福建省福州市2022年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試題與參考答案

福建省福州市2022年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試題與參考答案一、單選題每題4分，共40分。1.2022年冬奧會(huì)將在我國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行，下列歷屆冬奧會(huì)會(huì)徽的部分圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】A．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2.下列二次函數(shù)中，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）的是（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】A.的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），不符合題意；B.的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1），不符合題意；C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），不符合題意；D.的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1），符合題意；故選：D．3.下列事件中，是必然事件的是()A.擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6B.任意畫(huà)個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°C.籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，未投中D.一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】B【詳解】A．?dāng)S一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6，屬于隨機(jī)事件；

B．任意畫(huà)個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°，屬于必然事件；

C．籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次未投中，屬于隨機(jī)事件；

D．一元二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，屬于隨機(jī)事件；

故選B．4.與點(diǎn)（2，﹣3）在同一反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）A.（﹣2，3） B.（﹣1，﹣6）C.（6，1） D.（﹣2，﹣3）【答案】A【詳解】與點(diǎn)（2，﹣3）的橫縱坐標(biāo)乘積為-6，四個(gè)答案中只有A的橫縱坐標(biāo)的積等于-6，故選：A．5.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到△ACQ，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）A.50° B.60°C.70° D.80°【答案】B【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)角為．∵為等邊三角形，∴，即旋轉(zhuǎn)角為．故選：B．6.方程是關(guān)于的一元二次方程，則有（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得：m=-1，故選：B．7.已知△ABC與△A′B′C′相似，點(diǎn)A與A′，點(diǎn)B與B′對(duì)應(yīng)，若，且△ABC的中線AD的長(zhǎng)為5，則AD的對(duì)應(yīng)中線A′D′的長(zhǎng)為（）A.10 B.20C.80 D.【答案】B【詳解】∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∵，∴，∴，∵AD=5，∴即．故選擇B．8.如圖，、分別與相切于、兩點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，連接、，若，則的度數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【詳解】連接OA、OB，∵PA、PB是⊙O切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，∴∠P=180°-∠AOB，∵∠ACB=62°，∴∠AOB=2∠ACB=124°，∴∠P=180°-124°=56°，故選：A．9.將三角形紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，折痕為．已知，，若，那么的長(zhǎng)度是（）A. B.4C. D.2【答案】B【詳解】設(shè)，則由折疊的性質(zhì)可知：，，當(dāng)時(shí)，有，即：，解得：；故選：B．10.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③若方程的兩根為和，且，則；④，其中正確的結(jié)論有（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，①結(jié)論正確；二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，，解得：，，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，，，，②結(jié)論正確；，，，，，或，方程的兩根為和，且，，③結(jié)論正確；由①結(jié)論可知，，，，④結(jié)論錯(cuò)誤，正確的結(jié)論有①②③，共3個(gè)，故選：C．二、填空題每題4分，共24分。11.二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣4）2＋8的最大值為_(kāi)______．【答案】8【詳解】在y＝﹣2（x﹣4）2+8中，∵∴當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最大值8，故答案為：8．12.如圖，直線，，，那么的值是______．【答案】2【詳解】，，，，，，故答案為：2．13.如圖，點(diǎn)，，均在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上，則______．【答案】【詳解】連接AD，如圖，

根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)得：∠ADC=90°，CD=2AD，

所以tanC=．故答案為：．14.某種商品原價(jià)每件售價(jià)為400元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，每件售價(jià)為288元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，依題意得：400（1-x）2=288．故答案為：400（1-x）2=288．15.如圖，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點(diǎn)D、E，過(guò)劣?。ú话ǘ它c(diǎn)D、E）上任一點(diǎn)P作的切線，與、分別交于點(diǎn)M、N，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】4【詳解】如圖，連接、，在中，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，、為的切線，∴，，∵，，∴四邊形為正方形，∴，由切線長(zhǎng)定理得，，，，，∴，解得，則的周長(zhǎng)為．故答案為：4．16.如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，tan∠CAB=2，則k的值為_(kāi)____【答案】﹣12【詳解】如圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F．∵由直線AB與反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF．又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴，∵tan∠CAB2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE?OE=，CF?OF=|k|，∴|k|=CF?OF=2AE×2OE=4AE×OE=12，∴k=±12．∵點(diǎn)C在第二象限，∴k=-12．故答案為：-12．三、解答題17.（1）解方程：；（2）計(jì)算：．【答案】（1），；（2）【詳解】（1），，∴或，∴，；（2）．18.如圖，已知，，是直角坐標(biāo)系平面上三點(diǎn)．（1）以原點(diǎn)為位似中心，在第四象限內(nèi)畫(huà)出將縮小為原來(lái)的一半后的；（2）畫(huà)出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的，并求出線段所掃過(guò)的圖形面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析，線段所掃過(guò)的面積為【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，即為所求，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，則線段所掃過(guò)的圖形是圓心角為，半徑為的扇形，所以，線段所掃過(guò)的面積為：，即線段所掃過(guò)的面積為．19.如圖,“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問(wèn)題：“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何.”用幾何語(yǔ)言可表述為：CD為圓O的直徑,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直徑CD的長(zhǎng).【答案】26【詳解】設(shè)直徑CD的長(zhǎng)為2x，則半徑OC=x，

