高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破 數(shù)列不等式的經(jīng)典放縮問(wèn)題（解析版）（新高考專(zhuān)用）

數(shù)列不等式的經(jīng)典放縮問(wèn)題

【題型歸納目錄】

題型一：裂項(xiàng)放縮

題型二：等比放縮

題型三：通項(xiàng)放縮

題型四：函數(shù)放縮

【典型例題】

題型一：裂項(xiàng)放縮

例1.記S“為｛%｝的前w項(xiàng)和，已知％=2,｛3%-25“｝是公差為2的等差數(shù)歹！J.

(1)求｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：—+—++—<1.

qaia?

【解析】解：(1)4=2,｛3a“-2S,｝是公差為2的等差數(shù)列，

3q—2S]=q=2,

3an—2Sn=2+2(〃-1)=2〃，

3

即SR=—a-n,

〃2n

、/33

當(dāng)〃..2時(shí)，an=Sn-Sn_x=5%-〃一,

即4=3%+2，

/.an+1=3(a〃_i+1)，又q+l=3,

，數(shù)列｛4+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

%+1=3〃，則=3"-1.

(2)證明：由(1)得：,=」一，

43n-l

2123—2—3〃3〃一2

>0,

3n3n-l3〃(3〃—1)3"(3〃—1)

12

一<一，

1222

+一<—+—+?+一=2x=1-—<1

2

an333"3"

3

例2.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S"，數(shù)列｛S,J的前〃項(xiàng)和為7；,且滿(mǎn)足7；=：s“-3〃，neN'

(I)求力的值.

(II)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

n

(III)記么=-20D，neN*,求證：b,+b2+...+b<1.

n2y

【解析】解：(I)當(dāng)九=1時(shí)，=—Sr—3.因?yàn)?=S]=%,所以4=54—3,解得q=6

(II)當(dāng)n..2時(shí)S“=(、-T“_、=萬(wàn)N-3〃-弓4—3(〃—1)]=萬(wàn))二加一3

所以—3①，

〃2

3

Sn_r=—an_x—3②，

由②_①得：an=3%,

所以數(shù)列｛4｝是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

所以%=6?31=2?3".

(IID當(dāng)〃=1時(shí)，b=-<l；

]14

業(yè)ci7224x3〃3〃3"3〃T

〃2n寸,b=--------------------------<--------------------------

"(a'-2)2(2x3"-2)2(3"-1)2(3"-1)(3"-3)(3"-l)(3n-1-1)

=1(^--一U

231-13"-1

所以

,,,,1z11111、1z11x3111、，

b.+偽+…+“<b,H(---------z)H(-z---------o)+…H(1-----------------)=1(-----------------)<1

1223n-1

12〃123-13-123-13-123-l3〃—1423-13〃—1

例3.已知函數(shù)例幻=功+6(其中二6eR且無(wú)、b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,2),3(16,4).[,

P2,P3,匕，…是函數(shù)/(尤)圖象上的點(diǎn)，Q,Q?,Q3,。"，…是x軸正半軸

上的點(diǎn).

(1)求f(x)的解析式；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△。。出，△QQg,…，△QMQ.E，…是一系列正三角形，記

它們的邊長(zhǎng)是4，a2,a3,...,an,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)在⑵的條件下，數(shù)列電｝滿(mǎn)足么卷，記｛〃,｝的前”項(xiàng)和為S"，證明：S"＜；

【解析】解：(1)由題意可得，:，

[16*+6=4

,=1

解得'2，即有/(x)=4x；

6=0

（2）由題意可得0（4，0）,《4），

代入函數(shù)〃x）=&,可得（加=；4,解得4=：,

又月（％+%+…+]%，耳"〃）'

代入函數(shù)/（x）=?,可得[a；=%+4+…+?！╛1+；?！ǎ瑤?2,①

31

將〃換成〃—1,可得/d-l=4+。2+…+"〃一2+5%一1，②

①一②，可得+；%_|.

3

即有5(4+??-!)(??-4.1)=4+an-x-

化簡(jiǎn)可得，

22

即有ctn=qH—(n—1)=—n；

(3)證明：b=^=--,

"2"32"

Sn=b\+b2+…+6“=1(/+^^+…+吩)③

1e212n-1瞳、公

-S”=一(~7-l—r+???"!--------------1--------yr)④

2322232〃2n+1

③一④，可得gs“=!(；+《+…+$一3)

仆

+1

1-12"''

2

nrt-J—--41〃、4

即有S=—(1------------r)<—?

