冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)-2024年高中數(shù)學(xué)競賽講義 含答案

騫函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)專題-2024年高中數(shù)學(xué)競賽講義含答

案

察函數(shù)?指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

知識方法掃描

一、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

形如夕=ax（a>0,aWl）的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)，其定義域為R,值域為（0,+8）.當(dāng)0<aVl時，9=靖是

減函數(shù)，當(dāng)a>l時，y=a，為增函數(shù)，它的圖像恒過定點（0,1）.

二、分?jǐn)?shù)指數(shù)累

1m__-1m-1

a"—an—A/am,an——,an-—.

三、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)V=logQ（a>0,aWl）的定義域為（0,+8）,值域為R,圖像過定點（1,0）.它是指數(shù)函數(shù)y=

（a>0,aW1）的反函數(shù)，所有性質(zhì)均可由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出.當(dāng)0<a<l時，v=log。/為減函數(shù)，當(dāng)a

>1時，9=10gaC為增函數(shù).

四、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（M>0,7V>0）

⑴alog?=M（這是定義）；

⑵10goeMV）=log^+loga7V；

（3）loga（各）=logJW-logJV；

n

（4）logaM=nlogaM；

c

（5）logafe=：°g。（a,b,c>0,a,c豐1）（換底公式）.

logca

由以上性質(zhì)（4）、（5）容易得到以下兩條推論：

l）logW=*og/；2）logU=七.

典型例題剖析

題］已知心是方程2+1g?=10的根，，2是方程，+10'=10的根，求21+，2的值.

til2已知a>0,b>0,log9a=logi2b=logi6（a+b）,求2的值.

?M

阿3已知函數(shù)/⑸=一H-logi——，試解不等式/(力(力—＞、?.

x~rl12—x''2〃2

的4設(shè)方程Ig(fcr)=21g(N+1)僅有一個實根，求k的取值范圍.

口15解不等式：logi2(，^+>log64T.

???

如已知l〈aWb<c證明：log/+log6c+logca<log6a+logcfe+logac.

詞7設(shè)函數(shù)/(6)=|lgQ+1)|,實數(shù)Q,fe(a<fe)滿足/(Q))，/(10a+6b+21)=41g2,求Q、b的

值.

???

同步訓(xùn)練

一、選擇題

題目口已知a、b是方程log3i3+log27（3/）=-a的兩個根，則a+b=（）.

A10BAcMD28

,27,81.81,81

、題目團(tuán)已知函數(shù)/（劣）=---^±）力2+版+6（0,6為常數(shù)，1）,且/（IglogglOOO）=8,則/（lglg2）的值

是（）.

A.8B.4C.-4D.-8

題目可如果/（6）=1-log;r2+log^O-log/64,則使/（力）V0的力的取值范圍為（）.

A.0<re<1B.1<TC.T>1D.力

OO

題目@若/3）=炮儂2—2ac+a）的值域為R,則a的取值范圍是（）.

A.0<a<1C.aVO或a>lD.a&O或a>l

二、填空題

題目宜|設(shè)/（C）=log3rc—"4—力，則滿足/（力）>0的力的取值范圍是.

題目回設(shè)0<a<l,0<e<￡"=（sin。產(chǎn)口叫y=（cos。）"-',則加與y的大小關(guān)系為.

題目⑺設(shè)/（0=/=+炕詈生，則不等式/伉伉一與）〈《的解集為

2力+51+x\\Z））5-------

SEE設(shè)%）=七+七+三,則加）+/（爭=

三、題

題目旬已知函數(shù)/（’XaNBagXXaWl）的反函數(shù)是y=廣1（必）,而且函數(shù)沙=gQ）的圖像與函數(shù)沙=廣1

Q）的圖像關(guān)于點（a,0）對稱.

（1）求函數(shù)9=g（，）的解析式；

（2）若函數(shù)F3）=尸（，）-g（—0在ce[a+2,a+3]上有意義，求a的取值范圍.

題目10］設(shè)/(①)—loga(a:—2a)+10go(劣—3a),其中a>0且aW1.若在區(qū)間［a+3,a+4］Jzf(x)W1恒成

立，求a的取值范圍.

（x+y_12

題目［11解方程組，（其中eyCR*）.

酶目[12)已知/(a?)=lg(x+1)--j-log32：.

(1)解方程/Q)=o；

(2)求集合M={n|/(n2-214n-1998)>0,n6Z}的子集個數(shù).

?M

22

題目13］已知Q>0,aW1,試求使得方程log公(力—ak)=loga(a?—a)有解的k的取值范圍.

