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文檔簡介
云南師范高校附屬中學2024屆高考數(shù)學適應(yīng)性考試試題(一)文(含
解析)
第I卷(共60分)
一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一
項
是符合題目要求的.
L設(shè)集合A={0,1,2,4},B={^e7?|l<x<4},則AB=()
A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{x|l<%<4}
【答案】C
【解析】
試題分析:43={0,1,2,4}n{Rl<xW4}={2,4},故選C.
考點:集合的交集運算.
2.若復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)是W=a+其中i為虛數(shù)單位,則點(a,b)為()
A.(―1.2)B.(-2,1)C.(1,-2)D.(2,一1)
【答案】B
【解析】
1_9i-
試題分析:,:z=----=-2-i,;.z=-2+i,故選B.
i
考點:復(fù)數(shù)的計算.
3.若,且x為第四象限的角,則tanx的值等于()
1212c55
A、—B、——C、—D、——
551212
【答案】D
【解析】
試題分析:為第四象限的角,/.sinx=-71-cos2x=--,于是,故選D.
13
考點:商數(shù)關(guān)系.
4.有3個不同的社團,甲、乙兩名同學各自參與其中1個社團,每位同學參與各個社團的可
能性相同,則這兩位同學參與同一個社團的概率為()
【答案】A
【解析】
試題分析:記3個社團分別為48C,依題意得,甲、乙兩位同學參與社團的全部可能的狀
況有9種,分別為(4A),(48),(4。,(B,4),(B,面,(B,。,(C,A),(C,而,
(G。,而兩位同學參與同一個社團的種數(shù)為3,故所求概率為士3=工1,故選A.
93
考點:概率.
5.已知函數(shù),若/(a)=—1,則實數(shù)a的值為()
A、2B、±1C.1D、一1
【答案】C
【解析】
aWO,JaWO,—fa>0,fa>0,
試題分析:=-尸]。=1na=l,故選c.
[a—2=—1[a=1
考點:函數(shù)值.
6.“OWmWl"是"函數(shù)/(無)=cosx+m-1有零點”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
試題分析:/(%)=0cosx=1-m,由OW/nWl,得0Wl-/nWl,且-iWcosx^l,所以函
數(shù)/'(尤)=cosx+m-l有零點.反之,函數(shù)/'(尤)=£:0$尤+機-1有零點,只需依-l|Wln
0Wm^2,故選A.
考點:充分必要條件.
7.將某正方體工件進行切削,把它加工成一個體積盡可能大的新工件,新工件的三視圖如圖1
所示,則原工件材料的利用率為(材料的利用率)()
俯謖圖
Hl
【答案】C
【解析】
試題分析:如圖1,不妨設(shè)正方體的棱長為1,則切削部分為三棱錐A-A耳。,其體積為g,又
正方體的體積為I,則剩余部分(新工件)的體積為9,故選C.
6
考點:二視圖.
8.在△ABC中,|A3+AC|=|A3—ACI,AB=2,AC=1,E,F為BC的三等分點,貝!JAE.Ab
26
D、
9
【答案】B
試題分析:由而+福=而-麗知與_L而,以期4C所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標
系,則m0>況2,0),C(0,1),于是E停;),嗚9,據(jù)此‘荏口"=惇嗚'4=泊=印
故選B.
考點:向量的運算.
9.等比數(shù)列{4}中,q=2,%=4,函數(shù)/(%)=%0-。])(%一。2)??(x-a8),則/(°)=
()
A、26B、29C、212D、215
【答案】C
【解析】
試題分析:依題意,記g(x)=(x-q)(x-4),則f(x)=xg(x>f'(x)=g(x)+xg'(x),
412
f'(O)=g(O)=%/a8=(OjOg)=2,故選C.
考點:等比數(shù)列的性質(zhì).
