線性代數(shù)(工科類理科類非數(shù)學(xué)專業(yè)及經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè))全套教學(xué)課件

線性代數(shù)全套可編輯PPT課件行列式矩陣向量組與向量空間線性方程組相似矩陣和二次型線性空間與線性變換第1章行列式

1.二階、三階行列式

2.排列、逆序與對換

3.

n階行列式的定義

4.行列式的性質(zhì)

5.行列式按行（列）展開

6.克萊姆法則1.1二階、三階行列式1.1.1二階行列式對于二元一次線性方程組

(1.1.1)其中，x1、x2為未知量，a11、a12、a21、a22為系數(shù)，b1、b2

為常數(shù)，可用消元法分別消去x2、x1，得

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時，有

(1.1.2)二階行列式可用對角線法則來記憶，如圖1-1所示。在行列式中，從左上角元素到右下角元素的直線稱為主對角線，從右上角元素到左下角元素的直線稱為次對角線。二階行列式的值等于主對角線上兩個元素的乘積減去次對角線上兩個元素的乘積。圖1-1根據(jù)二階行列式的定義式，可將式(1.1.2)中的兩個分子分別寫成

其中，Di(i=1，2)表示把D中第i

列換成式(1.1.1)右邊的常數(shù)列所得到的行列式。于是，當(dāng)D≠0時，方程組(1.1.1)的解(1.1.2)可以表示成(1.1.3)

解

(1)當(dāng)λ為何值時，D=0;(2)當(dāng)λ為何值時，D≠0。解

(1)當(dāng)λ=0或λ=2時，D=0；(2)當(dāng)λ≠0且λ≠2時，D≠0。

由于

因此，方程組的解為

解類似地，對三元一次線性方程組的求解進(jìn)行討論。

其中，x1、x2、x3

為未知量，a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33為系數(shù)，b1、b2、b3

為常數(shù)。為了方便計算，引入記號

1.1.2三階行列式

圖1-2令

則當(dāng)D≠0時，三元一次方程組的解可簡單地表示成

D=1×1×1+0×4×2+(-3)×(-2)×2-1×4×2-0×(-2)×1-(-3)×1×2=11解

解由于

所以

解若要a2+b2=0，則a

與b

須同時等于零。所以，當(dāng)a=0且b=0時，給定行列式等于零。因

1.2排列、逆序與對換1.2.1排列與逆序數(shù)定義1由數(shù)碼1，2，…，n

組成的n

元有序數(shù)組稱為一個n

級排列。例如，1234和3412都是4級排列，52341是5級排列。由數(shù)碼1、2、3組成的所有3級排列為123、132、213、231、312、321，共有3!=6個數(shù)字由小到大的n

級排列1234…n

稱為n級自然排列。定義2在一個n

級排列p1p2…pn

中，如果較大的數(shù)pt排在較小的數(shù)ps

的前面(ps<pt)，則稱pt

與ps

構(gòu)成一個逆序。一個n

級排列中逆序的總數(shù)稱為逆序數(shù)，記作(p1p2…pn)。對于任意一個排列，可以按照以下方法來求逆序數(shù)：設(shè)p1p2…pn

是1，2，…，n

這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。先看有多少個比p1大的數(shù)排在p1

前面，記為t1；再看有多少個比p2

大的數(shù)排在p2

前面，記為t2；……；最后看有多少個比pn

大的數(shù)排在pn

前面，記為tn；則此排列的逆序數(shù)為τ=t1

+t2

+…+tn。容易看出，自然排列的逆序數(shù)為0。定義3如果排列p1p2…pn

的逆序數(shù)τ(p1p2…pn)是奇數(shù)，則稱此排列為奇排列；如果是偶數(shù)，則稱此排列為偶排列。例如，排列3412的逆序數(shù)為4，所以是偶排列；排列52341的逆序數(shù)為7，所以是奇排列；自然排列123…n

的逆序數(shù)為0，所以是偶排列。例如例1求下列排列的逆序數(shù)，并指出奇偶性:(1)6372451;(2)135…(2n-1)24…(2n)解

(1)對于所給排列，6排在首位，所以逆序個數(shù)為0;3的前面有1個比它大的數(shù)，所以逆序個數(shù)為1;7的前面沒有比它大的數(shù)，所以逆序個數(shù)為0;2的前面有3個比它大的數(shù)，所以逆序個數(shù)為3;4的前面有2個比它大的數(shù)，所以逆序個數(shù)為2;5的前面有2個比它大的數(shù)，所以逆序個數(shù)為2;1的前面有6個比它大的數(shù)，所以逆序個數(shù)為6。故此排列的逆序數(shù)為τ=t1

+t2

+…+t7

=0+1+0+3+2+2+6=14(2)對于所給排列，前n

個元素：1，3，5，…，(2n-1)不構(gòu)成逆序；2前面有n-1個數(shù)比它大，故逆序個數(shù)為n-1；4前面有n-2個數(shù)比它大，故逆序個數(shù)為n-2；依次下去，2n前面沒有數(shù)比它大，故逆序個數(shù)為0。將所有元素的逆序個數(shù)相加，得逆序數(shù)為

1.2.2對換在一個n

級排列p1…ps…pt…pn

中，如果將其中某兩個數(shù)ps

與pt

對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，得到另一個新的n

級排列p1…pt…ps…pn，這樣的變換稱為一個對換，記作對換(ps、pt)。定義4例如例如，在排列3412中，將4與2對換，得到新的排列3214?？梢钥吹剑号寂帕?412經(jīng)過4與2的對換后，變成了奇排列3214。任意一個排列經(jīng)過一次對換后，其奇偶性改變定理1證分兩種情況討論:(1)對換相鄰兩個數(shù)的情況若該排列為a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn。將相鄰兩個數(shù)i

與j作一次對換，則排列變?yōu)閍1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn。顯然，對數(shù)1，a2，…，al，b1，b2，…，bm

和c1，c2，…，cn

來說，并不改變它們的逆序數(shù)。但當(dāng)i<j

時，經(jīng)過i與j

的對換后，排列的逆序數(shù)增加1個；當(dāng)i>j

時，經(jīng)過i與j的對換后，排列的逆序數(shù)減少1個。所以，對換相鄰兩數(shù)后，排列改變了奇偶性。(2)一般情況設(shè)排列為a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn。將i與j