題目叵J已知0.301029<lg2<0.301030,0.477120<lg3<0.477121,求20001979的首位數(shù)字.

題目15］已知30+13"=17°,50+7"=1甘，試判斷實數(shù)a與b的大小關(guān)系，并證明之.

題目RT）解不等式108232+33°+5砂+3"+1）<1+log2（，+l）.

知識方法掃描

一、指致函蛛其14JB

形如y=a"a>0,a21）的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)，其定義域為R,值域為（0,+8）.當(dāng)0VaV1時，9=靖是

減函數(shù)，當(dāng)a>l時，y=短為增函數(shù)，它的圖像恒過定點（0,1）.

二、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

1m__

an—y/a,an—A/O?,cT"=

三、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)V=logQ（a>0,aWl）的定義域為（0,+8）,值域為R,圖像過定點（1,0）.它是指數(shù)函數(shù)y=a'

（a>0,aW1）的反函數(shù)，所有性質(zhì)均可由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出.當(dāng)0<a<l時，v=log。/為減函數(shù)，當(dāng)a

>1時，y=10gaC為增函數(shù).

四、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（M>0,N>0）

⑴alog?=M（這是定義）；

（2）loga（MV）=log^+loga7V；

（3）log。（部）=logJW-logJV；

n

（4）logaM=nlogaM；

c

（5）logab=：°g。（a,b,c>0,a,c豐1）（換底公式）.

logca

由以上性質(zhì)（4）、（5）容易得到以下兩條推論：

1）1吸獷='1。岫2）1。齦=心.

典型例題剖析

網(wǎng)］已知力1是方程力+lgN=10的根，力2是方程⑦+1。|=10的根，求力1+/2的值.

【解法11由題意得-'1,表明◎是函數(shù)9=IgC與?/=10—C的交點的橫坐標(biāo)，。2是函數(shù)

11U-1U62

y=10”與g=10—力的交點的橫坐標(biāo).因為g=Igrc與y=10”互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于g=力對稱，由

g=10―力得匕二1所以安=5,所以為+，尸1。.

y=*

X2

【解法2】構(gòu)造函數(shù)/（力）=力+1g/,由力i+lg力產(chǎn)10知/（0）=10,rc2+10=10即10*2+煙10g=io,則

/(10X2)=10,于是/(g)=/(10*2),又/(力)為(0,+oo)上的增函數(shù)，故力產(chǎn)10的，力］+g=10^2+3;2=10.

‘k10’g，兩式相減有g(shù)+22—10=lO^-lO'2.若X.+X2-10>0,則1()1°——10失

【解法3】由題意得

10—x2—10

>0,得10—Xi>3，矛盾；若力i+g—10V0,則io"i—io*2V0,得［0—力］<①2,矛盾；而當(dāng)/1+力2=1。時,

滿足題意.

【評注】解法1巧妙地利用了數(shù)形結(jié)合的方法，解法2巧妙地利用了函數(shù)的單調(diào)性，解法3巧妙地利用了反

證法的技巧.

f如2已知a>0,b>0,loga=logib=log(a+b),求(■的值.

9216???

【解法1】設(shè)log9a=logi2fe=logi6(a+b)=k，則a=931=12*，a+b=16。

由于9fcx16fc=故(a+b)a=b2,解得：3負(fù)根舍去).

fc

【解法2】設(shè)log9a=log12b=logi6(a+b)=阮則a=9、b=12",a+b=16.

互=*(裁,而-此故i+管=臂，即[(f)T-(4)-i=。，

a9fcv379fc9fcLV37Jv37

故右=(4)=片⑤(負(fù)根舍去)■

a,3，2

【評注】對數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，有關(guān)對數(shù)的運(yùn)算和處理,往往可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)的運(yùn)算和處理.

間3已知函數(shù)/(劣)=—j—+logi—，試解不等式/(力(力一

【分析】本題為分式不等式與對數(shù)不等式混合.初看不易解決，但可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞

減，這是本題的解題關(guān)鍵.

【解】易證函數(shù)沙=/3)在其定義域(0,2)內(nèi)是單調(diào)減函數(shù).并且/(1)=]■，所以原不等式即為

*---)]____

2

/?_]))>/⑴等價于、1工<1+嚴(yán)或1-嚴(yán)

【評注】利用函數(shù)單調(diào)性解決不易入手的不等式是一種常用方法.

胸4設(shè)方程Ig(fcr)=21goe+1)僅有一個實根，求k的取值范圍.