10.《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌,如圖2,在鱉席PABC中,
PAJ_平面ABC,AB_LBC,且AP=AC=1,過A點分別作AE1±PB于E、AF_LPC于F,連接EF
當4AEF的面積最大時,tan/BPC的值是()
A.0B.—C.6D.—
23
由2
【答案】B
【解析】
試題分析:明顯3C_L平面則BCLAE,又產(chǎn)BLAE,則AE_L平面PBC,于是鉉_L£F,
SAEA-PC,結(jié)合條件AF_LPC得PC_L平面4£F,所以△AEF、均為直角三角形,
xEF+EF
由已知得,MSAAEF=1^(^=\(1)當且僅當=時,取“=”,
1
所以,當AE=£F=!時,AAEF的面積最大,止匕時1311/3尸。=變=:=變,故選B.
2PF&2
~2
考點:基本不等式、三角形面積.
H設(shè)S=J+m*+Jl+?Jl+A4』一h11
+V+20142+20152,則不大于
S的最大整數(shù)[S]等于()
A、2024B、2024C、2024D、2024
【答案】B
【解析】
試題分析「卜》表(n2+n)2+2(n2+H)+1n2+n+1
=1+1_J_,所以
n2(l+n)2n(n+1)nn+1
1
=2015-,故[S]=2014,故選B.
2015
考點:裂項相消法求和.
12.設(shè)直線/與拋物線x?=4y相交于A,B兩點,與圓C:x2+(y-5)2=r2(r〉0)相切于點此
且M為線段AB的中點,若這樣的直線/恰有4條,則r的取值范圍是()
A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3).(2,4)
【答案】D
【解析】
試題分析:圓C在拋物線內(nèi)部,當軸時,必有兩條直線滿意條件,當/不垂直于y軸時,
設(shè)M(無0,%),A(xt,%),B{X2,%),則%%%;為,由
才一考=4(%-%)=叢二&=土土三=岫=包,因為圓心C(0,5),所以,由直線,與圓C
占一龍242
相切,得5?左CM=Tn%=3,又因為無;<4%,所以需<12,且
戶=君+(%-5>=%+4<16=>r<4,又產(chǎn)_(%_5)2=>>0=>r2-(3-5)2>0=>
/>4n廠>2,故2<r<4,此時,又有兩條直線滿意條件,故選D.
考點:直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系.
第n卷(共90分)
二、填空題(每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上)
13.如圖3.這是一個把k進掉數(shù)a(共有n位)化為十進制數(shù)b的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,
若輸入的k,a,n分別為2,110011,6,則輸出的6=.
CW
【答案】51
【解析】
試題分析:依程序框圖得6=1x20+1x21+0x2?+0x2'+1x2’+1x25=51.
考點:程序框圖.
14.設(shè)實數(shù)X,y滿意則的取值范圍是.
【答案】
【解析】
試題分析:由于)表示可行域內(nèi)的點(無,y)與原點(0,0)的連線的斜率,如圖2,求出可行域
X
的頂點坐標A(3,1),B(l,2),C(4,2),則七%=2,殳c=工,可見,令2=?,貝1Jz=/二
32xt
11
15.若函數(shù)/?(%)=-§q犬+59尤2+2以在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則a的取值范圍是.
【答案】
【解析】
試題分析:f'(x)=-x2+x+2a=-(x--^\+:+2。.當時,/'(尤)的最大值為
考點:利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性.
16.設(shè)橢圓E:的右頂點為A、右焦點為F,B為橢圓E在其次象限上的點,直線B0交橢圓E
于點C,若直線BF平分線段AC,則橢圓E的離心率是
【答案】-
3
【解析】
試題分析:如圖3,設(shè)〃中點為四連接0M,則應(yīng)/為"BC的中位線,于是△(?而s△川中,
且
考點:橢圓的離心率.
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分12分)
己知數(shù)列{a,J的首項al=L.
(I)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(II)設(shè),求數(shù)列{〃}的前n項和S,.
【答案】(1)證明詳見解析;(2)Sn=2----.
【解析】
試題分析:本題主要考查等比數(shù)列的證明、等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法、等比數(shù)列的
前n項和等基礎(chǔ)學問,考查學生的分析問題解決問題的實力、轉(zhuǎn)化實力、計算實力.第一問,
先將已知表達式取倒數(shù),再分別常數(shù)、用配湊法證明數(shù)列是等比數(shù)列;其次問,結(jié)合第一問
的結(jié)論,利用等比數(shù)列的通項公式,先計算出與,再計算么,用錯位相減法求和,在化簡過
程中用等比數(shù)列的前n項和計算即可.
