數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)鞏固）-2021年中考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)和鞏固提升訓(xùn)練

考向04數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)一基礎(chǔ)鞏固

【知識梳理】

考點一、實數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)

1.實數(shù)及其分類

實數(shù)可以按照下面的方法分類:

/正整數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)I負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)［正分?jǐn)?shù)

實數(shù)W負(fù)分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

實數(shù)還可以按照下面的方法分類:

正整數(shù)

正有理數(shù)J

i定分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

實數(shù)，零

負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)｛

負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

方法指導(dǎo)：

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

2.數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點

來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系.

方法指導(dǎo)：

實數(shù)和數(shù)軸上的點的這種一一對應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要基礎(chǔ).

3.相反數(shù)

實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù).零的相反數(shù)是零.

一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等.

方法指導(dǎo)：

兩個互為相反數(shù)的數(shù)的運算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么

a+b=0；反過來，如果a+b=0,那么a和b互為相反數(shù).

4.絕對值

一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離.

一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零,

即：如果a>0,那么|a|=a；

如果a<0,那么|a|=-a；

如果a=0,那么|a|=0.

方法指導(dǎo)：

從絕對值的定義可以知道，一個實數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù).

5.實數(shù)大小的比較

在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大.

6.有理數(shù)的運算

(1)運算法貝M略).

(2)運算律:

加法交換律a+b=b+a；

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法交換律ab=ba；

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；

分配律a(b+c)=ab+ac.

(3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，力口、減是第一級運算，

乘、除是第二級運算，乘方、開方是第三級運算.在沒有括號的算式中，首先進(jìn)行第三級運

算，然后進(jìn)行第二級運算，最后進(jìn)行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最

后算加、減.

算式里如果有括號，先進(jìn)行括號內(nèi)的運算.

如果只有同一級運算，從左到右依次運算.

7.平方根

如果x?=a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).

方法指導(dǎo)：

正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根.

8.算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.零的算術(shù)平方根是零.

方法指導(dǎo)：

從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).

9.近似數(shù)及有效數(shù)字

近似地表示某一個量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個量準(zhǔn)確值的近似數(shù).一個近似數(shù)，四舍五入

到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到

的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字.

10.科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)記成土ax10"的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱

為用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù).

考點二、二次根式、分式的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.二次根式的概念

形如J^(a20)的式子叫做二次根式.

2.最簡二次根式和同類二次根式的概念

最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類

二次根式.

方法指導(dǎo)：

把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相

乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

(1)與互為有理化因式；

(2)a+痛與痛互為有理化因式；一般地a+與a-c斯互為有理化因式；

(3)&+揚與?"一振互為有理化因式；一般地cG+dJB與揚互為有

理化因式.

3.二次根式的主要性質(zhì)

(1)&>0(a>0)；

(2)(y)-a(a>0)；

a(a>0)

(3)=\a\=<

-a(a<0)

(4)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：瓢=五,瓜aNO,b>Q)；

^|=^(a>0,b>0).

(5)商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

4.二次根式的運算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.

方法指導(dǎo)：

二次根式的混合運算：

L明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；

2.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；

3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.

5.代數(shù)式的有關(guān)概念

(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成

的式子，叫做代數(shù)式.

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.

代數(shù)式的分類：

整式胃項式

聲理式多項式

代數(shù)式L分式

I無理式

(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有

理式.

(3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式.

整式包括單項式和多項式.

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有

意義.

6.整式的運算

(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項.在運算時，如果遇到括號,

根據(jù)去括號法則，先去括號，再合并同類項.

(2)整式的乘法：

①正整數(shù)基的運算性質(zhì)：

0m.an-am+n；

(a"')"=a'nn；

(ab)",=am.bm；

am^an=am-n(a^O,m>n).

其中m、n都是正整數(shù).

②整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用

它們的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指

數(shù)作為積的一個因式.

單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相

加.

③乘法公式：

(a+人)(a—b)=a?一b~；

(a+—a2+lab+b7.

④零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在(aNO,m,n都是正整數(shù))中，當(dāng)m=n時，規(guī)定

a°=1；

當(dāng)m<n時，如m-n=-p(p是正整數(shù))，規(guī)定小。=’.

ap

7.因式分解

(1)因式分解的概念

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.

在因式分解時，應(yīng)注意：

①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止,

題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解.

②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成鼎的形式，并且要把各個因式化簡.

(2)因式分解的方法

①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).

②運用公式法：?2-b1-(a+b^a-b)；a1±2ab+b2-(a+b)2；

③十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+Z?).

(3)因式分解的步驟

①多項式的各項有公因式時，應(yīng)先提取公因式；

②考慮所給多項式是否能用公式法分解.

方法指導(dǎo)：

因式分解時應(yīng)注意:①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解

到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；②因

式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式，并且要把各個因式化簡，同時每個因式的首

項不含負(fù)號；③多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形.

8.分式

(1)分式的概念

A

形如一的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零.

B

(2)分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.

AAxMAA^M

.(其中M是不等于零的整式)

BBxMBB+M

(3)分式的運算

?.,,a,ba+ba,cad+bc

①加減法：一土一=----,一土一=

cccbdbd

acac

②乘法:一?一=---.

bdbd

acadad

③除法:

bdbcbe

④乘方：=—(n為正整數(shù)).