作一次對換，則排列變?yōu)閍1a2…aljb1b2

…bmic1c2…cn。這就是對換不相鄰兩個數(shù)的情況。它可以看成是先將i與b1對換，再與b2

對換，……，最后與bm

的對換，即i與它后面的數(shù)作m次相鄰兩數(shù)的對換變成排列a1a2…alb1b2

…bmijc1c2…cn；然后將數(shù)j

與它前面的數(shù)i，bm

，…，b1作m+1次相鄰兩數(shù)的對換而成的。因此，對換不相鄰的數(shù)i與j(中間有m

個數(shù))，相當(dāng)于作2m+1次相鄰兩數(shù)的對換。由前面的證明知，排列的奇偶性改變了2m+1次，而2m+1為奇數(shù)。因此，不相鄰的兩數(shù)i，j

經(jīng)過對換后的排列與原排列的奇偶性不同。任一n級排列p1p2…pn

都可通過一系列對換與n級自然序排列12…n互變，且所作對換次數(shù)的奇偶性與這個n

級排列的奇偶性相同。定理2

定理31.3

n

階行列式的定義二階與三階行列式的定義式分別為可以看出以下規(guī)律:(1)二階行列式是2!項的代數(shù)和；三階行列式是3!項的代數(shù)和；(2)二階行列式中的每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列；三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3)每一項的符號按如下方法確定：這一項中元素的行標(biāo)按自然數(shù)排列，若元素的列標(biāo)排列為偶排列，取正號；若為奇排列，取負(fù)號。因此，二階、三階行列式可寫成根據(jù)這些規(guī)律和二階、三階行列式的表示方法，可推出n

階行列式的定義。定義1由排成n

行n列的n2

個元素aij(i，j=1，2，…，n)組成的行列式稱為n

階行列式，它是n!項的代數(shù)和，其每一項都是取自不同行和不同列的n

個元素的乘積，各項的符號按如下方法確定：每一項中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)排列，若列標(biāo)的排列為偶排列，取正號；若為奇排列，取負(fù)號，即(1.3.1)例1在五階行列式中，a12a23a35a41a54這一項應(yīng)取什么符號?解這一項各元素的行標(biāo)是按自然數(shù)順序排列的，列標(biāo)的排列為23514。因τ(23514)=4，故這一項應(yīng)取正號。例2寫出四階行列式中，帶負(fù)號且包含因子a11a23的項解包含因子a11a23項的一般形式為(-1)τ(13j3j4)a11a23a3j3a4j4

，按定義，j3

可取2或4，j4

可取4或2，因此包含因子a11a23的項只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42。因τ(1324)=1為奇數(shù)，τ(1342)=2為偶數(shù)，所以此項只能是-a11a23a32a4。例3計算上三角行列式(主對角線下側(cè)的元素全為零）：解在D

中，第n行元素除ann

外，其余均為0，所以只能取jn=n；在第n-1行中，除an-1n-1和an-1n外，其余元素都是零，因而jn-1只取n-1，n。又由于ann

和an-1，n位于同一列，所以只能取jn-1=n-1，這樣逐步往上推，可以得出，在展開式中只有a11a22…ann

一項不等于零。而這項的列標(biāo)所組成排列的逆序數(shù)τ(12…n)=0，故取正號。因此，由行列式的定義有即上三角行列式的值等于主對角線上各元素的乘積。同理，對于下三角行列式(主對角線上側(cè)的元素全為零)，有特別地，對于對角行列式(除主對角線上的元素外其余元素均為零)，有例4計算行列式的值。解這個行列式除了a1na2，n-1…an1項外，其余項均為零，現(xiàn)在來看這一項的符號。行標(biāo)的n

級排列為自然數(shù)排列，列標(biāo)的n

級排列為n(n-1)…21，它的逆序數(shù)為所以由行列式的定義，行列式中的每一項都是取自不同行和不同列的n個元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全為0，則該行列式等于0。在n

階行列式中，為了確定每一項的正負(fù)號，把n

個元素的行標(biāo)排成自然數(shù)排列，即a1p1a2p2

…anpn

。事實上，數(shù)的乘法是滿足交換律的，因而這n

個元素的次序是可以任意寫的，一般地，n

階行列式的項可以寫成(1.3.2)其中，i1i2…in，p′1p′2

…p′n

是兩個n

階排列，它的符號由下面的定理來確定。定理1n

階行列式的一般項可以寫成(1.3.3)其中，i1i2…in，p′1p′2

…p′n

都是n

級排列。同樣，也可以把行列式一般項中元素的列標(biāo)排成自然順序123…n，而此時相應(yīng)行標(biāo)的n級排列為i1i2…in，則行列式的定義又可敘述為1.4行列式的性質(zhì)定義1

設(shè)有n

階行列式，將D

的第1，2，…，n

行依次變?yōu)榈?，2，…，n

列，得到的新行列式稱為D

的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT，即顯然，(DT)T=D。性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即證令bij=aji(i，j=1，2，…，n)，則此性質(zhì)說明，在行列式中行與列具有相同的地位，即行列式中行具有的性質(zhì)，其列也具有。性質(zhì)2交換行列式中任意兩行(列)，行列式的符號改變，即證根據(jù)行列式的定義及對換的性質(zhì)，有推論如果行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則行列式的值為零。證由性質(zhì)2可知，互換相同的兩行(列)，有D=-D，所以D=0。性質(zhì)3

把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k，等于以數(shù)k

乘以該行列式，即證用數(shù)k乘行列式D

的第i

行中所有元素得到行列式D1，則由性質(zhì)3可以得到以下推論：推論

行列式中某一行(列)所有元素的公因子，可以提到行列式符號的外面。性質(zhì)4

如果行列式中有兩行(列)的元素對應(yīng)成比例,則該行列式的值為零證根據(jù)行列式的定義可得性質(zhì)5如果行列式某一行(列)的元素為兩組數(shù)的和,則該行列式可以分為兩個行列式之和,這兩個行列式除這一行(列)以外的其他元素與原行列式的對應(yīng)元素一樣,即性質(zhì)6