“3T2n+13

變式1.已知數(shù)列｛〃〃｝與｛〃〃｝滿(mǎn)足：4+。2+。3+…+4=22(〃￡N*),且｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)

列，4=2,b3=b2+4.

(I)求數(shù)列｛〃"｝與｛2｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛c.｝滿(mǎn)足c“7；為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，證明：T.<1.

幼+i

【解析】解：(1)由4+々2+03+…+?！?2bn①

a

立.2時(shí)，4+〃2+。3+…+n-l=2bn_i②

①—②可得：冊(cè)=2(/?〃—bn_r)(n..2)，

..ci^—2(Z?3—b?)=8

%=2,q>0，設(shè)｛%｝公比為q,

a/=8,:.q=2

a?=2x2"-1=2"

a^=2”+-2,

2&?=21+22+23+...+2,'-

1-2

-.bn=T-l.

aT_11

(2)證明:由己知:n

b,也，(2'_])(2同—1)一2"T-25T

111111

c+c+c++c-2+2-3++-+1

■■i23---n-21_12-l2-l2-l-"2"-l2"-1

=1——J—<1

2"+1-l

變式2.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足25；-(〃2+〃電-(〃2+〃+2)=0.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

,證明：仿+久+―-+篇，一

(2)設(shè)數(shù)列2=?261

〃一+1

【解析】(1)解：根據(jù)題意，在正項(xiàng)數(shù)列｛4｝中,

2

2S；-(A?+ri)Sn-(rr+"+2)=0n(S“+1)[2S?-(M+M+2)]=0,

S“+l>0,

2S,-(/+〃+2)=0os“="+"+2①,

n2

二.當(dāng)〃=1時(shí)，q=2②；

...當(dāng)人2時(shí)，$("T)2+("T)+2③,

2

①-③得，4=〃④，

.,②不滿(mǎn)足④，

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式即為：%=[2"=1.

[n,n..2

（2）證明：根據(jù)題意，由（1）可得,

2

則當(dāng)幾.2時(shí),=2(^/n—A/及-1)，

G+yjn-l

—

/.by+Z?2+4+…+bn,,1+2(^/^'-1+y/3—yfz+…+yfn—y/n1)—2^/^?—1.

從而得證.

變式3.已知數(shù)列｛〃,｝中，"2=；，?！?4+1+24q+1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）令｛"二回｝的前幾項(xiàng)和為《，求證：7；＜-.

川（九+2）〃〃4

【解析】解：⑴由電J,a?=an+l+2anan+l,

g+gq,解得％=1,

可得q=a2+-

又對(duì)4=為+1+2。必2M兩邊取倒數(shù)，可得一!----=2,

%%

則｛工｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,

an

可得'=1+2（〃-1）=2〃-1,

1

2n-l

1

(2)證明：由(1)可得(2"1雙==1(1一_L),

n(n+2)n(n+2)2nn+2

所以T——…+?+!，)=旱-2〃+3

〃232435n-1n+\nn+222(H+1)(H+2)

因?yàn)椤╓N*,所以一也—>0,

（n+l）（n+2）

則4<_Lx±=士.

n224

變式4.已知數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足4+4++Q〃T一?！?一2（九.2且〃￡N*）,且“2=4.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列［------------］的前，2項(xiàng)和為7；,求證：-?Tn<l.

［（an-1）（?！?1T）J3

【解析】（1）解：因?yàn)?+出++?！?1——2,

所以4+出++%—?！?1=-29

兩式相減得an+1=2an（n..2）,

當(dāng)〃=2時(shí)，4—%=—2,又％=4,所以4=2,%=2々］,

所以?！?i=2。〃（幾￡N*）,

所以｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4=2〃（〃￡N*）；

址明：-------------=-------------=--------71——，

(〃—(2--1)2n-l2n+1-l

所以(=(—1-----)+(^-------------^―)++(----------?—)=1一一上—<1

“2-122-122-123-12"-12"+1-12,,+1-1

由.1,得2叫.4,得2向-1..3,得——?—,得---，——.,

2-1-132n+1-l3

12

所以1--

2"+1-13

綜上所述，；，，￡<L

題型二：等比放縮

例4.記S“為｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知e=2,｛3%-25.｝是公差為2的等差數(shù)歹!J.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：—+—++—<1.