∵CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，

∴AE=BE=AB=×10=5寸，

連接OA，則OA=x寸，根據(jù)勾股定理得x2=52+（x-1）2，

解得x=13，

CD=2x=2×13=26（寸）．故答案為2620.北京將于2022年舉辦冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，中國(guó)將成為一個(gè)舉辦過(guò)五次各類奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的國(guó)家小亮是個(gè)集郵愛(ài)好者，他收集了如下圖所示的四張紀(jì)念郵票（除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)將四張郵票背面朝上，洗勻放好．（1）小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融”的概率是______；（2）小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票（不放回），再?gòu)挠嘞碌泥]票中隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求抽到的兩張郵票恰好是“冬奧會(huì)會(huì)徽”和“冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩”的概率．（這四張郵票依次分別用字母A，B，C，D表示）【答案】（1）（2）【詳解】（1）共四張郵票，小亮從中隨機(jī)抽取一張郵票是“冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融”的概率是；故答案為：（2）這四張郵票依次分別用字母A，B，C，D表示，列表如下，ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12中等可能情況，其中抽到的兩張郵票恰好是“冬奧會(huì)會(huì)徽”和“冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩”的可能性有2種，抽到的兩張郵票恰好是“冬奧會(huì)會(huì)徽”和“冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩”的概率為．21.一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）直接寫(xiě)出不等式的解集．【答案】（1），（2）7.5（3）或【小問(wèn)1詳解】把代入，得，∴反比例函數(shù)的解析式為．點(diǎn)在上，，．把，代入得，解得，一次函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】在一次函數(shù)中，令時(shí)，則，，，即的面積為7.5．【小問(wèn)3詳解】根據(jù)圖象可得，或．22.由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)與建造的首艘國(guó)產(chǎn)航母山東艦于年月日交付海軍．如圖，某日山東艦在南海海域開(kāi)展訓(xùn)練時(shí)在處測(cè)得小島在該艦的北偏東方向，往東行駛海里后到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得小島在該艦的北偏東方向，已知以小島為中心，周圍海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)航母山東艦繼續(xù)向東航行是否有觸礁的危險(xiǎn)？【答案】沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，見(jiàn)解析【詳解】沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由題知，，，，，，，海里，在中，，，，，航母不改變航線繼續(xù)向東航行，沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．23.如圖，已知在中，是的中線，，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【小問(wèn)1詳解】證明：為的中線，，，，，，，，，，【小問(wèn)2詳解】，．，∵，，，，，，，由①②可得，．24.如圖所示，在中，點(diǎn)在斜邊上，以為圓心，為半徑作圓，分別與、相交于點(diǎn)、，連接，已知．（1）求證：是的切線；（2）若，，求劣弧的長(zhǎng)；（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【詳解】（1）如圖1，連接OD，∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵∠CAD=∠B，∴∠CAD=∠ODB，∴∠ODB+∠ADC=90°，∴∠ADO=90°，又∵OD是半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴AD=2CD=3，∠DAB=30°，∴AD=OD，∴OD=，∵OD=OB，∠B=30°，∴∠B=∠ODB=30°，∴∠DOB=120°，∴劣弧BD的長(zhǎng)=；（3）如圖2，連接DE，∵BE是直徑，∴∠BDE=90°，∴∠ACB=∠EDB=90°，∴AC∥DE，∵∠B=∠CAD，∠ACD=∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴設(shè)CD=2x，DE=3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x=，∴CD=1，BC=BD+CD=4，∴，∵DE∥AC，∴，∴．25.平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，4），且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)C為拋物線上A，B之間一點(diǎn)，連接OA，OC，若∠AOC＝∠AOy，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，若直線y＝kx﹣2k＋5與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，當(dāng)k＜0時(shí)，試說(shuō)明直線MP過(guò)一定點(diǎn)Q，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-x2+4x；（2）（，）；（3）直線MP過(guò)一定點(diǎn)Q（2，3），理由見(jiàn)詳解【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A（2，4），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-2)2+4，把（0，0）代入上式，可得：0=a(0-2)2+4，解得：a=-1，∴y=-(x-2)2+4，即：y=-x2+4x；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE∥y軸，交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴∠OEC=∠AOy，又∵∠AOC＝∠AOy，∴∠OEC=∠AOC，∴OC=CE