把行列式某一行(列)的所有元素乘以數(shù)k加到另一行(列)的對應(yīng)元素上去，所得行列式的值不變，即計算行列式時，為敘述方便，約定如下記號:以ri

表示行列式的第i

行，以cj

表示行列式的第j列。交換i，j兩行，記作ri?rj；第i行乘以k，記作kri；第i行加上(或減去)第j行的k

倍，記作ri±krj。對列也有類似記號。例1

計算行列式解通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)，行列式的第1列與第2列對應(yīng)元素成比例，所以例2

計算行列式解通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，行列式的第2行恰為第1行與第3行之和，所以例3計算行列式解例4計算解例5計算n

階行列式解行列式D的主對角線上的元素全為a，其余元素全為b。注意到行列式每一行的元素之和是相同的，因此，將第2，3，…，n

列都加到第1列，然后提出第1列的公因子a+(n-1)b，可得1.5行列式按行（列）展開定義1

在n

階行列式中，劃去元素aij

所在的第i

行和第j列，余下的(n-1)2

個元素按原來的排列構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij

的余子式，記作Mij。在Mij前面加上符號(-1)i+j后，得到(-1)i+jMij，稱它為aij的代數(shù)余子式，記作Aij，即Aij=(-1)i+jMij例1

已知三階行列式，分別求元素a21，a32的余子式和代數(shù)余子式。解根據(jù)定義知，元素a21的余子式和代數(shù)余子式分別為元素a32的余子式和代數(shù)余子式分別為引理

如果在n

階行列式D

中，第i行元素除了aij外全為0，則該行列式的值等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即D=aijAij證(1)先證(i，j)=(1，1)的情形，此時(2)對于一般情形，此時，對D

作如下調(diào)換:將第i行依次與第i-1，第i-2，…，第1行對調(diào)，再將第j列依次與第j-1，第j-2，…，第1列對調(diào)，得其中，b11=ai，等于D

中元素aij的余子式Mij，故定理1

n

階行列式D

等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或證此定理稱為行列式的按行(列)展開定理，利用此定理可以進(jìn)行降階運(yùn)算。在計算行列式時，直接利用此定理進(jìn)行行列式展開并不一定能簡化運(yùn)算，但當(dāng)行列式中某一行或某一列中含有較多零時，運(yùn)用此定理將會非常簡便。例如:定理2，Aij是元素aij的代數(shù)余子式，則有(1)(2)(1)對于二階、三階行列式，通常應(yīng)用對角線法則直接求值;(2)對于高階行列式，可以利用行列式的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式再求值;(3)利用行列式的展開，可以使行列式的階數(shù)降低，從而簡化其運(yùn)算過程，特別是當(dāng)行列式中的某行(列)中含有較多個零元素時。通過前面知識的學(xué)習(xí)，關(guān)于行列式的計算方法，可以總結(jié)為以下幾種:例2求下列行列式的值:解(1)(2)(1)(2)例3解方程解因為例4

證明范德蒙(Vandermonde)行列式。其中，記號“Π”表示全體同類因子的乘積。證用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=2時，結(jié)論成立。現(xiàn)假設(shè)n-1階范德蒙行列式成立，即則對n

階行列式，從第n

行開始，后行依次減去前行的x1

倍，得按照第1列展開，并提出每列的公因子(xi-x1)，就有上式右端的行列式是n-1階范德蒙行列式，由歸納法假設(shè)，它等于所有(xi-xj)因子的乘積，所以定理3(拉普拉斯定理)分析

對D1

作行運(yùn)算，相當(dāng)于對D的前k

行作相同的行運(yùn)算，且D

的后n

行不變;對D2作列運(yùn)算，相當(dāng)于對D

的后n列作相同的列運(yùn)算，且D的前k列不變。證因為對D1作適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算ri+krj，可將D1

化為下三角形;同理，對D2

作適當(dāng)?shù)牧羞\(yùn)算ci+kcj，可將D2

化為下三角形，分別設(shè)為故對D

的前k

行作上述行運(yùn)算和對D

的后n

列作上述列運(yùn)算后，D

可化為1.6克萊姆法則設(shè)含有n個未知量和n

個方程的線性方程組為(1.6.1)方程組(1.6.1)中的未知量系數(shù)在保持原來的相對位置不變的情況下構(gòu)成的n

階行列式稱為方程組(1.6.1)的系數(shù)行列式。定理1(克萊姆法則)

若n

元線性方程組(1.6.1)的系數(shù)行列式D≠0，那么此方程組有唯一解，且(1.6.2)其中，Dj(j=1，2，…，n)是把系數(shù)行列式D

的第j

列元素用方程組的常數(shù)項b1，b2，…，bn

替換而得到的n

階行列式，即

將Dj

按第j

列展開，得于是所以這說明式(1.6.2)是方程組(1.6.1)的一個解。再證式(1.6.2)是方程組(1.6.1)的唯一解。設(shè)x1=c1，x2

=c2，…，xn

=cn

是方程組(1.6.1)的解，則(1.6.3)由行列式按行(或列)展開定理，得分別用系數(shù)行列式D

的第k列元素的代數(shù)余子式A1k，A2k，…，Ank

乘以式(1.6.3)的各項，然后相加，得即當(dāng)D≠0時，有這就證明了式(1.6.2)是方程組(1.6.1)的唯一解。例1用克萊姆法則解線性方程組解方程組的系數(shù)行列式為因為D≠0，所以方程組有唯一解。又由于所以克萊姆法則給出了線性方程組的解與其系數(shù)、常數(shù)項之間的一種重要關(guān)系。但它只適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等，且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組。當(dāng)線性方程組的常數(shù)項全為零時，即(1.6.4)方程組(1.6.4)稱為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組。顯然，x1=x2=…=xn=0就是方程組(1.6.4)的一個解，稱為齊次線性方程組(1.6.4)的零解。如果一組不全為零的數(shù)是齊次線性方程組(1.6.4)的解，則稱為非零解。由克萊姆法則可以得出定理2若方程組(1.6.4)的系數(shù)行列式D≠0，則方程組有唯一零解;若方程組有非零解，則系數(shù)行列式D

必為零。推論

齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是D=0。例2討論方程組解的情況。解因為所以，當(dāng)λ=1時，D=0，此時方程組有非零解;當(dāng)λ≠1時，D≠0，此時方程組有唯一的零解。例3