試題解析:(I)證明:,
又,所以數(shù)列是以,為首項,工為公比的等比數(shù)列........(6分)
22
(II)解:由(I)知,,
、兒123〃小
n22223T
12n-1n小
22223T2〃+i
\i-/-yr,—kj---1----r~~i---------------------------------,
2rl2222〃2"+i12"+i2〃2"i
1—
2
1n
S=2----:-----...............................................(12分)
考點:等比數(shù)列的證明、等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法、等比數(shù)列的前n項和.
18.(本小題滿分12分)
某校為了解高三年級不同性別的學生對取消藝術(shù)課的看法(支持或反對),進行了如下
的調(diào)查探討.全年級共有1350人,男女生比例為8:7,現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學生,
每人被抽到的概率均為工,通過對被抽取學生的問卷調(diào)查,得到如下2x2列聯(lián)表:
9
支持反對總計
男生30
女生25
總計
(I)完成列聯(lián)表,并推斷能否有99.9%的把握認為看法與性別有關(guān)?
(II)若某班有6名男生被抽到,其中2人支持,4人反對;有4名女生被抽到,其中2人支
持,2人反對,現(xiàn)從這10人中隨機抽取一男一女進一步調(diào)查緣由.求其中恰有一人支持一人
反對的概率.
參考公式及臨界值表:K
0.100,0500.0100.0050.001
*02.7063.8416?6357.87910.828
【答案】(1)沒有99.9%的把握認為看法與性別有關(guān);(2)P=-.
2
【解析】
試題分析:本題主要考查線性相關(guān)、概率、分層抽樣等基礎(chǔ)學問,考查學生的分析問題解決
問題的實力、轉(zhuǎn)化實力、計算實力.第一問,先利用每人被抽到的概率均為L,計算出男女總
9
人數(shù)150人,再利用男女生
比例為8:7,計算出男女生人數(shù),從而列聯(lián)表就填全了,再依據(jù)列聯(lián)表,利用/的公式計算,
與10.828比較大小,得出結(jié)論;其次問,將6名男生和4名女生用字母表示出來,寫出選取
2人的全部狀況,在其中選出符合題意的狀況,最終計算出概率.
試題解析:(I)列聯(lián)表如下:
支持反對總計
男生305080
女生452570
總計7575150
2
計算得K=15°(3°義25-50x45廠“10714<10828,
80x70x75x75
所以沒有99.9%的把握認為看法與性別有關(guān).(6分)
(II)記6名男生為&a3,a4,a5,a6,其中心&為支持,a3,a4,a5,4為反對,記4名
女生為4,B2,%為,其中牛不為支持,4,“為反對,隨機抽取一男一女全部可能的狀況
有24種,分別為
(4,BJ,(A,B2),(A,"3),(A,"4),(^2,B、),(^2,B?),(^2,(^2,bj,(生,Bj,
(。3,芻),(%b3),(生,64),(%,4),(%,B)(%,4),(〃4,%),(%旦),(%,B2),
(〃5,4),(。5,d),(。6,B]),(4,B2),(4,么),(。6,〃4),
其中恰有一人支持一人反對的可能狀況有12種,所以概率為P=L......(12分)
2
考點:線性相關(guān)、概率、分層抽樣.
19.(本小題滿分12分)
如圖4,在三棱錐S-ABC中,AABC是邊長為2的正三角形,平面SAC,平面ABC,SA=SC=亞,
M為AB的中點.
(I)證明:AC±SB;
(II)求點B到平面SCM的距離。
【答案】(1)證明詳見解析;(2)口5.
5
【解析】
試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、三角形面積、錐體的體積等基礎(chǔ)
學問,考查學生的分析問題解決問題的實力、空間想象實力、邏輯推理實力、計算實力.第一
問,利用線面垂直的判定,得AC,平面SDB,再利用線面垂直的性質(zhì),得ACJLSB;其次問,
依據(jù)面面垂直的性質(zhì),得SD_L平面ABC,作出協(xié)助線,得SE_LCM,在直角三角形SDE中,
求出SE的值,在正三角形ABC中求出CM的值,從而計算出A5。欣和ABMC的面積,用體積
轉(zhuǎn)化法,將錐體B-SCM轉(zhuǎn)化為錐體S-BCM的體積,計算出高.
