探究題中條件不變，求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)．反思感悟計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．二、運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題例2在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思感悟利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟：(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．42．直線y＝x上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別是1,5，則|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)3．到A(1,3)，B(－5,1)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝04．(多選)直線x＋y－1＝0上與點(diǎn)P(－2,3)的距離等于eq\r(2)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－4,5) B．(－3,4)C．(－1,2) D．(0,1)5．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，則BC邊上的中線長(zhǎng)為________．1．知識(shí)清單：兩點(diǎn)間的距離公式．2．方法歸納：待定系數(shù)法、坐標(biāo)法．3．常見誤區(qū)：已知距離求參數(shù)問題易漏解．1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，則eq\f(|AC|,|CB|)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．3D．22．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，則△ABC的周長(zhǎng)是()A．2eq\r(3) B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)3．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D為BC邊的中點(diǎn)，則線段AD的長(zhǎng)是()A．2eq\r(5)B．3eq\r(5)C.eq\f(5\r(5),2)D.eq\f(7\r(5),2)5．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點(diǎn)A，B，則|AB|的值為()A.eq\f(\r(89),5)B.eq\f(17,5)C.eq\f(13,5)D.eq\f(11,5)6．已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，則a的值為________．7．在x軸上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與A(5,12)間的距離為13，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．8．直線2x－5y－10＝0與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是________．9．已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(2),4)，求a的值．10．已知直線l1：2x＋y－6＝0和點(diǎn)A(1，－1)，過A點(diǎn)作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn)，且使|AB|＝5，求直線l的方程．11．以點(diǎn)A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)為頂點(diǎn)的三角形是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．以上都不是12．已知x，y∈R，S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)，則S的最小值是()A．0B．2C．4D.eq\r(2)13．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，－1)，則|AB|＝________.14．在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝________.15．光線從B(－3,5)射到x軸上，經(jīng)反射后過點(diǎn)A(2,10)，則光線從B到A經(jīng)過的路程為________．16．△ABD和△BCE是在直線AC同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，用坐標(biāo)法證明|AE|＝|CD|.2．3.3點(diǎn)到直線的距離公式2．3.4兩條平行直線間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點(diǎn)到直線距離的公式，會(huì)用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩條平行直線間的距離公式，并會(huì)求兩條平行直線間的距離．知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度夾在兩條平行直線間公垂線段的長(zhǎng)圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))思考1點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a和直線y＝b的距離怎樣計(jì)算？答案P(x0，y0)到x＝a的距離d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y(tǒng)＝b的距離d＝|b－y0|.思考2兩直線都與坐標(biāo)軸平行，可以利用公式求距離嗎？答案可以.應(yīng)用公式時(shí)要把直線方程都化為一般式方程．1．當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式不適用了．(×)2．點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)3．直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值是點(diǎn)到直線的距離．(√)4．兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離．(√)一、點(diǎn)到直線的距離例1(1)求點(diǎn)P(2，－3)到下列直線的距離．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.(2)求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1,0)的距離是eq\f(3\r(10),5)的直線l的方程．反思感悟點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)點(diǎn)P(－1,2)到直線2x＋y－10＝0的距離為________．(2)已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m的值為________．二、兩平行線間的距離例2(1)求兩條平行直線3x＋4y－12＝0與mx＋8y＋6＝0之間的距離；(2)求到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線的方程．延伸探究把本例(2)改為“直線l與直線3x－4y＋1＝0平行且點(diǎn)P(2,3)到直線l的距離為3，求直線l的方程”．反思感悟求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4(2)已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是________．三、距離的綜合應(yīng)用例3兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．反思感悟應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決．(2)數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到．當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍．跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.當(dāng)m為何值時(shí)，△ABC的面積S最大？1．已知點(diǎn)(a，1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)2．兩平行直線x＋y－1＝0與2x＋2y＋1＝0之間的距離是()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．2D．13．已知點(diǎn)M(1,2)，點(diǎn)P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是()A.eq\r(10) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\r(6) D．3eq\r(5)4．直線3x－4y－27＝0上到點(diǎn)P(2,1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．5．與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點(diǎn)(－1，－1)距離為2的直線方程為________．1．知識(shí)清單：(1)點(diǎn)到直線的距離公式．(2)兩條平行線間的距離．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合法、解方程(組)法．3．常見誤區(qū)：利用距離公式時(shí)直線方程形式不是一般式；忽略直線方程的特殊形式．1．原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)2．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1與l2之間的距離為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．23．已知點(diǎn)(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．2－eq\r(2)4．已知直線3x＋my－3＝0與6x＋4y＋1＝0互相平行，則它們之間的距