?1?2an

【解析】解：⑴％=2,｛3q-25〃｝是公差為2的等差數(shù)列,

..3%—2S]—=2,

361n—2sti=2+2(〃—1)=2〃>

3

即S“=/a“一〃，

33

a

當(dāng)九.2時(shí)，an=Sn-Sn_｛=-n_〃_萬(wàn)％一1+(〃—l)，

即an=3qT+2，

an+l=3(a〃_i+1),又%+1=3,

二.數(shù)列｛%+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

%+1=3〃，則〃〃=3〃-1.

(2)證明：由(1)得：—=—-—，

冊(cè)37

2___1_2-3__2_313"-2

F-3〃—1-3"(3"—1)―3”(3〃—1)

12

—〈—

43〃

1(1-J-)

1122+2=2、

—+—++一v—+r+

2

%an333"i13"

3

例5.記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知%+3%=5$，生生數(shù)列｛2｝

滿(mǎn)足a=3〃T+2"T(〃..2,〃eN*),且々=%-1.

（I）求｛”"｝的通項(xiàng)公式；

（II）證明數(shù)列｛與+11是等比數(shù)列，并求電｝的通項(xiàng)公式;

n14

（III）求證：對(duì)任意的“eN*,Y-<-.

2

【解析】（I）解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,d^O,

因?yàn)?+3a4—S59%%=S4，

%+2d+3q+9d—5q+lOd

則

q(q+4d)=4q+6d

丁;或6Zj—0

解得（舍去）,

d=0

所以=2〃；

(II)證明：因?yàn)槊?3%+2'T(〃..2,〃￡N*),

所以”"喔+《會(huì)+1)，

T+，_3

所以

Q2

b3

因?yàn)?=4一1,所以

所以數(shù)列J組b.+i1是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

2〃22

所以3b+1=(3*",

所以勿=3〃-2〃；

得臺(tái)11

(III)證明：由(II)F，

丹+11111

故2T=T+——F——F

b2b3a

/=1aa

1111

,,1+§+3++F

lx[l-(1)n]

313

2[1-￥]<r

n1a

所以與

￡=1

例6.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足生=-；,aan-l

n——(n..2,nGN).

(T)"%-2

(1)求4的值;

(2)求證：數(shù)列｛」+(-1)"｝是等比數(shù)列;

(3)設(shè)c“=4sin生產(chǎn)，數(shù)列匕,｝的前九項(xiàng)和為7；.求證：對(duì)任意的“eN*,(<|.

【解析】(1)解：由/=，^=一工，解得4=1..(2分)

q—274

(2)證明：a”=%

（T）%,T-2

—+（-1）"=-2[—+（-I）"-1],

4%

-l_i=3^o,...（6分）

...數(shù)歹!j｛_L+(_1)”｝是以3為首項(xiàng)，公比為-2的等比數(shù)列.…(7分)

（3）解：由（2）得工+（-!）"=3.（-2）"1...（8分）

—=3?（-2產(chǎn)-（-I）",

1

…(10分)

3.（-2尸

.（2n-I）7r111

?G=4sm---?（-1尸------——<------r...（12分）

23?（一2尸—（一1）"3.2n-1+l3?2"T

-[1-（-）"]212

:工<3——=可口-勺）"]<可.…（14分）

I——J，3

2

變式5.定義數(shù)列如下：q=2,an+l=a^-an+l,neN",求證:

（I）對(duì)于〃￡N*恒有an+l>an成立；

……1111i

（II）1-5^?<一+—+…+---<1?