求4個平面aix+biy+ciz+di=0(i=1，2，3，4)相交于一點(diǎn)(x0，y0，z0)的必要條件。解將平面方程寫成aix+biy+ciz+di=0，其中，t=1。于是4個平面交于一點(diǎn)等價于含x，y，z，t的齊次線性方程組有唯一的非零解(x0，y0，z0，1)。因為齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式的值為0，所以4個平面交于一點(diǎn)的必要條件為ThankYou!線性代數(shù)第2章矩陣矩陣的概念及特殊矩陣逆矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的運(yùn)算分塊矩陣矩陣的秩1234652.1矩陣的概念及特殊矩陣3特殊矩陣2矩陣的相等1矩陣的概念2.1.1矩陣的概念定義1由m×n

個數(shù)Aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)按給定順序排成的m行n

列的數(shù)表稱為m

行n

列矩陣，簡稱m×n

矩陣，其中，Aij稱為矩陣的第i

行第j

列的元素。m×n

矩陣可以表示為(Aij)或(Aij)m×n，一般用大寫的黑體英文字母A，B，C，…表示矩陣。規(guī)定(A11)1×1=A11。2.1.2矩陣的相等定義2行數(shù)與列數(shù)分別相等的矩陣稱為同型矩陣。例如，矩陣是同型矩陣。定義3設(shè)矩陣A=(aij)m×n與矩陣B=(bij)m×n為同型矩陣，如果它們對應(yīng)元素相等，即則稱矩陣A

與矩陣B

相等，記為A=B。(2.1.1)在式(2.1.1)中，當(dāng)且僅當(dāng)A=1，b=2，c=3，d=4時，有A=B。2.1.3特殊矩陣根據(jù)矩陣的形狀矩陣三角矩陣方陣單位矩陣數(shù)量矩陣對角矩陣零矩陣根據(jù)矩陣的元素行矩陣列矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣，如只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量)，如矩陣A=(a1，a2，

…，

an)是行矩陣。1．行矩陣2．列矩陣3．方陣為n

階方陣或n

階矩陣,簡記為A=(aij)n.元素a11，a22，…，ann

所在的直線稱為方陣的主對角線。行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，如式(2.1.1)中的矩陣A

與B

是2×2矩陣，一般稱為二階方陣或二階矩陣，如元素全為零的矩陣稱為零矩陣，m×n

零矩陣記為Om×n或O。4．零矩陣注意:不同型的零矩陣是不相等的，如！但O2≠O3！主對角線上的元素全為1，其他元素全為零的n

階方陣稱為n階單位矩陣，記為En，簡記為E，即5．單位矩陣注意:不同階的單位矩陣是不相等的。！主對角線上的元素相等，其他元素全為零的n階方陣稱為數(shù)量矩陣(或純量矩陣)，如6．?dāng)?shù)量矩陣不在主對角線上的元素全為零的n

階方陣稱為對角矩陣，如7．對角矩陣主對角線以下(或上)的元素全為零的n階方陣稱為上(或下)三角矩陣，如8．三角矩陣121為n

階上三角矩陣，而2則為下三角矩陣。2.2矩陣的運(yùn)算2.2.1矩陣的加法2.2.2數(shù)與矩陣的乘法2.2.3矩陣與矩陣的乘法2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置2.2.5方陣的行列式矩陣的運(yùn)算2.2.1矩陣的加法定義1設(shè)矩陣A=(aij)，B=(bij)都是m×n

矩陣，A

與B

的和記作A+B，規(guī)定：注意:只有兩個同型矩陣才可以相加。兩個同型矩陣相加是把它們的對應(yīng)元素相加，它們的和矩陣仍是同型矩陣。例如，若有三階方陣A=(aij)3×3，B=(bij)3×3，則！矩陣加法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A，B，C

都是m×n

矩陣):(1)交換律A+B=B+A；(2)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)。矩陣A=(aij)m×n的全部元素都變號后得到一個新矩陣(–aij)m×n，稱為A

的負(fù)矩陣，記作–A，顯然有由矩陣加法和負(fù)矩陣的概念定義矩陣減法：減去一個矩陣等于加上這個矩陣的負(fù)矩陣，即2.2.2數(shù)與矩陣的乘法定義2數(shù)λ

與矩陣A=(aij)m×n的乘積，記作λA

或Aλ，規(guī)定為：注意:數(shù)λ乘矩陣A

是矩陣A

中的每一個元素都乘以數(shù)λ。當(dāng)λ=–1時，(–1)×A=

–A

是矩陣A的負(fù)矩陣。數(shù)與矩陣乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A,B

都是m×n矩陣；λ，μ

都是數(shù))：！例1設(shè)矩陣求2A-3B。解2.2.3矩陣與矩陣的乘法定義3設(shè)矩陣A=(aij)是一個m×s

矩陣，矩陣B=(bij)s×n是一個s×n矩陣，矩陣A與B

的乘積是一個m×n

矩陣C=(cij)，其中：稱矩陣C

為矩陣A

與B

的乘積矩陣,記作C=AB。注意:(1)只有當(dāng)矩陣A

的列數(shù)等于矩陣B

的行數(shù)時,矩陣A

與矩陣B

的乘積AB

才有意義;(2)乘積矩陣AB

的行數(shù)等于矩陣A

的行數(shù),AB

的列數(shù)等于矩陣B

的列數(shù);(3)乘積矩陣AB

的第i行第j列元素cij等于矩陣A

的第i

行元素與矩陣B

的第j列對應(yīng)元素相乘，然后相加。！例2設(shè)矩陣求乘積矩陣AB

和BA。解例3設(shè)矩陣求AB，BA，AC。解(1)兩個矩陣相乘一般不能交換順序,即使在可乘的情況下,也不能隨便變換順序,即AB≠BA。因此,兩個矩陣相乘時,AB

稱為A

左乘B;而BA

稱為A

右乘B.對于兩個n

階方陣A,B,如果AB=BA,則稱方陣A

與B為可交換矩陣。矩陣乘法與大家熟悉的乘法存在根本差別：(2)矩陣乘法一般不能隨便消去同一個非零矩陣,即雖然A≠O,且AB=AC,但是不能得出B=C。(3)兩個非零矩陣的乘積可以是零矩陣(BA=O),但不能得出A=O

