10.1-二重積分的概念（修改稿）

《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))多重積分

第十章（Multipleintegral）《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))在本章中,我們將一元函數(shù)的定積分推廣到多元函數(shù)的重積分.

內(nèi)容包括：

10.1二重積分的概念

10.2二重積分的計(jì)算

10.3三重積分《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))10.1二重積分的概念（theconceptionofdoubleintegral）

曲頂柱體

:以平面上的有界閉區(qū)域D為底,連續(xù)函數(shù)z

f

(x,y)((x,y)

D,f(x,

y)0)形成的曲面S為頂,區(qū)域D的邊界曲線(xiàn)C作準(zhǔn)線(xiàn),母線(xiàn)平行于z軸的柱面為側(cè)面形成的立體.

10.1.1二重積分的定義

1曲頂柱體的體積z

f(x,y)DzyOCx《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))求曲頂柱體的體積V

.用曲線(xiàn)網(wǎng)將區(qū)域D劃分為n個(gè)小區(qū)域:

1,

2,,

n,

i

也同時(shí)表示相應(yīng)區(qū)域的面積.記

max{

i

的直徑:i

1,2,,n}.

yxzOS:z

f(x,y)f(

i,

i)

iD(

i,

i)《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))在每一個(gè)小區(qū)域

i

中任取一點(diǎn)Pi

(

i,

i),以fi

(

i,

i)

作為

i上的小曲頂柱體高度的近似值.則

i

上的小曲頂柱體體積的近似值為于是,曲頂柱體體積的精確值為以各小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線(xiàn),作母線(xiàn)平行z軸的柱面把曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.

從而整個(gè)曲頂柱體體積V的近似值為yxzOS:z

f(x,y)f(

i,

i)

iD(

i,

i)《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

2二重積分的定義

定義10-1

設(shè)二元函數(shù)z

f(x,y)為定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),用一組曲線(xiàn)網(wǎng)將區(qū)域D任意劃分為n個(gè)小區(qū)域:

1,

2,,

n,記

max{

i

的直徑:i

1,2,,n}.

任取

(

i,

i)

i,作和

《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))其中f(x,y)為被積函數(shù),f(x,y)d

為積分表達(dá)式,d

為面積元素(或面積微元),x,y是積分變量,D是積分區(qū)域.

令

0,若In

的極限存在,且極限值與對(duì)區(qū)域D的劃分法以及點(diǎn)(

i,

i)的選取無(wú)關(guān),則稱(chēng)f(x,y)在區(qū)域D上(Riemman)可積,并稱(chēng)極限值I為f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分,記為即《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))幾何上,二重積分表示曲頂柱體的體積的代數(shù)和.

當(dāng)f(x,y)1時(shí),表示區(qū)域D

的面積.在直角坐標(biāo)系下,用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)劃分D,則面積微元d

dx

dy,

其中dx

dy

為直角坐標(biāo)系下的面積元素.

所以《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

3平面薄片的質(zhì)量取(x,y)D,并取(x,y)處的面積微元d

,則質(zhì)量微元dM

(x,y)d

,于是平面薄片的質(zhì)量為

設(shè)平面薄片占有xOy

平面上的有界閉區(qū)域D,在點(diǎn)(x,y)

D處的面密度為

(x,y),

(x,y)>0,且在D上連續(xù),求此平面薄片的質(zhì)量.《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

4二重積分的存在定理

定理10-1

若二元函數(shù)f(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上可積.

10.1.2二重積分的性質(zhì)由于二重積分與一重積分一樣都是黎曼（Riemman）積分，因此它們有類(lèi)似的性質(zhì).這些性質(zhì)容易根據(jù)重積分的定義來(lái)證明.《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

2.(區(qū)域可加性)若f(x,y)在有界閉區(qū)域D1

和D2

上均可積,其中D1

和D2除邊界外沒(méi)有公共部分,則f(x,y)在D

1

D

2上也可積,且有

1.(線(xiàn)性性)若f1(x,y),f2(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積,則對(duì)任何常數(shù)k1,k2,有《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

3.(單調(diào)性)若f(x,y)和g(x,y)在有界閉區(qū)域D上均可積,且在D上恒有f(x,y)

g(x,y),則

推論1

若在區(qū)域D上f(x,y)0,則

推論2因?yàn)楣省陡叩葦?shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

4.(積分中值定理)設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則存在點(diǎn)(

,

)D,使得

推論3

若在區(qū)域D上,m

f(x,y)M,則其中A(D)是D的面積.

f(x,y)在區(qū)域D上的平均值定義為則在在上取得最大值和最小值，使得因函數(shù)

在

上連續(xù)，證故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在使得從而《高等數(shù)學(xué)》課件(第十章第一節(jié))

例1

估計(jì)二重積分

解在D

上ln2

ln(1x2

y2)ln3,的值,其中D

{(x,y)|1x2