/01%”2015

【解析】證明：（I）4=2,an+l=a^-an+l,neN*,

??a〃+i—~—+1=-1）??0>q=2>l,

.?.由歸納法可知4+1>見(jiàn)…（4分）

（II）由?！?i=aj_%+1,得：^+i-i=an（an-1）,

:'an—l=a〃T（a〃TT）

...%-1=4(q—1)

以上各式兩邊分別相乘得：

?,11

+-l=anan_l...a2al(aA-1),

又%=2,an+1=..a2ax+1.....(7分)

Xa?+1-l=a?(o?-l),

1

_L+_L+...+-L=(」_____L)+(」_____1+...+(」______」)=,一=1---------——<1

q020154—]〃2—]〃2—["3—]<22015—〃2016—“1—1

“2016一I。1。2...。2015

2015

又axa2...4015〉=2,

1

>i-_L

?.1-22015

1111I

—+—+…+------<1?….（15分）

/q%%oi5

變式6.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S),，滿(mǎn)足25“=4+1-2鵬+1,nwN*，且q,a2+5,a3

成等差數(shù)列.

(1)求生的值；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)〃，有-L+J-+-L+…+上<3.

01a2%an2

【解析】解：(1)在2'=〃用—2.+1中，

令〃=1得：2si=%—22+l,

令n=2得:2s2=%—2,+1,

解得：％=2G+3,%=6%+13

又2(a2+5)=q+/

解得%=1

(2)由2S“=%+]—2.+1,①

2S〃T=4-2"+1(九.2),②

①一②得：％+1=3?！?2n,

1

又q=1,a2—5也滿(mǎn)足%=3%+2,

所以an+l=+2"對(duì)〃￡N*成立

.?.%+]+2向=3(4+2〃),又4=1,%+21=3,

nn

:.an+2=3

?！?3〃—2〃；

99

nnHn11

(3)an=3-2=y[1-(-)]..3[1-<-)]=3"-,

11

號(hào)"F'

1111111_1x(1一(J)3

2n

axa2a3an333~1_]2

-3

變式7.已知數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足4=5,%=5,an+l=an+6an_x(n..2,nGA^*).

(1)求證：當(dāng)).2時(shí),｛g+2%｝和｛4—3%｝均為等比數(shù)列;

(2)求證：當(dāng)左為奇數(shù)時(shí)，—+—

%-3

(3)求證：—+—+-<—(ne^).

q。22

【解析[解：(1)由%+i=%+6%T(〃..2,〃￡N*)得：

%+2a“=3(%+2%),an+1-3a,=-2(an-3%)

日a?+2%=15，a?！?%=—10.

.?.當(dāng)〃..2時(shí)，口+2%｝是首項(xiàng)為15公比為3的等比數(shù)列，

｛a,-3a,i｝是首項(xiàng)為-10,公比為-2的等比數(shù)列.

1

(2)由(1)得.+1+2%=15x3"—,an+1-3an=-10x(-2)"-

以上兩式相減得4=3"-(-2)".

當(dāng)《為奇數(shù)時(shí)'

3

一7x6"+8x4,4<[8-7.(-/']

=----------------------------------=-----------------------------------<0,

3川?(3人+2,?(31一2川)3Kl?(3無(wú)+2,?(3"i-2Kl)

114

—+---<

akak+l訶.

(3)由(2)知，當(dāng)歸為奇數(shù)時(shí),

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，—+—+-<-+4；-+...+—=—(1--)<—

2

%的an333"23"2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，—+—+—<-(1一一^-)<-

+1

4a2a,23"2

題型三：通項(xiàng)放縮

Qy—?1

例7.已知函數(shù)"X)=方污(x#?.

(1)求/(」一)+/(，一)+…+/(跑巴)的值；

201520152015

(2)已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=2,an+1=f(an),求證：｛^—｝是等差數(shù)列;

%T

(3)求證：axa2...an>yj2n+1.

【解析】解：函數(shù)〃尤)=主33

(1)2—I-------

2x-l22(21)

33

當(dāng)%十%=1時(shí)，/(石)+/(%2)=3+--------1---------

2(2%—1)2(2X2-1)

33

=3d--------1--------=3.

2(2%—1)2(1—2%)

即有/(——)+/(——)+...+/(——)=[/(——)+/(——)]+[/(——)+/(——)]+...