或B=O。矩陣乘法滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)矩陣A,B,C

對所涉及的運(yùn)算可行):(1)結(jié)合律(2)左乘分配律、左乘分配律對于單位陣E，容易驗證：或簡寫成可見，單位陣E

在矩陣乘法運(yùn)算中的作用類似于數(shù)1。對于方陣A，由于A

的列數(shù)等于行數(shù)，因此，可以歸納地給出方陣的冪運(yùn)算:其中，k

為正整數(shù).這就是說Ak

就是k

個A連乘.由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以方陣的冪運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律:其中，k，l為正整數(shù)。又因為矩陣乘法不滿足交換律，所以對于兩個n

階方陣A

與B，一般來說,有設(shè)A，B

都是n

階方陣，那么而因此數(shù)學(xué)中的乘法公式必須謹(jǐn)慎使用。！例4設(shè)m

次多項式記，稱f(A)為方陣A

的m次多項式。已知解由得即n個變量x1，x2，…，xn

與m

個變量y1，y2，…，ym

之間的關(guān)系式表示從一個變量x1，x2，…，xn

到變量y1，y2，…，ym

的線性變換，它可用矩陣表示為簡記作其中矩陣A

是變量X→Y

的線性變換矩陣。設(shè)有兩個線性變換Y=AX

和Z=BY。矩陣A

是X→Y

的線性變換矩陣，矩陣B

是Y→Z的線性變換矩陣，可得Z=B(AX)=(BA)X，從而矩陣BA是X→Y

的線性變換矩陣。例5設(shè)有兩個線性變換，與求從變量x1，x2，x3

到變量z1，z2，z3

的線性變換。解由題設(shè)可得將x1，x2，x3

到y(tǒng)1，y2，y3

的線性變換代入y1，y2，y3

到z1，z2，z3

的線性變換中去，得由矩陣乘法得從而得從x1，x2，x3

到z1，z2，z3

的線性變換為即2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)m×n

矩陣把矩陣A

的行換成同序號的列，得到一個n×m

矩陣定義4稱為A

的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為如果A=(dij)m×n，AT=(dij)n×m

，那么，矩陣AT

中的第i行第j

列元素dij就等于矩陣A中第j

行第i列元素Aji，即dij=Aji(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m)。(2)(A+B)T=AT+BT(3)(λA)T=λAT(λ

為數(shù))(4)(ABT)=BTAT(1)(AT)T=A矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足運(yùn)算規(guī)律這里僅證明運(yùn)算規(guī)律(4)。證設(shè)矩陣A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，記AB=C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m.由矩陣與矩陣相乘的定義，得C

的第j

行第i

列的元素而BT

的第i行為(b1i，b2i，…，bsi)，AT

的第j列為因為D

的第i

行第j列元素由轉(zhuǎn)置運(yùn)算的定義知(AB)T=CT，于是D=CT，即BTAT=(AB)T。定義5設(shè)A=(aij)是n階矩陣，如果AT=A，

即aij=aji

(i，j=1，2，…，n)，則稱A

為對稱矩陣；如果AT=-A，

即aij=-aji

(i，j=1，2，…，n)，則稱A

為反對稱矩陣。顯然，在反對稱矩陣中，主對角線上的元素均為零。例如為對稱矩陣，為反對稱矩陣。由定義可知，對稱矩陣的和、數(shù)量乘積仍為對稱矩陣;反對稱矩陣的和、數(shù)量乘積仍為反對稱矩陣。例6設(shè)A

為n

階反對稱矩陣，B

為n

階對稱矩陣，試證AB

–BA

為對稱矩陣。證由定義可知，AT=

–A，BT=B，于是所以AB

–BA

為對稱矩陣。2.2.5方陣的行列式定義6設(shè)A是n

階方陣，由方陣A

的元素按原來的位置構(gòu)成的行列式。稱為方陣A

的行列式，記作|A|或detA(2)|λA|=λn|A|(3)|AB|=|A||B|(1)|AT|=|A|方陣的行列式滿足運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A，B

為n

階方陣，λ

是數(shù)):運(yùn)算規(guī)律(3)說明，雖然兩個方陣相乘一般不能交換，但例如，矩陣從而|A|=2，|B|=–1，由運(yùn)算規(guī)律(3)可得于是得但即2.3逆矩陣2正交矩陣1逆矩陣的概念2.3.1逆矩陣的概念在代數(shù)運(yùn)算中，如果A≠0，其倒數(shù)A-1為等式在矩陣的乘法運(yùn)算中，對于任意n

階方陣A，都有這里單位矩陣E

與數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用非常相似。那么，對于n

階方陣A≠O，是否存在n

階方陣B，使得AB=BA=E

呢?如果存在這樣的方陣B，那么A

要滿足什么條件?如何利用A

把B

求出來?為此引進(jìn)逆矩陣的概念。定義1設(shè)A

是n

階方陣，若有一個n

階方陣B，使得則B

稱為A

的逆矩陣，A

稱為可逆矩陣，或非奇異矩陣。(2.3.1)

