2024屆河北省邢臺市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）（一）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河北省邢臺市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B3.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí),進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)未剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，因?yàn)樗?，則，又這兩對數(shù)據(jù)為，所以，所以，所以，故選：C.4.已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值〖答案〗D〖解析〗依題意，設(shè)，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯(cuò)誤.故選：D.5.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然與均關(guān)于對稱，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得與有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A.二、選擇題9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個(gè)數(shù)為16C.D.的子集個(gè)數(shù)為64〖答案〗BCD〖解析〗對于ABC，因?yàn)?，所以，即，所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；對于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知內(nèi)角對邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗约丛趨^(qū)間上的〖解析〗式為故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以，所?故D正確.故選：AD.三、填空題12.已知，過點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為，故〖答案〗為：1；13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為________．〖答案〗144〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，要求最左邊，中間，最右邊，共有3種，所以一共有種，故〖答案〗為：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是邊長為6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一點(diǎn)，是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則的最大值為________．〖答案〗〖解析〗若底面ABC是邊長為6的正三角形，則外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)三棱柱外接球的半徑為，且已知，可得，解得，設(shè)三棱柱外接球的球心與內(nèi)切圓上一點(diǎn)的距離為，故，則的最大值為，故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）證明：分別為的中點(diǎn),平面，面，平面（2）解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面AEF的法向量為可得，故，令則解得，，得到平面的一個(gè)法向量為易得平面的一個(gè)法向量為由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為常數(shù)，所以解得，即公差為.（2）因?yàn)樗钥傻茫?7.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？解：（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時(shí)，最大.18.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程；（2）已知，過點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線距離為定值，且定值為.19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)滿足曲線在和處的切線重合，則稱為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”.（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，若，證明：.（1）解：不是，理由如下：由已知，由解得，，又，，不妨設(shè)切點(diǎn)為，，在點(diǎn)處的切線的方程為，即，在點(diǎn)的切線方程為，即與直線不重合，所以直線不是曲線的“雙重切線”．（2）解：由題意，函數(shù)和都是單調(diào)函數(shù)，則可設(shè)切點(diǎn)為，且，所以在點(diǎn)處的切線的方程為，在點(diǎn)的切線方程為，所以，消去得，設(shè)（），則，所以是減函數(shù)，又，所以在時(shí)只有一解，所以方程的解是，從而，在點(diǎn)處切線方程為，即，在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以“雙重切線”方程為；（3）證明：設(shè)對應(yīng)的切點(diǎn)為，，對應(yīng)的切點(diǎn)為，，由于，所以，，由余弦函數(shù)的周期性，只要考慮的情形，又由余弦函數(shù)的圖象，只需考慮，情形,則，，其中，所以，又，，即，，時(shí)，，，令（），則，，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，此時(shí)，則，所以．河北省邢臺市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B3.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí),進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)未剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，因?yàn)樗?，則，又這兩對數(shù)據(jù)為，所以，所以，所以，故選：C.4.已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值〖答案〗D〖解析〗依題意，設(shè)，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯(cuò)誤.故選：D.5.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然與均關(guān)于對稱，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得與有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A.二、選擇題9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個(gè)數(shù)為16C.D.的子集個(gè)數(shù)為64〖答案〗BCD〖解析〗對于ABC，因?yàn)?，所以，即，所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；對于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知內(nèi)角對邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗约丛趨^(qū)間上的〖解析〗式為故C錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，所以，所?故D正確.故選：AD.三、填空題12.已知，過點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為，故〖答案〗為：1；13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為________．〖答案〗144〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，要求最左邊，中間，最右邊，共有3種，所以一共有種，故〖答案〗為：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是邊長為6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一點(diǎn)，是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則的最大值為________．〖答案〗〖解析〗若底面ABC是邊長為6的正三角形，則外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)三棱柱外接球的半徑為，且已知，可得，解得，設(shè)三棱柱外接球的球心與內(nèi)切圓上一點(diǎn)的距離為，故，則的最大值為，故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）證明：分別為的中點(diǎn),平面，面，平面（2）解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面AEF的法向量為可得，故，令則解得，，得到平面的一個(gè)法向量為易得平面的一個(gè)法向量為由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.16.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為常數(shù)，所以解得，即公差為.（2）因?yàn)樗钥傻?，?7.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？解：（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張?jiān)陬}庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張?jiān)陬}庫中任選一題