2015201520152015201520152015

+"(磊+八黑”><1。。7=3021；

3a-2

⑵證明i=2,%—小

3Q〃—2—2Q〃+1_—1

%

2a〃—12Q〃—1

1=2+—^—

an+l~1anT

則有｛—｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列；

anT

(3)證明：由(2)可得，--—=1+2(〃-1)=2n—1,

an-1

即有％=產(chǎn)丁

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2〉后成立；

倨?設(shè)〃=左時(shí)，…以>｛2k+1,

當(dāng)〃=女+1時(shí)，01a2…%%+i>,2k+1.2左+2,

2k+1

要證J2左+1笥彳>?2(止+1)+1,

即證2后+2>J2左+l.j2>+3,

即證4左2+84+4>4左2+4發(fā)+3,

上式顯然成立.

即有當(dāng)〃=k+1時(shí)，di]%…％W+i>,2(左+1)+1成_\￡,

則有〃0???〃〃>+1

例8.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S〃，2Sn=%%(nwN*).

。用一冊(cè)

(1)求〃2，%的值；

(2)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

(3)設(shè)數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足a=1,bn+xbn=an,求證：-1.

【解析】解：(1)數(shù)列伍“｝的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S“,2sli=4+4(〃eN*).

當(dāng)〃=1時(shí)，2%=烏乙,解得出=2,

%一%

當(dāng)〃=2時(shí)，2s2=,整理得名=3.

a3-a2

(2)證明：由于2S〃="〃+洶〃①,

an+\~an

當(dāng)兒.2時(shí)，2%=4%②,

an-an-l

①—②整理得2(1n=乂6——鱉工，

%一冊(cè)an-an-l

去分母化簡(jiǎn)得：2an=an_x+an+i,

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(3)證明：數(shù)列｛么｝滿(mǎn)足4=1,%%=%=〃③，

當(dāng)〃=1時(shí)，b2bl=1,又4=1,故/?2=1,

由③知，bMi=n—l("..2)④,

由③一④得,bn+1bn-bnbn_]=l(n..2),即bn(bn+l-%)=1(*2),

依題意，w0,故—=bn+i—bn_](n..2)，

.,.當(dāng)”..2時(shí)，y—=—+—+—+........+—

-=ihbtb2b3bn

=工+4-4+a~b2+bs~b3+.......+2一2—2~bH-l

=-r-bx-b+b+b

瓦2nn+l

=b“+b”.i-1

?.2gA+iT=2灰一1,

當(dāng)7=1時(shí),L.l也成立.

綜上,之;"2用'-1.

HA

例9.已知數(shù)列他“｝滿(mǎn)足。用=3L,“CN*.

2l+a“

(/)求證：數(shù)列［，-1］是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(H)令bn=上,(neN*),設(shè)數(shù)列電｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：當(dāng)機(jī).3時(shí)，S?>—+4.

an2

【解析】證明：(/)由題意知?！?gt;0,--l=^-l=-(—-1),

%2a.2an

又因?yàn)閘-1=1,

所以數(shù)歹”工-1｝是首項(xiàng)為1、公比為工的等比數(shù)歹U,

%2

g、i「1加1,12"-1

所以---1=—r，故——=1+—r，a=---------；

1

an2"Tan2"-"1+2"一

(〃)由(/)可知勿=〃+"?，

貝US,,=(1+2+3+...+〃)+(1.最+2.；+3.襄+...+

n(n+1)Icl

———-+(l.—+2.-++...+

22°2

1「n｛n+1)1.1/八11,

5工=^—+r［弓+2/+…+("-1)^+〃/】，

兩式相減’得：;工=妁尸+（1+;+1+...+或一".，）

2

_〃(〃+1)11

=-------F2o-----：—〃?—,

42，T2〃

0*)〃?2〃T—2〃—4

所以S〃=——+4+------------------，

n2X

當(dāng)九.3時(shí),n.T~x-2n-4..n.22-2n-4>0,

所以S>F4.

2

變式8.已矢口數(shù)歹U伍"｝滿(mǎn)足q=0,^----------=1.

2-〃.+12-an

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

4一

(2)設(shè)勿=〃用+---，數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S“，證明：S〃<4〃+2.

%

【解析】(1)解：由題意，—二I,

2-a

-n+l2-C1n

21

ciy—0,..—I,

2-q

，數(shù)列〔Sr：是以i為首項(xiàng)'

1為公差的等差數(shù)列,

2

-------=n,

2-。〃

c2…

:.冊(cè)=2—，neN*.

n

422

(2)證明：由(I),得》=冊(cè)+1+-----=4+------------,

an+inn+1

則s〃=4+8+…+年

222222

=(4+------)+(4+-------)+…+(4+----------)

I223nn+1

222222

=44〃H--------1-----------F???H------------

1223nn+1

2

=4〃+2--------<4〃+2?

n+1

.??不等式＜4〃+2對(duì)于〃wN*恒成立.