注意:由定義可知，可逆矩陣一定是方陣，并且它的逆矩陣亦為同階方陣;定義中A

與B的地位是等同的，所以B

也是可逆矩陣，并且A

是B

的逆矩陣。定理1若A

是一個n

階可逆矩陣，則它的逆矩陣是唯一的。證設(shè)A

有兩個逆矩陣B

與C，即于是所以逆矩陣是唯一的。由于可逆矩陣的逆矩陣是唯一的，用A-1表示A

的逆矩陣，于是有下面研究在什么條件下方陣是可逆的，以及如果A

可逆，怎樣求A-1.定義2設(shè)A=(aij)n×n，Aij為行列式|A|中元素Aij的代數(shù)余子式，稱為矩陣A

的伴隨矩陣。設(shè)A

為n

階矩陣，則有同理，A*A=|A|E。于是得到方陣A

與它的伴隨矩陣A*之間的重要關(guān)系式。(2.3.2)定理2n

階方陣A

可逆的充分必要條件是|A|≠0，且A

可逆時，有(2.3.3)其中，A*為A

的伴隨矩陣。證必要性：因為A

可逆，于是A-1存在，且這樣|A||A-1|=|E|，因此|A|≠0。充分性：當(dāng)|A|≠0時，由式(2.3.2)得：于是矩陣A

可逆，且例1設(shè)，求A-1。解故A

可逆。又則所以推論設(shè)A

與B

都是n

階方陣，若AB=E，則A，B

都可逆，并且A-1=B，B-1=A證因為AB=E，所以|AB|=|E|=1，從而|A|≠0，|B|≠0.因此A，B

都可逆。由定理2可知，A-1，B-1存在。在AB=E

兩端左乘A-1，得A-1=B.同理，B-1=A。例2設(shè)方陣A

滿足AX=A+X，證明A–E

可逆，并求其逆。證由得即則所以A–E

可逆，且下面給出可逆矩陣的一些性質(zhì)性質(zhì)1若A

可逆，則A-1可逆，且(A-1)-1=A。證

因為AA-1=E，由定理2的推論可知A-1可逆，并且(A-1)-1=A.性質(zhì)1若n

階矩陣A，B

都可逆，則AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1證

因為A，B

都可逆，所以A-1，B-1都存在。又因由定理2的推論可知，AB

可逆，并且(AB)-1=B-1A-1性質(zhì)2可以推廣到多個可逆矩陣的情形：設(shè)A1，A2，…，Am

均為n階可逆矩陣，則A1A2…Am

也可逆，并且性質(zhì)3若A

可逆，則|A-1|=|A|-1證因為AA-1=E，所以|A||A-1|=1.于是|A-1|=|A|-1。性質(zhì)4若A

可逆，則(AT)-1=(A-1)證因為AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，由定理2的推論可知，AT

可逆，并且(AT)-1=(A-1)T。性質(zhì)5性質(zhì)6性質(zhì)7若A可逆，數(shù)k≠0，則若A

可逆，且AB=O，則B=O若A可逆，且AB=AC，則B=C例3設(shè)A

為n

階可逆矩陣，證明A

的伴隨矩陣A*可逆，且證因為矩陣A

可逆，且，所以又因為|A|≠0，A-1可逆，故A*可逆，且利用矩陣的逆，可以給出第1章中克萊姆法則的另一種證法。由矩陣乘法，非齊次線性方程組(1.6.1)可寫為(2.3.4)其中為線性方程組的系數(shù)矩陣，當(dāng)|A|=D≠0時，矩陣A

可逆，用A-1左乘式(2.3.4)兩邊，得(2.3.5)即這樣就得到方程組(1.6.1)的解，并且是唯一解。還可以把上面的方法推廣到一般形式的矩陣方程:其中，A，B

均為可逆矩陣，則上述矩陣方程分別有唯一解例4解線性方程組解方程組的矩陣形式為AX=b，其中由于故A

可逆，應(yīng)用式(2.3.5)，有于是方程組的解為x=0，y=–1，z=3例5解矩陣方程2X=AX+B，其中解由得因為所以矩陣2E–A

可逆。由式(2.3.5)，有2.3.2正交矩陣定義3設(shè)A

為實數(shù)域R上的方陣，如果它滿足AAT=ATA=E，則稱A

為正交矩陣。例如定理3實數(shù)域R上的方陣A

為正交矩陣的充分必要條件是A-1=AT正交矩陣的性質(zhì)(1)若A

為正交矩陣，則|A|=1或|A|=–1;(2)正交矩陣的逆矩陣及轉(zhuǎn)置矩陣仍為正交矩陣;(3)若A，B

是同階正交矩陣，則AB

也是正交矩陣;(4)正交矩陣的每行(列)元素的平方和等于1，不同兩行(列)的對應(yīng)元素乘積之和等于0.證這里僅證性質(zhì)(3)和(4)。(3)由于A，B

是正交矩陣，所以AAT=E，BBT=E，從而即AB

為正交矩陣。(4)設(shè)A=(aij)n

為正交矩陣，則根據(jù)矩陣乘法與矩陣相等的定義，有同理可證性質(zhì)(4)成立。例6設(shè)A

為正交矩陣，B

為與A

同階的對稱矩陣，且(A–B)2=E?；啠航庥捎谒訟-B

可逆，且于是2.4分塊矩陣分塊矩陣的概念1分塊矩陣的運(yùn)算2分塊對角矩陣32.4.1分塊矩陣的概念定義1用若干條橫線與若干條縱線將矩陣分成若干小塊，每個小塊稱為矩陣的子塊;以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。例如按下述分法分塊令則矩陣是矩陣A

的分塊矩陣。若將A

按如下分法分塊令則矩陣也是矩陣A

的分塊矩陣。2.4.2分塊矩陣的運(yùn)算

1.分塊矩陣的數(shù)乘將m×n

矩陣A

分成r×s的分塊矩陣若λ

為實數(shù)，則2.分塊矩陣的加法將m×n

矩陣A

與B

按相同的分塊法分別分成r×s的分塊矩陣則

3.分塊矩陣的乘法設(shè)A

為m×l矩陣，B

為l×n

矩陣，按A

的列的分法與B

的行的分法相同的分塊法把A與B

分成則AB=C=(Cij)r×s，其中例1設(shè)試?yán)梅謮K矩陣的乘法計算AB。解把矩陣A

與B

分別分成則在利用分塊矩陣的乘法討論AB

時，下面的特殊情形值得注意。設(shè)A

為m×l矩陣，B

為l×n

矩陣，將右矩陣B

按列分塊:則若AB=O，則，從而即是矩陣方程的解，也就是說B

的列是的解。4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置將m×n

矩陣A

分成r×s的分塊矩陣則A

的轉(zhuǎn)置矩陣2.4.3分塊對角矩陣定義2形如的分塊矩陣稱為分塊對角矩陣(或準(zhǔn)對角矩陣)，簡記為其中，Ai(i=1，2，…，r)為方陣。例如:是分塊對角矩陣，其中分塊對角矩陣具有類似于對角矩陣的運(yùn)算性質(zhì):設(shè)n

階矩陣A

與B

采用相同的分塊法，分別得到分塊矩陣則有下述性質(zhì):性質(zhì)1，性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)6k為正整數(shù)若均可逆，則其中λ為實數(shù)例2設(shè)求A-1。解對A