[b)b"

方法指導(dǎo)：

解分式方程的注意事項：

(1)去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；

(2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看

它是否為0,如果為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.

列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審一一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)一一合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列一一根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗一一檢驗增根；

(6)答----答題.

【基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練】

一、選擇題

1.下列運算中，計算結(jié)果正確的是()

A.x2-x3=x6B.x2n-%"-2=%"+2

C.(2/)2=4/D./+/=%6

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知a+Z?=機,aZ?=T,化簡(a-2)(/7-2)的結(jié)果是()

A.6B.2m—8C.2mD.-2m

4.當(dāng)X<1時，化簡—1)2的結(jié)果為()

A.x-lB.-x-1C.1—xD.x+1

5.計算（x—yd--）（x+y----2）的正確結(jié)果是（）

x-yx+y

A.y2-x2B.x2-y2C.x2-4y2D.4y2-x2

6.用同樣大小的黑色的小三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，則第100個圖形有（）個

黑色的小三角形.

第1個第2個第3個第4個

A.300B.303C.306D.309

二、填空題

7.若單項式2/，與一3/1是同類項，則乂=

8.化簡J（_6）2的結(jié)果是.已知x+|x-l|=l,則化簡

J（K-1）2+J（2-X）2的結(jié)果是----------

411

9.已知兩個分式：A=——,B=——+——，其中x#±2.下面有三個結(jié)論:

x-4x+22-x

①A=B；②A、B互為倒數(shù)；③A、B互為相反數(shù).

正確的是.（填序號）

10.已知a為實數(shù)，則代數(shù)式-—8—4a+&7的值為

11.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解——4=.

12.如圖，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼一個長為（a+

2b）、寬為（a+b）的大長方形，則需要C類卡片張.

三、解答題

13.計算

（1）——

a2-b2

⑵*x柒

14.觀察下列各式及其驗證過程:

驗證:

驗證:

驗證:

(1)按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路,猜想4—的變形結(jié)果并進(jìn)行驗

15

證；

(2)針對上述各式反映的規(guī)律,寫出用〃仿為任意自然數(shù)，且"22)表示的等式,并給出證

明.

15.分解因式:

(1)-4x2yz-12xy2z+4xyz；

(2)ax"-4ax+4a；

(3)x2-5x+6；

(4)(b-a)2-2a+2b；

(5)(a2+b2)4a2bz.

16.A、B兩地路程為150千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，2

小時后相遇，相遇后，各以原來的速度繼續(xù)行駛，甲車到達(dá)B后，立即沿原路返回，返回時

的速度是原來速度的2倍，結(jié)果甲、乙兩車同時到達(dá)A地，求甲車原來的速度和乙車的速度.

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】B；

【解析】同底數(shù)幕的乘法法則是底數(shù)，不變指數(shù)相加，而除法可能轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行，幕

的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘.A項結(jié)果應(yīng)等于爐，C項結(jié)果應(yīng)等于4爐，而D項無法運算.

2.【答案】C；

【解析】原式=d嚴(yán)%22°ii.2=dx2產(chǎn)工義2=2.

22

3.【答案】選D；

【解析】原式按多項式乘法運算后為次?—2(。+切+4,再將。+人=加，次?=—4代入,

可得一2m.

4.【答案】C；

【解析】開方的結(jié)果必須為非負(fù)數(shù).

5.【答案】B；

【解析】將括號內(nèi)的式子分別通分.

6.【答案】B；

【解析】(1)第一個圖需三角形6個，第二個圖需三角形9,第三個圖需三角形12,

第四個圖需三角形15,第五個圖需三角形18,

第n個圖需三角形3(n+1)枚.

.?.第100個圖形有3(100+1)=303個黑色的小三角形.故選：B.

二、填空題

7.【答案】1；

【解析】???2才與—3/1是同類項，

2x=3x-l,

解得X=l.

8.【答案】6；-2x+3.

［解析］J(-6)2=6；

*.*x+1x-11=1,

|X-1I=-(X-1),

Ax-1^0,

.?.xWl,

原式二|x-11+12-x|

(x-1)+2-x

=-x+1+2-x

--2x+3.故答案為：6；-2x+3.

9.【答案】③;

1

【解析】因為：B=—+

x+22-x

x-2x+2

X2-4~X2-4

-4

~x2-4

=-A故選③.

10.【答案】f

【解析】V-a2>0,Aa2^0,而a?》o,，a=0,

.?.原式=拒—我=—五

2

H.【答案】(X+2)(X+V2)(X-V2)；

【解析】觀察多項式一一4,發(fā)現(xiàn)其有平方差公式特點，所以可以使用平方差公式

進(jìn)行因式分解.

需要注意要將因式分解在實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行到底，且不可半途而廢.

12.【答案】3張；

【解析】本題考查的相關(guān)知識有整式的乘法，乘法公式，數(shù)形結(jié)合思想.解答思路：可

由面積相等入手，圖形拼合前后面積不變，所以(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

三、解答題

13.【答案與解析】

ba+b-a

解：(1)原式二

(a+