變式9.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=l,其前〃項(xiàng)和為S,，且為4向=25〃.數(shù)列電｝滿(mǎn)足

%+1(4+4+???+〃〃)=4?

（I）求數(shù)列僅"｝的通項(xiàng)公式;

I——,nN，證明：,x/2—<c,+c+...+c<2.

(II)記4=2

4+2^/^2

【解析】解：（/）由=25〃得見(jiàn)_1q=2S-i（九.2）,兩式相減得a〃+i-%_1=2（九.2）,

IIICly—1,422=2,

數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別是分差為2的等差數(shù)，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an=n,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

?！?〃，

綜上所述：an=n,ne.N,；

=

(〃)證明：由4+仇+…+勿=—~------，/?]+%+...+b1t7=------(〃..2),b、=一,

an+in+1n2

兩式相減得a=---------(H..2),*=工適合上式,

〃n(n+l)12

1

?他=看則C=

n1n(n+1)(幾+2)

那么

222(J.+1-6)

——-------v—-----------—=------—

個(gè)幾(n+1)(八+2+J幾+2)1n(n+1)(品+J〃+l),n(n+1)

.-.C1+C2+...+C?<2(l--L+_L__L++?-焉)=2(1-焉)<2

_________2_________〉____________2_____________2函+2—_2(_J______1)

Q(n+1)(〃+2)(G+G)J(n+1)(〃+2)(+1+Ji+2)[(n+1)(〃+2)J〃+l+2

111111、?11、稔2

j+S+…+c“>2(/-忑+國(guó)-衣+行r-)=2(五-耳q)=，2-—.

變式10.已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a；+an=3a；+]+2an+l,q=1.

（1）求的的值；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)”eN*,an?2an+i；

(3)記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，證明：對(duì)任意〃eN*,2-，?,,5“<3.

【解析】解：(1)=3。3+2。用，％=1,

即有+q=3”；+24=2，

解得出=":1(負(fù)的舍去)；

(2)證明：a；+an=3d+i+2<a?+1,

可得a：-4a；+]+an-2an+i+a^+l=0,

即有(氏-2%)(%+2an+l+1)+a：[=0,

由于正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,

即有an+2a“+[+1>0>4a；+]>0,

則有對(duì)任意實(shí)數(shù)weN*,an?2an+l；

(3)由⑴可得對(duì)任意實(shí)數(shù)nwN*，a??2an+l；

即為q,,2a2,可得的…5，4龐^a,~,

1

前〃項(xiàng)和為S“=at+a2+...+an.A+—+—+...+

=T=2-工，

?12"T

i----

2

QI

又+an=3〃〃+]+2〃+>an+x+an+i,

即有3〃-4+1)3〃+a〃+i+1)>。，

則?！?gt;4+i，數(shù)列｛%｝遞減，

即有S〃=卬+%+…+%<1+1+^+^+...+^-

I-1

=1+—^=3(1--^)<3

.12M

1-----

2

則有對(duì)任意“eN*,2-擊,,S“<3.

變式11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛〃｝,其前〃項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意"eN*,a“與1的等差中項(xiàng)等于S“

與1的等比中項(xiàng)數(shù)列電｝滿(mǎn)足a=1且6也+i=n

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：—+—+—+-,.2A/M-1.

b2b3bn

【解析】解：(1)正項(xiàng)數(shù)列｛為｝,其前〃項(xiàng)和為5,，且對(duì)任意"eN’,a“與1的等差中項(xiàng)

等于S“與1的等比中項(xiàng)，所以"土1=瓦，整理得S“=(馬上了，所以當(dāng)”..2時(shí)，

九=也『)2，

所以?xún)墒较鄿p得4a“=a“2-4_：+2a"-2%T，所以%-%T=2(常數(shù))，

所以數(shù)列｛%｝是以％=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

所以4=1+2(〃-1)=2〃-1(首項(xiàng)符合通項(xiàng))，故%=2〃-1.