進(jìn)行分塊因為所以例3設(shè)用分塊矩陣計算AB。解將矩陣A，B

作如下分塊則因為所以例4設(shè)，

且m階矩陣B

和n

階矩陣C

均可逆，試證明分塊矩陣A

可逆，并求A-1

證將|A|中的第n+1列與第1列至第n

列逐列交換到第1列，再將第n+2列與第2列至第n+1列逐列交換到第2列，……，最后將第n+m

列與第m

列至第n+m-1列逐列交換到第m列，共進(jìn)行了mn次列交換，有所以A

可逆。設(shè)由得由B，C

可逆，解得則由例4可得，當(dāng)Ai(i=1，2，…，r)均可逆時，有2.5矩陣的初等變換與初等矩陣1矩陣的初等變換與矩陣的等價2初等矩陣3求可逆矩陣逆矩陣的初等變換法2.5.1矩陣的初等變換與矩陣的等價1.矩陣的初等變換與矩陣等價的概念定義1對矩陣的以下三類變換稱為矩陣的初等行(或列)變換:(1)交換矩陣的兩行(或列);(2)矩陣的某一行(或列)乘不為零的數(shù)k;(3)將矩陣的某一行(或列)乘數(shù)k

加到另一行(或列)上去。定義1若矩陣A

經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，則稱矩陣A

與B

行等價，記作例如，若則A→B。矩陣的等價具有以下性質(zhì):性質(zhì)1反身性:A→A性質(zhì)2對稱性:如果A→B，那么B→A性質(zhì)3傳遞性:如果A→B，B→C，那么A→C2.矩陣的行階梯形與矩陣的行最簡形定義3若矩陣A

的非零行的第一個非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增加而嚴(yán)格增加，則稱矩陣A

為行階梯形矩陣.若矩陣A

是行階梯形矩陣，且其非零行的第一個非零元素為1，而該元素所在列的其他元素全為0，則稱矩陣A

為行最簡形矩陣。例1試問下列矩陣哪些是行階梯形矩陣，哪些是行最簡形矩陣?解根據(jù)定義3知，矩陣A，B，C

為行階梯形矩陣，矩陣A，B

為行最簡形矩陣。矩陣D

不是行階梯形矩陣。定理1任意矩陣經(jīng)過有限次初等行變換可以變成行階梯形矩陣和行最簡形。例2設(shè)矩陣對A

作行初等變換，化A

為行階梯形矩陣。解B

為行階梯形矩陣。對B

繼續(xù)施以行初等變換，得則矩陣R

為行最簡形矩。若對R

使用初等列變換，有定義4形如的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，其中Er

是r

階單位矩陣。由例2有下述定理：定理2

任意矩陣經(jīng)過有限次初等變換都可以變成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。2.5.2初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的方陣，稱為初等矩陣。定義5由三類初等變換，可得到如下三類初等矩陣。(1)交換矩陣E(i，j):交換單位矩陣的第i行(列)與第j

行(列)所得到的方陣。rirjcicirirjcici顯然，|E(i，j)|=-1，則E(i，j)可逆，且E-1(i，j)=E(i，j)。可以證明:(2)倍乘矩陣E(i(k)):矩陣的第i行(或列)乘不為零的數(shù)k

所得到的方陣。ricirici顯然，|E(i，j)|=k，則E(i(k))可逆，且可以證明:(3)倍加矩陣E(i，j(k)):將矩陣的第j

行(或第i列)乘數(shù)k加到第i

行(或第j

列)上去所得到的方陣。rirjcicirirjcici顯然，|E(i，j(k))|=1，則E(i，j(k))可逆，且E-1(i，j(k))=E(i，j(-k)).可以證明:由以上討論，有下述定理：(1)初等矩陣都可逆，且其逆矩陣為同類的初等矩陣定理3(2)設(shè)A

為m×n

矩陣，對A

作一次初等行變換，相當(dāng)于在A

的左邊乘一個相應(yīng)的m

階初等矩陣;對A

作一次初等列變換，相當(dāng)于在A

的右邊乘一個相應(yīng)的n階初等矩陣定理4

n階矩陣A

可逆的充分必要條件是A

可表示成有限個初等矩陣的乘積，即A=P1P2…Ps，其中，Pi(i=1，2，…，s)為初等矩陣。證

先證充分性。設(shè)A=P1P2…Ps，因初等矩陣可逆，有限個可逆矩陣的乘積仍可逆，故A

可逆。

再證必要性。設(shè)n階方陣A

可逆，且A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為F，由F→A

知，F(xiàn)

經(jīng)有限次初等變換可化為A，即有初等矩陣P1，P2，…，Ps，使因為A可逆，P1，…，Ps

也都可逆，故標(biāo)準(zhǔn)形矩陣F

可逆。假設(shè)中的r<n，則|F|=0，與F

可逆矛盾，因此必有r=n，即F=E，從而2.5.3求可逆矩陣逆矩陣的初等變換法設(shè)n

階矩陣A

可逆。由分塊矩陣的乘法，有又由于A-1可逆，由定理4得，存在s個n

階初等矩陣P1，P2，…，Ps，使得則由定理3，得(2.5.1)設(shè)A

為n

階可逆矩陣，由式(2.5.1)得到利用初等行變換求逆矩陣的方法，其步驟如下:(1)寫出n×2n

矩陣(A┊En);(2)利用初等行變換將(A┊En)變成行最簡形(3)寫出A

的逆矩陣A-1例3設(shè)求A-1。解因所以對于矩陣方程AX=B，如果A

可逆，則X=A-1B，有所以可得利用初等行變換求解矩陣方程AX=B

的方法例4設(shè)求矩陣X，使AX=B。解因為所以A

可逆。所以!本例用初等行變換求解方程AX=B。對矩陣方程XA=B

來說，若A

可逆，則X=BA-1。與上述類似，為求BA-1，只需對作初等列變換，在把A

化為E

的同時，將B

化成BA-1?；蛘?，為解矩陣方程XA=B，可先解矩陣方程ATXT=BT。對矩陣作行變換得即2.6矩陣的秩矩陣秩的概念矩陣秩的計算矩陣秩的性質(zhì)1232.6.1矩陣秩的概念定義1在m×n

