天津市河西區(qū)新華中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

天津市河西區(qū)新華中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A． B． C． D．2．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．一個(gè)鐘表的分針長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)分鐘，分針掃過(guò)圖形的面積是()A． B． C． D．5．若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，則m的值為（）A．7 B．0或7 C．0 D．46．在等比數(shù)列中，若，則（）A．3 B． C．9 D．137．已知三個(gè)互不相等的負(fù)數(shù)，，滿足，設(shè)，，則()A． B． C． D．8．延長(zhǎng)正方形的邊至，使得．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，若，下列判斷正確的是（）A．滿足的點(diǎn)必為的中點(diǎn)B．滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)C．的最小值不存在D．的最大值為9．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類(lèi)推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．810．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的傾斜角為_(kāi)_____.12．_________________．13．若無(wú)窮數(shù)列的所有項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足，則______．14．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，，則的值是________．15．某班級(jí)有50名學(xué)生，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為1~5號(hào)，并按編號(hào)順序平均分成10組（1~5號(hào)，16．已知為直線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，則切線長(zhǎng)最短時(shí)的切線方程為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè).(1)用表示的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.18．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB=AD，BD⊥CD，點(diǎn)E、F分別是棱BC、BD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面ACD；（2）求證：AE⊥BD．19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若，求當(dāng)時(shí)自變量的取值集合.20．已知函數(shù)f(x)=x2（1）寫(xiě)出函數(shù)g(x)的解析式；（2）若直線y=ax+1與曲線y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）若直線y=ax+b與曲線y=f(x)在x∈[-2,1]內(nèi)有交點(diǎn)，求(a-1)221．在等差數(shù)列中，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可計(jì)算得到，由計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)和等差中項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．3、C【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于的底數(shù)為，而函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域得，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

分析題意可知分針掃過(guò)圖形是扇形，要求這個(gè)扇形的面積需要得到扇形的圓心角和半徑，再代入扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】經(jīng)過(guò)35分鐘，分針走了7個(gè)大格，每個(gè)大格則分鐘走過(guò)的度數(shù)為鐘表的分針長(zhǎng)為10分針掃過(guò)圖形的面積是故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，結(jié)合公式需要求出扇形的圓心角和半徑，較為基礎(chǔ)5、B【解析】

根據(jù)直線和直線平行則斜率相等，故m(m-1)=3m×2，求解即可。【詳解】∵直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，∴m(m-1)=3m×2，∴m=0或7，經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意，故選B.【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，利用直線的平行關(guān)系，斜率相等求解參數(shù)。6、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)即可得解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，所以，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)求數(shù)列中的項(xiàng)的關(guān)系，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算.7、C【解析】

作差后利用已知條件變形為，可知為負(fù)數(shù)，由此可得答案.【詳解】由題知.因?yàn)?，，都是?fù)數(shù)且互不相等，所以，即.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了作差比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】試題分析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為，則設(shè)，由得，所以，當(dāng)在線段上時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，所以；當(dāng)在線段上時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，所以；當(dāng)在線段上時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，所以；當(dāng)在線段上時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，所以；由以上討論可知，當(dāng)時(shí)，可為的中點(diǎn)，也可以是點(diǎn)，所以A錯(cuò)；使的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為點(diǎn)與中點(diǎn)，所以B錯(cuò)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，有最小值，故C錯(cuò)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，有最大值，所以D正確，故選D．考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算，屬中檔題．平面向量是高考的必考內(nèi)容，向量坐標(biāo)化是聯(lián)系圖形與代數(shù)運(yùn)算的渠道，通過(guò)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，通過(guò)加、減、數(shù)乘的運(yùn)算法則，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，同時(shí)將參數(shù)的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在解題過(guò)程中，還常利用向量相等則坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用．9、C【解析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進(jìn)而得到數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，即可求解.【詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項(xiàng)，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項(xiàng)，所以數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.10、A【解析】

連結(jié)，由，可知異面直線與所成角是，分別求出，然后利用余弦定理可求出答案.【詳解】連結(jié)，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角是，在中，，，，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的夾角，考查了利用余弦定理求角，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)兩點(diǎn)求斜率的公式求得直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】依題意，故直線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩點(diǎn)求直線斜率的公式，考查直線斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、3【解析】

分式上下為的二次多項(xiàng)式,故上下同除以進(jìn)行分析.【詳解】由題,,又,故.