【分析】本題要注意函數(shù)的定義域.

(kx>0①

【解法1]當(dāng)且僅當(dāng)卜+1>0②

[/+(2—k)x+1=0③

時原方程僅有一個實根，對方程③使用求根公式，得力i,g=—2±J/-4k)④

A=fc2—4fc>0=>kV0或k>4.

當(dāng)z<0時，由方程③，得卜1+電：“二2<0,所以?,g同為負(fù)根.

⑶電=1>0,

>

又由方程程④知卜1+1所以原方程有一個解X1.

[g+ivo,

當(dāng)％=4時，原方程有一個解力二5一1=1.

當(dāng)%>4時，由方程③,得卜什鈾：”2>0,

⑶/2=1>0.

所以冗1,應(yīng)同為正根，且力1W62,不合題意，舍去.

綜上所述可得kvo或k=4為所求.

【解法2】由題意，方程fcr=Q+1)2,也即方程+工+2在滿足關(guān)于a;的不等式代工八的范圍內(nèi)

x[力+1>0

有唯一實數(shù)根，以下分兩種情況討論：

(1)當(dāng)％>0時，^=土+工+2在rc>0范圍內(nèi)有唯一實數(shù)根，則有k=4;

X

(2)當(dāng)場<0時，k=a;+工+2在一l<a;<0范圍內(nèi)有唯一實數(shù)根，則有％<0.

X

綜上可得kvo或k=4為所求.???

【評注】本題實質(zhì)上是一道一元二次方程問題.

胸5解不等式：logi2（V^+9）>log64X.

6

【分析】若考慮到去根號，可設(shè)/=/（沙>0）,原不等式變?yōu)閘ogi2（娟+y2）>log644=\og2y，即210gl2g+

log2(?/+1)>log2g，陷入困境.

原不等式即61og(V^+版)>loga;n21oga;+log(1+a;6)i：]

1221212>log?，設(shè)力=logS,則logi2?=-j-----—

22[Oga;,/

1

同樣陷入困境,下面用整體代換"=log^.

210gl2+1限3'64

【解】設(shè)y=log64力，則/=64",代人原不等式，有

1。取2⑻+4"）>y,8"+4">12",信『+佶）”>1，

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知"=log646Vl，則0VcV64.故原不等式的解集為（0,64）.

6已知l〈Q&b<c證明：log/+log6c+logca&logba+logc6+logac.

【證法1】注意到(log/+log6c+logca)-(log6a+log力+logac)

_/Inb.Inc.Ina\_(Ina.Inb.Inc\

IInaInfeInc)<InbIncIna)

(h12bhic+ln2clna+ln2alnb)—(ln2felna+ln2clnb+ln2alnc)

Inalnblnc

(Ina—Inb)(Inb—Inc)(Inc—Ina)

Inalnblnc

【證法2】設(shè)log：=/，log(=g,則log：=」一，于是原不等式等價于x+y+—^—+—+xy9

xyxyxy

即+xy2-\-l&g+力+x2y2,即xy(x+g)—(%+y)+(1—?—)&0,也即(x+y—1—xy)(xy-1)40

也即3—1)(y-1)(xy—1)>。，由lVa&b《c知力>Lg>l,所以(力一1)(9-1)(xy—1)>0,得證.

因為lVa&b&c,所以Inalnblnc>0,(Ina—Inb)(Inb—Inc)(Inc—Ina)>0

所以

(log/+log6c+logca)-(log6a+logcb+logac)<0

即

log/+log&c+logca<logba+logc6+log/。

【評注】若令力=Ina,y=Inb,z—\nc則原不等式等價于：設(shè)0求證：

dy+y1z+Wxy2-\-yz2+zx2.

網(wǎng)7設(shè)函數(shù)/(力)=|lg(a;+1)|,實數(shù)Q,b(a<b)滿足/(a),/(10a+6b+21)=41g2,求a、b的

值.

【分析】利用已知條件構(gòu)建關(guān)于Q、b的二元方程組進(jìn)行求解.

【解】因為加)=/(—制)，所以

|lg(a+l)|=|lg(~+1)|=|=1g(6+2)|

所以，a+l=b+2或(0+1)(》+2)=1,又因為0<匕,所以。+1￡6+2,所以(G+1)(6+2)=1

又由于OVa+lVb+lVb+2,于是OVa+lVlVb+2,所以

(10a+6b+21)+1=10(a+1)+6(b+2)=6(b+2)+>1,?M

從而

/(10a+6b+21)=|lg[6(6+2)+￡]|=尬上(&+2)+

又/(10a+66+21)=41g2，所以lg[6(6+2)+告5]=41g2,故6(6+2)+泮5=16.

