（復(fù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義02 正余弦定理（教師版）

第第頁復(fù)習(xí)課高中數(shù)學(xué)高二暑假講義02正余弦定理【例題講解】【例1】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；(2)若△ABC的面積S＝eq\f(a2,4)，求角A的大小．[解](1)證明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝eq\f(a2,4)，得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2,4)，故有sinBsinC＝eq\f(1,2)sin2B＝sinBcosB，因為sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,2)±B.當(dāng)B＋C＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,2)；當(dāng)C－B＝eq\f(π,2)時，A＝eq\f(π,4).綜上，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,4).解三角形的一般方法(1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a，b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a，b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況．(4)已知三邊a，b，c，可應(yīng)用余弦定理求A，B，C.【例2】在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判斷△ABC的形狀.[解]∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形．【例3】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C.(1)求C的大??；(2)若c＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面積.[思路探究](1)由m·n＝－sin2C，利用三角恒等變換求出C的大?。?2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面積公式求解．[解](1)由題意，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝－sin2C，即sin(A＋B)＝－sin2C，sinC＝－2sinCcosC.由0<C<π，得sinC>0.所以cosC＝－eq\f(1,2).C＝eq\f(2π,3).(2)由C＝eq\f(2π,3)，A＝eq\f(π,6)，得B＝π－A－C＝eq\f(π,6).由正弦定理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(b,sin\f(π,6))＝eq\f(2\r(3),sin\f(2π,3))，解得b＝2.所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sineq\f(π,6)＝eq\r(3).【例4】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船．問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值．(結(jié)果保留根號，無需求近似值)[思路探究]根據(jù)題意明確已知條件與幾何量間的對應(yīng)關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用正、余弦定理解決．[解]設(shè)用t小時，甲船追上乙船，且在C處相遇，則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即128t2－60t－27＝0，解得t＝eq\f(3,4)或t＝－eq\f(9,32)(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根據(jù)正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(5\r(3),14)，則cos∠BAC＝eq\r(1－\f(75,142))＝eq\f(11,14).又∠ABC＝120°，∠BAC為銳角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝eq\f(11\r(2)－5\r(6),28).【例5】SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②，由①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不合題意，故舍去，故SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<0．【例6】已知SKIPIF1<0的三邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由題，三角形的面積：SKIPIF1<0由余弦定理：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值為4.故選：C課堂跟蹤訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在BC邊上，CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．[解](1)在△ADC中，因為cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(ABsin∠BAD,sin∠ADB)＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49.所以AC＝7.2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.[解]法一：(利用角的互余關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互補關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．3.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離．[解]由題意，畫出示意圖．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12eq\r(6).由正弦定理得AD＝eq\f(AB,sin60°)·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)(海里)．即A處與D處之間的距離為24海里，C，D之間的距離為8eq\r(3)海里．4.已知SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0三個內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以根據(jù)正弦定理得:SKIPIF1<0，化簡可得:SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，(A為三角形內(nèi)角)解得:SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，(b=c時等號成立)故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0正余弦定理檢測卷1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，則a∶b∶c＝()A．4∶1∶1 B．2∶1∶1C．eq\r(2)∶1∶1 D．eq\r(3)∶1∶1答案D解析∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的變形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)∶eq\f(1,2)＝eq\r(3)∶1∶1.故選D．2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(15)，b＝2，A＝60°，則tanB等于()A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,2)D．eq\f(\r(3),2)答案B解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2,\r(15))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,\r(5))，根據(jù)題意，得b<a，故B<A＝60°，因此B為銳角．于是cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(2,\r(5))，故tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(1,2).3．在△ABC中，已知a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5) B．eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．以上都不對答案C解析∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2eq\r(15)×c×eq\f(\r(3),2).化簡，得c2－3eq\r(5)c＋10＝0，即(c－2eq\r(5))(c－eq\r(5))＝0，∴c＝2eq\r(5)或c＝eq\r(5).4．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形答案B解析∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．5．已知△ABC的三邊長分別是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，則△ABC的最大角為()A．150° B．120°C．60° D．75°答案B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大邊x2＋x＋1應(yīng)對最大角，設(shè)最大角為α，∴cosα＝eq\f(x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12,2x2－12x＋1)＝－eq\f(1,2)，∴最大角為120°.6．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，則△ABC的兩邊AC＋AB的取值范圍是()A．[3eq\r(3)，6] B．(2,4eq\r(3))C．(3eq\r(3)，4eq\r(3)] D．(3,6]答案D解析由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(3,\f(\r(3),2)).∴AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sinC．∴AC＋AB＝2eq\r(3)(sinB＋sinC)＝2eq\r(3)[sinB＋sin(120°－B)]＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinB＋\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinB＋\f(1,2)cosB))＝6sin(B＋30°)．∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.∴eq\f(1,2)<sin(B＋30°)≤1.∴3<6sin(B＋30°)≤6.∴3<AC＋AB≤6.7．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，則c＝________.答案eq\f(14,5)解析∵cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(12,13).∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(56,65).又sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝eq\f(56,65)，由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(3×\f(56,65),\f(12,13))＝eq\f(14,5).8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見燈塔在船的北偏東65°方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是________km(精確到0.1km)．答案5.2解析作出示意圖如圖．由題意，知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，解得BS≈5.2(km)．9．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，則角B的大小為________．答案60°解析∵eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，根據(jù)正弦定理，得eq\f(2sinA－sinC,sinC)＝eq\f(tanB,tanC)＝eq\f(sinBcosC,sinCcosB).化簡為2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝eq\f(1,2).∵0°<B<180°，∴B＝60°.10．如圖，在△ABC中，點D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，則CD的長度等于________．答案4解析由題意知sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠CBD))＝cos∠CBD，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×3eq\r(3)×5×eq\f(2\r(3),5)＝16.∴CD＝4.11．△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．解(1)在△ABC中，∵cosA＝eq\f(12,13)，∴sinA＝eq\f(5,13).又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝12×13.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝bccosA＝144.(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，∴b＝12，c＝13.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝122＋132－2×12×13×eq\f(12,13)＝25，∴a＝5.12．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．解由余弦定理，知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知條件，得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分，得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理，得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理，知△ABC是直角三角形．13．已知△A