故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了分式型多項(xiàng)式的極限問(wèn)題，注意：當(dāng)時(shí),13、【解析】

先由作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即可計(jì)算出，然后利用常用數(shù)列的極限即可計(jì)算出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由，可得，上式下式得，得，也適合，則，.所以，.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用作差法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了數(shù)列極限的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】

由題得計(jì)算得解.【詳解】由題得,所以.因?yàn)榈缺葦?shù)列同號(hào)，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比中項(xiàng)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、33【解析】試題分析：因?yàn)槭菑?0名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，組距是5，∵第三組抽取的是13號(hào)，∴第七組抽取的為13+4×5=33．考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣16、或【解析】

利用切線長(zhǎng)最短時(shí)，取最小值找點(diǎn)：即過(guò)圓心作直線的垂線，求出垂足點(diǎn)．就切線的斜率是否存在分類(lèi)討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長(zhǎng)為，則，所以當(dāng)切線長(zhǎng)取最小值時(shí)，取最小值，過(guò)圓心作直線的垂線，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時(shí)切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡(jiǎn)得，解得，此時(shí)，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題，在過(guò)點(diǎn)引圓的切線問(wèn)題時(shí)，要對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】

（1）化f（x）為sinx的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)a討論求出函數(shù)最大值；（2）由M（a）＝2求出對(duì)應(yīng)的a值即可．【詳解】(1)，∵，∴.①當(dāng)，即時(shí)，；②當(dāng)，即時(shí)，；③當(dāng)，即時(shí)，.∴(2)當(dāng)時(shí)，(舍)或－2(舍)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，考查了分段函數(shù)求值問(wèn)題，是中檔題．18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）證明EF∥CD，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明EF∥平面ACD；（2）證明BD⊥平面AEF，然后說(shuō)明AE⊥BD．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是棱BC、BD的中點(diǎn)，所以EF是△BCD的中位線，所以EF∥CD，又因?yàn)镋F?平面ACD，CD?平面ACD，EF∥平面ACD．（2）由（1）得，EF∥CD，又因?yàn)锽D⊥CD，所以EF⊥BD，因?yàn)锳B=AD，點(diǎn)F是棱BD的中點(diǎn)，所以AF⊥BD，又因?yàn)镋F∩AF=F，所以BD⊥平面AEF，又因?yàn)锳E?平面AEF，所以AE⊥BD．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)以及直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力與空間想象能力，是基本知識(shí)的考查．19、（1）；（2）或【解析】

（1）由輔助角公式可得，再求周期即可；（2）由求出，再解方程即可.【詳解】解：（1），則的最小正周期為.（2）因?yàn)椋?，即，解?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，則或，解得或.故當(dāng)時(shí)，自變量的取值集合為或.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，重點(diǎn)考查了解三角方程，屬中檔題.20、(1)g(x)=0,-x2【解析】

（1）先分類(lèi)討論求出|f(x)|的解析式，即得函數(shù)g(x)的解析式；（2）當(dāng)a=0時(shí)，直線y=1與曲線y=g(x)只有2個(gè)交點(diǎn)，不符題意．當(dāng)a≠0時(shí)，由題意得，直線y=ax+1與曲線y=g(x)在x?-2或x?1內(nèi)必有一個(gè)交點(diǎn)，且在-2<x<1的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)．由y=ax+1,y=-x2-x+2,-2<x<1,消去y得x2+(a+1)x-1=0．令φ(x)=x2+(a+1)x-1，寫(xiě)出a應(yīng)滿足條件解得；（3）由方程組y=ax+b,y=x2+x-2,消去y得x2+(1-a)x-2-b=0．由題意知方程在[-2，1]內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩根為x【詳解】（1）當(dāng)f(x)=x2+x-2≥0，得x≥1或x≤-2當(dāng)f(x)=x2+x-2<0，得∴g(x)=（2）當(dāng)a=0時(shí)，直線y=1與曲線y=g(x)只有2個(gè)交點(diǎn)，不符題意.當(dāng)a≠0時(shí)，由題意得，直線y=ax+1與曲線y=g(x)在x≤-2或x≥1內(nèi)必有一個(gè)交點(diǎn)，且在-2<x<1的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn).由y=ax+1y=-x2-x+2,-2<x<1，消去令φ(x)=x2+(a+1)x-1a≠0Δ=解