解得b=—或b=-1(舍去).

把b——巳代故(a+1)(b+2)—1,解得a——

35

所以，a=一卷,b=--

53

同步訓(xùn)練

一、選擇題

題目工]已知a、b是方程1083。3+10827(3C)=一六的兩個根，則a+b=().

O

AMBAc也

-27-81-81

【答案】。

log33?log3(3ap率即］+黑3，+1+產(chǎn)了=一《

【解析】原方程變形為令l+log3/=力，則

log3(3rc)log327

+《=—4，解得力尸一1,右2=—3.所以1+log3T=-1或1+log3力=-3,方程的兩根分別為《和《，所以

339ol

CL-\-b—.故選C.

題目可已知函數(shù)/⑵=(J]+~|~%2+b/+6(Q,b為常數(shù),Q>1),且/(IglogglOOO)=8,則/(lglg2)的值

是().

A.8B.4C.-4D.—8

【答案】B.

【解析】由已知可得

/(IglogslOOO)=/(lg^7)=/(Tglg2)=8,

\JJLg//

又

1_ax

1---t--------1_---,---1---_-1---.-——,一]1----,--1--_1-——1-------1----------

xx

2l-a"2l-a2a-l2

令F(i)=/(宏)一6,則有F(一⑼=—FQ).從而有

/(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lglg2)+6=8,

即知F(lglg2)=-2,f(lglg2)=F(lglg2)+6=4.

題目WJ如果/(/)=1一log/2+log/9-logd64,則使/(/)V0的力的取值范圍為().

A.0<rc<1B.1<a;<C.re>1D.a?>

oo

【答案】A

【解析】顯然力>0,且力W1.

Q

/（X）=1-log/2+log9-log64=1-log,2+log^S-log4=log^rc.

23xo

要使/㈤<0.當(dāng)%>1時，-1-xVI,即IV6v~1~；當(dāng)ov/VI時，■）〉1,此時無解.

838

由此可得，使得/（力）V0的力的取值范圍為1VrcV~|~.應(yīng)選_B.

O

題目⑷若/Q)=lg("—2a，+a)的值域為R,則a的取值范圍是().

A.0<a<1B.OWaWlC.a<0或a>lD.aWO或a'l

【答案】D

【解析】由題目條件可知，(0,+co)Q{y\y—x2—2ax+a},故△=(—2a)2—4a>0,解得a<0或a>1.選D

二、填空題

題目回設(shè)f(x)=log3a：—〃4—c，則滿足f(x)>0的rc的取值范圍是.

【答案】[3,4].

【解析】定義域(0,4].在定義域內(nèi)人。)單調(diào)遞增，且/(3)=0.故/(0>0的7的取值范圍為[3,4].

「題目回設(shè)0VQV1,0V9V￡,C=(sin外。口皿，y=((^夕產(chǎn)加我，則力與"的大小關(guān)系為.

【答案】/〈沙.

【解析】根據(jù)條件知，0Vsin9<cosff<1,0<sin。<tan。VI,因為OVaVl,所以/Q)=logao;為減函

數(shù)，所以logaSin。>logatan0>0,于是

1OSaSin

力=(Sin0)"<(sin夕產(chǎn)gatan^v(cos外°g&nJ=y

題目⑶設(shè)/㈤=+lg^=^,則不等式/缶伍一4））V4的解集為

2/+51+x\\2〃5

【解析】原不等式即為/,d))v/(o)?

因為/Q)的定義域為(一1,1),且/(2)為減函數(shù).

—1Vx[x—<17

所以<解得立e(上產(chǎn),o)U怎,1+J).

x（^x—I"）>0.

?E3設(shè)%)=三+春+三，則加)+/《)=

【答案】3.

1

加⑸+/臼=力+--------1-----1-----------i-]+仆。+]+8-頤

1+431+831+2一頤

三、解答題

、題目⑥已知函數(shù)/㈤=ax+3a(a>0,a/1)的反函數(shù)是9=廠】(力，而且函數(shù)夕=g(0的圖像與函數(shù)9=廣^

(①)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.

(1)求函數(shù)g=g(劣)的解析式；

(2)若函數(shù)F(力)=廣1(N)一g(—力)在力G[a+2,a+3]上有意義，求a的取值范圍.

【解析】(1)由f⑸=Q,+3Q(Q>0,QW1),得廣iQ)=loga(rc—3a).又函數(shù)9=g(x)的圖像與函數(shù)y=廣,

S.