試題解析:(I)證明:如圖4,取4c的中點連接,S,DB.
因為5A=SC,BA=BC,
所以AC_LDS,SAC±DB,DSDB=D,
所以AC_L平面SD3,又5Bu平面SDB,
所以ACLS3.........................(6分)
(II)解:因為S£>_LAC,平面S4C_L平面ABC,
所以5DJL平面ABC.
如圖4,過〃作DELC0于£,連接組則SELCW,.......................................(8分)
所以在RtZkSDE中,SD=1,DE=~,
2
是邊長為2的正△/回的中線,:.CM=6,
???S/CM=*M.SE=$6x%=號,
=---AS.CM=-X2X73=—..........................................................(10分)
△BMC2242
設(shè)點6到平面SC"的距離為h,
=X
則由VB-SCMVs-BCM得,S&SCM*'=]^^BMCSD,
近
所以h=S&BMc?SD=展=正.......................................................................(]2分)
S^SCM655
丁
考點:線線垂直、線面垂直、面面垂直、三角形面積、錐體的體積.
20.(本小題滿分12分)
已知橢圓C:的離心率為J,連接橢圓四個頂點形成的四邊形面積為4&.
2
(I)求橢圓C的標準方程;
(II)過點A(1,0)的直線與橢圓C交于點此N,設(shè)P為橢圓上一點,且+OM=tOP(tw0)0
為坐標原點,當時,求t的取值范圍.
試題分析:本題主要考查橢IS的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與摘圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學生的
分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一間,先利用離心率、,=#+/、四邊形的面積列出
方程,解出a和b的值,從而得到橢圓的標準方程;第二間,討論直線MN的斜率是否存在,當直線MN
的斜率存在時,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消參,利用韋達定理,得到天+5、演馬,利用兩+而=1/
列出方程,解出Rxj),代入到橢圓上,得到P的值,再利用|麗-而|<竽,計算出爐的范圍,代入
到P的表達式中,得到t的取值范圍.
試題解析:(I)=:.e2=l-^=-,,即/=2區(qū)
2a22
又S=>x2ax2b=4五,:.ab=26.,:.b2=2,a2=4.
2
橢圓。的標準方程為....................................(4分)
(II)由題意知,當直線就斜率存在時,
設(shè)直線方程為y=左(%-1),M{x1,%),N(X2,y2),P{x,y),
聯(lián)立方程消去y得(1+2公一4Mx+2/-4=0,
因為直線與橢圓交于兩點,
所以△=16/-4(1+2k2)(2以-4)=24k2+16>0恒成立,
2
.4k22k-4z/、?-2k
??%+M=-------7,x,x=--------y.+y=+x)-2k=-------彳,
121+2k212?1+2左2"?,21?2)M242
又YOM+ONnOP,
玉+X24左2
玉+%2=比,.tt(l+2k2)
y+y=ty,"I%+%~2k
I2y=---------=-------------
/tt(l+2k2)
16k,8k2
因為點尸在橢圓上,所以=4,
產(chǎn)(1+2公了+產(chǎn)(1+2^)2
21c,1
即2k1=/。+2左2),--------T=1----------T(8分)
1+2左21+2左2
又,
即|M0|<竽,.71+02,_引<?,整理得:,
化簡得:13/_5產(chǎn)一8>0,解得左2>1或F〈一色(舍),
(12分)
考點:橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系.
21.(本小題滿分12分)
已知f(x)=ax+x\nx{aeR)。
(I)曲線y=/(x)在點(1,f(D)處的切線斜率為0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若f(x)<x,在(1,+oo)恒成立,求a的取值范圍。
【答案】(1)減區(qū)間為(1,+oo),增區(qū)間為(0,1);(2)(-oo,1].