證明：(2)數(shù)列電｝滿(mǎn)足4=1且她1+]=〃，

所以當(dāng)加.2時(shí)，bn>bn_x=n-l,故《=6“+I-6”T，

b?

所以;+廠(chǎng)+/+...+丁=1+(4—々)+(64—")+???+(么+i—b“_1)

A偽Abn

=l-l-l+bn+1+bn

=—+2^-1.

b”

變式12.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,｝,其前八項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意的"eN*,凡與1的等差中項(xiàng)

等于S,與1的等比中項(xiàng).

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛2｝滿(mǎn)足偽=1.勿M=殳±1,求證：3+3+』……+；..同運(yùn)-1

2"b、b2b｝b?

【解析】解：(I)a,與1的等差中項(xiàng)等于S“與1的等比中項(xiàng).

，「歷=后，

即S.=；(l+%)2,

當(dāng)”=1時(shí)，q=；(l+q)2,解得4=1.

當(dāng)”..2時(shí)，a.=S“-S,T=；(l+%)2-J(l+qi)2,

化為：(%+%)(%-%-2)=0,

數(shù)列｛a“｝是正項(xiàng)數(shù)列,

an—an_x=2.

數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，公差為2,首項(xiàng)為1.

.e.c1n-1+2（〃—1）=2〃-1.

（II）證明：b=b=l,b1=4+1=，即2么+1=〃，

x1/2n-ri/"*1c7nn~ri

2bli2bti

當(dāng).2時(shí),她t=〃-1,

兩式相減可得-6也T=1,

可得!=2+1-6,1，

b“

則K+丁+…+不=1+（4_。1）+（。4_%）+（々-4）+…+（2—。"-2）+電+1

瓦瓦bn

—

=11—1+bn+l+bn=bn+——1..2,\[n-1.

b.

當(dāng)”=1時(shí)，左邊=1,右邊=1,不等式成立.

綜上可得上+工+工……+-..J2^72-1.

瓦b2b3b?7

題型四：函數(shù)放縮

例10.已知函數(shù)f(x)=xe"-e1

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論了。)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<-l,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)設(shè)“eN*,證明：一,H—,+...H—,>ln(n+1).

Vf+ivFTi7771

【解析】解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=(x-r)ex,

/⑴=xe',

當(dāng)x<o時(shí)，r(x)<o,/(無(wú))單調(diào)遞減，

當(dāng)彳>0時(shí)，m>o,/(尤)單調(diào)遞增，

所以y(x)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在(0,4w)上單調(diào)遞增.

(2)令g(尤)=/(尤)+l=xe"''-e'+1,x>0,

因?yàn)?(x)<-1,

所以g(x)<0,

又g(0)=0，

所以g(x)在(0,+oo)上不能單調(diào)遞增，

否則存在毛e(0,+oo)上使得g(x0)>0,

所以當(dāng)%>0時(shí)，，(%),,0,

g\x)=(ax+1)*-ex,且f(x)<-1,

令h(x)=(ax+1)*-ex,

h!{x)=(/九+2〃)*-ex,

又砥)=g，(0)=0,〃(0)=2々_1,

①當(dāng)〃(0)=2。一1>0,即時(shí)，

2

存在與滿(mǎn)足當(dāng)%￡。%0)時(shí)，hr(x)>0,即g〈%o)>g'(O)=O,與g'O),,。矛盾,

11l

②當(dāng)④:時(shí)，/3=(依+1)*-呢(5%+1)〃x一產(chǎn)，

l

令-⑺=l+t-e9twR,

則/⑺=1-

當(dāng)力＜0時(shí)，，⑺＞0,?）單調(diào)遞增,

當(dāng)，＞0時(shí)，,。）＜0,r⑺單調(diào)遞減,

所以心，?0）=0,即i+ad,

所以一x+L,前，

2

11

所以/(%),,/?3—ex=0,滿(mǎn)足題意,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為Joo,-].

2

(3)證明：令s?)=t------21nt(t>1)?

t

則s")=i+J-2=《Y>o,

ttt

所以s?)>s(1)=0,BPr-->2to,

t

n幾+1

RBPn-1〉In------,

n

PVn

r-U17〃+l

所C|以4，>In----,

n12+nn

所以，+—+...+，>//+后+...+/±1

#716+2