11

（x）的圖像關(guān)于點（Q,0）對稱,則g（a+x）=—f~（a—力），于是，g（比）=—f~（2a—x）=~loga（—a;—a）,（x<

—a）.

（2）由⑴的結(jié)論，有F（x）二尸（劣）—g（—力）=log。（力一3a）+loga（T—a）.要使F（x）有意義，必須滿足

(X—3a>0,

又a>0,故力>3Q.由題設(shè)F（/）在力G［a+2,a+3］上有意義，所以G+2>3Q,即QV1.

[x—a>0.

于是，0VQV1.

［題目101設(shè)/（力）=log。（力一2a）+log。（力一3a）,其中a>0且QW1.若在區(qū)間［a+3,a+4］上/（力）<1恒成

立，求Q的取值范圍.

【解析】/（力）=logaQ2-5a/+6a2）=log］（/-號丫-號）.

由（0、八得力>3。，由題意知a+3>3Q,故aV~~，從而（Q+3）—黑~=—^-（2—a）>0,故函數(shù)

一Ja>U,222

g{x）=（劣一31）?一手在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞增.

若0VaVl,則/（/）在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞減，所以/（n）在區(qū)間［a+3,a+4］上的最大值為/（Q+

2

3）=loga（2a—9a+9）.

在區(qū)間［a+3,a+4］上不等式/（力）<1恒成立，等價于不等式logloga（2Q2_9a+9）41恒成立，從而2金

—9Q+9>Q,解得a>,+心或Q<^~.結(jié)合OVaVl,得OVaVl.

若1VaV9,則/（力）在區(qū)間［a+3,a+4］上單調(diào)遞增，所以/（劣）在區(qū)間［a+3,a+4］，上的最大值為于（a

2

+4）=loga（2a—12a.+16）.

在區(qū)間［Q+3,Q+4］上不等式/（力）<1恒成立，等價于不等式1080（2滔一12。+16）<1恒成立，從而2a2

—12a+16Va,即2a2—13a+16V0,解得"［依<a<?］VH.易知翼>等，所以不符合.

綜上所述，a的取值范圍為（0,1）.

x+y_12

{:,(其中2,9eR*).

【解析】兩邊取對數(shù)，則原方程組可化為

1(c+y)lgrr=121gv①

l(x-+y)lgy=31gf②

把式①代入式②，得(①+y)2lgx=361gc,所以[Q+y)2—36]lga;=0.

由Igrr=0,得*=1;代入式①，得y—1.

由(c+y)2—36=0(^x,y6R*)得c+夕=6.

代入式①得Ige=21gy,即c=/,所以始+9一6=0.又9>0,所以9=2,必=4.所以方程組的解為

如=1[X2=4

[yi=1"紡=2-

[題目|12]已知f(x)=lg(a;+1)-ylog3a:.

(1)解方程/3)=o；

(2)求集合{n|f(n2-214n-1998)>0,n￡Z}的子集個數(shù).

【解析】⑴任取0<◎<電,則

f3)一/(，2)=1goi+1)-lg(g+l)-/(log32l—log322)

為+111161+1

=lg--ylog3^=lg-101g9一61，

22+1力2+162

因為&±；>色,所以lg21^>lg包.故

力2+I62T2+lX2

1Xi_

g+1力1的g五

/(g)一/但)=也-log9->lg------

62+IX2X2lg9

因為0<lg9<l,哈<0,所以/⑹―/(電)〉喊一噫=0,

fix)為(0,+co)上的減函數(shù)，注意到y(tǒng)(9)=0,當(dāng)c>9時，/(2)</(9)=0;當(dāng)VITV9時，，(%)>/(9)=0,

所以/(c)=0有且僅有一個根劣=9.

(2)由/(n2-214n—1998)A0n/(n2-214n-1998)>/(9)

%?fn2-214n-1998<9fn2-214n-2007<0

ln2-214n-1998>01n2-214n-1998>0

f(n-223)(n+9)<0

=t(n-107)2>1998+1072=13447>1152

f-9WnW223f-9<n<223

[九>222或？1<—8[n>223或4-9，

所以九二223或口=-9,M={-9,223},河的子集的個數(shù)是4.

題目13］已知Q>0,Q#1,試求使得方程log^(力—Qk)=loga(力2-。2)有解的k的取值范圍.

【解析】由對數(shù)性質(zhì)知,原方程的解力應(yīng)滿足

f(a;—ak)2=x2—a2⑴

<a?—afc>