【解析】
試題分析:本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求曲線的切線、
利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎(chǔ)學問,考查學生的分析問題解決問題的實力、轉(zhuǎn)
化實力、計算實力.第一問,對/(無)求導,/⑴為切線的斜率,解出a的值,再利用/(x)>0
和f(尤”0推斷函數(shù)的單調(diào)性;其次問,先將/(x)<尤②在(1,+s)恒成立,轉(zhuǎn)化為。<x—處
X
恒成立,再構(gòu)造函數(shù)g(x),通過求導,推斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)g(x)的最小值,從而得
到a的取值范圍.
試題解析:(I)/⑺的定義域為(0,+00),求導可得/(無)=。+工,
X
由/'(1)=。得。+1=。=。=—1,/(x)--x+lnx,+—,
x
令1(x)<0得x>l;
令尸(x)>0得0<x<l,
所以了(尤)的減區(qū)間為(1,+00),增區(qū)間為(0,1)......................................(4分)
(II)由題意:av+lnx<%2,即avvf-lnx,
a〈尤一恒成立.
x
人,、Inx,/、,1-lnxx2+Inx-1「
令g(x)=x-------,貝Ug'(x)=l---------=---------------[
XXX
令"(無)=尤?+Inx—1,貝!|h'(X)-2x+—>0,
x
:.h(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增,
Xh(V)=0,.,.當xe(l,+8)時,/?(%)>0,g'(x)>0,
.??g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增,
所以g(X)mm>g(l)=l>
...當時,a<g(x)恒成立,
a的取值范圍為(-oo,1]...........................................................................(12分)
考點:利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求曲線的切線、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成
立問題.
請考生在22、23、24三題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)【選修4-1:幾何證明選講】
如圖5,已知圓的兩條弦AB,CD,延長AB,CD交于圓外一點E,過E作AD的平行線交
CB的延長線于F,過點F作圓的切線FG,G為切點.求證:
(I)AEFC^ABFE;
(II)FG=FE
【答案】(1)證明詳見解析;(2)證明詳見解析.
【解析】
試題分析:本題主要考查三角形相像、切割線定理等基礎(chǔ)學問,考查學生的分析問題解決問
題的實力、轉(zhuǎn)化實力、計算實力.第一問,利用平行線的內(nèi)錯角相等,得到NFEB=ZA,同弧
所對的圓周角,得NA=NC,從而得到=所以利用相像三角形的判定得到結(jié)論;
其次問,利用三角形相像,得到所2=q?八7,再通過切割線定理得到PG?=EB?PC,兩
式相結(jié)合得防=FG.
試題解析:(I),:EF〃AD,;.NFEB=ZA,
又NA=NC,;.NC=NFEB,
:.在△£%與△BFE中,
ZEFC=NBFE,
n/\EFCs4BFE.(5分)
ZC=NFEB
(II)?:△EFCs^BFE,
.EFpr
—nEF?=FB.FC,
'FBEF
又尸G是圓的切線,由切割線定理得以;2=F2.砥7,
EF'=FG2,BPEF^FG..........................................(10分)
考點:三角形相像、切割線定理.
23.(本小題滿分10分)【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】
在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C:為參數(shù)),以平面直角坐標系xOy的原點。為極點,
x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線,:夕(cos8-sin8)=6.
(1)在曲線C上求一點P,使點P到直線,的距離最大,并求出此最大值;
(2)過點M(—1,0)且與直線/平行的直線,交C于A,B兩點,求點M到A,B兩點的距離
之積.
【答案】⑴九=4應(yīng);⑵1.
【解析】
試題分析:本題主要考查參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化、極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化、
點到直線的距離公式等基礎(chǔ)學問,考查學生的分析問題解決問題的實力、轉(zhuǎn)化實力、計算實
力.第一問,利用夕cosO=x、/?sin6=y將直線/的極坐標方程轉(zhuǎn)化為一般方程,再利用點到
直線的距離公式計算,利用三角函數(shù)的有界性求最值;其次問,利用平方關(guān)系將曲線C的方
程轉(zhuǎn)化為一般方程,將直線/的參數(shù)方程與曲線C的方程聯(lián)立,消參,得到牡=-1,即得到
結(jié)論八么?A1B=1.
試題解析:(I)直線夕(cos?!猻in6)=6化成一般方程為X-丁一6=0.
設(shè)點尸的坐標為(若cosa,
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