矩陣A

中，任意選取k

行k

列(k≤min{m，n})交叉處的k2

個元素，不改變它們在A

中原來的順序所構(gòu)成的k階行列式稱為矩陣A的k

階子式。根據(jù)組合的知識，m×n

矩陣A

共有個k

階子式。定義2若矩陣A

中存在一個r

階子式Dr

不等于零，而所有的r+1階子式(如果存在的話)全等于零，則不等于零的r

階子式Dr

稱為矩陣A

的最高階非零子式。定義3矩陣A

的最高階非零子式的階數(shù)稱為矩陣A

的秩，記為R(A)。例1求矩陣的秩。解A

的左上角的二階子式，因此R(A)≥2。A

的三階子式共有4個，且所以R(A)=2。2.6.2矩陣秩的計算定理1初等變換不改變矩陣的秩.由定理1，可得求矩陣A

的秩R(A)的方法:則R(A)=R(B)=行階梯形矩陣B

的非零行的行數(shù)。例2求矩陣的秩。解由于所以R(A)=3。例3設(shè)矩陣，試問λ

為何值時，R(A)=1，R(A)=2，R(A)=3.解利用初等行變換將A化成行階梯形矩陣：(2.6.1)討論:(1)要使R(A)=3，則，

即λ≠1且λ≠-2。.(2)當(dāng)λ=1時，把λ=1代入式(2.6.1)的最后一個矩陣，得.則R(A)=1。(3)當(dāng)λ=-2時，把λ=-2代入式(2.6.1)的最后一個矩陣，得.則R(A)=1。2.6.3矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3設(shè)A

為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min{m，n}R(AT)=R(A)其中，λ

為常數(shù)性質(zhì)4若A→B，則R(A)=R(B)，即等價矩陣有相同的秩.但反之不然.性質(zhì)5設(shè)A

為m×n

矩陣，P為m

階可逆矩陣，Q

為n

階可逆矩陣.則例4設(shè)4×3矩陣A

的秩R(A)=2，，試求R(AB)。解顯然B

為可逆矩陣，則R(AB)=R(A)=2。性質(zhì)6設(shè)A

為m×s矩陣，B

為m×t矩陣，則特別地，其中，b為m×1矩陣。性質(zhì)7設(shè)A，B均為m×n

矩陣，則性質(zhì)8

設(shè)A

為m×s矩陣，B

為s×n

矩陣，則性質(zhì)9設(shè)A

為m×s矩陣，B為s×n

矩陣，且AB=O，則例5設(shè)A

為n

階矩陣，滿足A2-3A-4E=O.證明:證由性質(zhì)7，得即(2.6.2)又，由性質(zhì)9，得(2.6.3)所以性質(zhì)10設(shè)A為n(n≥2)階矩陣，則證分三種情形討論:(1)當(dāng)R(A)=n

時，A

為滿秩陣，即非奇異矩陣，則|A|≠0.由|A*|=|A|n-1，得|A*|≠0，則R(A*)=n。(2)當(dāng)R(A)=n-1時，有|A|=0，則AA*=|A|E=O，所以R(A)+R(A*)≤n，得(2.6.4)由R(A)=n-1知，|A|中至少有一個元素的余子式不為零，從而對應(yīng)的代數(shù)余子式也不為零，所以A*是非零矩陣，即(2.6.5)由式(2.6.4)與式(2.6.5)，得(3)當(dāng)R(A)<n-1時，|A|中每一個元素的余子式都為零，從而對應(yīng)的代數(shù)余子式也為零，所以A*是零矩陣，則R(A*)=0.例6設(shè)四階矩陣試求:(1)A

的秩R(A);(2)A的伴隨矩陣A*的秩R(A*)及A*解(1)則R(A)=2(2)因為R(A)=2<3，所以R(A*)=0，則A*=O.ThAnkYou!線性代數(shù)

Linear

Algebra2第3章向量組與向量空間向量組的線性相關(guān)性413向量組及其線性組合向量組的秩向量空間3.1向量組及其線性組合向量組1向量組的線性組合23.1.1向量組定義1

n

個有次序的數(shù)a1，a2，…，an

所組成的數(shù)組稱為n維向量。ai

稱為該向量的第i

個分量。分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。n

維向量可以寫成一列，記作稱為列向量，也就是n×1列矩陣。n

維向量也可以寫成一行，記作稱為行向量，也就是1×n

行矩陣。規(guī)定:n

維向量的運(yùn)算按矩陣運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行，即設(shè)λ

是數(shù)，n

維向量分別是向量α

與β

的和以及數(shù)λ

與向量α

的乘積。則在解析幾何中，如果取定一個空間直角坐標(biāo)系[O；x，y，z]，并以i，j，k

分別表示與三個坐標(biāo)軸方向一致的單位向量，那么空間任一向量α可分解為其中，x，y，z稱為向量α在坐標(biāo)系[O；x，y，z]中的坐標(biāo)(或分量)。向量α也可用它的坐標(biāo)簡單地表示為同維數(shù)向量的集合稱為向量組。例如，n

維向量的全體所組成的集合為在Rn中，向量個數(shù)有無限個。給定一個m×n

矩陣A=(aij)m×n，A

的每一列都是一個列向量，因此A

有n個m

維列向量它們組成的向量組稱為矩陣A

的列向量組,并且把稱為列向量矩陣。A

的每一行都是一個行向量，因此A

有m個n維行向量它們組成的向量組稱為矩陣A

的行向量組，并且把稱為行向量矩陣。反之，由有限個向量組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣。m

個n

維列向量組成的向量組A

：α1，α2，…，αm

可以構(gòu)成一個n×m

矩陣m

個n

維行向量組成的向量組B：可以構(gòu)成一個m×n

矩陣3.1.2向量組的線性組合設(shè)向量組由向量的線性運(yùn)算知道，這時稱α3

是α1，α2

的線性組合。定義2設(shè)有向量組，對于任意一組數(shù)，向量：稱為向量組A

的一個線性組合,數(shù)稱為這個線性組合的系數(shù)。設(shè)有向量組，以及向量β,如果有一組數(shù)使則β

是向量組A

的線性組合，這時也稱向量β

能由向量組A

線性表示。利用分塊矩陣乘法，可寫成在n

維向量的全體中，向量組稱為n

維基本單位向量組。任一n

維向量都可以由表示成如何判斷別向量β

能否由向量組線性表示呢?給出下面的定理：？定理1向量β

可由向量組線性表示的充分必要條件是:矩陣與矩陣