《高等數(shù)學下冊 第3版》 課件 D12-7 微分方程的應用

機動目錄上頁下頁返回結束第七節(jié)微分方程的應用

第十二章1.建立數(shù)學模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關系確定定解條件(個性)初始條件邊界條件可能還要銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實際意義例1.設河邊點O

的正對岸為點A,河寬OA=h,一鴨子從點

A游向點解微分方程應用問題利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點O,提示:

如圖所示建立坐標系.設時刻t鴨子位于點P(x,y),設鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程.O,水流速度大小為a,兩岸則關鍵問題是正確建立數(shù)學模型,要點:則鴨子游速b為機動目錄上頁下頁返回結束定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運動速度為(求解過程參考P273例3)(齊次方程)機動目錄上頁下頁返回結束例2.解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初始速度應不小于第二宇宙速度,試計算此速度.設人造地球衛(wèi)星質量為m,地球質量為M,衛(wèi)星的質心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G

為引力系數(shù))則有初值問題:又設衛(wèi)星的初速度機動目錄上頁下頁返回結束③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到機動目錄上頁下頁返回結束為使因為當h=R(在地面上)時,引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為機動目錄上頁下頁返回結束求質點的運動規(guī)例3.上的力F

所作的功與經過的時間t

成正比(比例提示:兩邊對s

求導得:牛頓第二定律…系數(shù)為k),開方如何定+–?已知一質量為m

的質點作直線運動,作用在質點機動目錄上頁下頁返回結束例4.

一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時間.解:

建立坐標系如圖.設在時刻

t,鏈條較長一段下垂

xm,又設鏈條線密度為常數(shù)此時鏈條受力由牛頓第二定律,得機動目錄上頁下頁返回結束由初始條件得故定解問題的解為解得當x=20m時,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力為鏈條1m長的重量,定解問題的數(shù)學模型是什么?機動目錄上頁下頁返回結束摩擦力為鏈條1m長的重量時的數(shù)學模型為不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為此時鏈條滑下來所需時間為機動目錄上頁下頁返回結束思考:

能否根據(jù)草圖列方程?練習題:1.

已知某曲線經過點(1,1),在縱軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.提示:

設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線機動目錄上頁下頁返回結束2.已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車間空的含量不超過0.06%?提示:設每分鐘應輸入

t時刻車間空氣中含則在內車間內兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為機動目錄上頁下頁返回結束t=30

時解定解問題因此每分鐘應至少輸入250新鮮空氣.初始條件得機動目錄上頁下頁返回結束k=?3.從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度

y

與下沉速度v

之間的函數(shù)關系.

設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設儀器質量為

m,體積為B,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v

所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關系式y(tǒng)=y(v).(95考研)提示:建立坐標系如圖.質量m體積