2024年中考數(shù)學總復習真題分類匯編：圓的基本概念與性質2

6.1圓的基本概念與性質

一.選擇題

1.（2023?吉林）如圖，AB,AC是的弦，OB,0c是的半徑，點尸為02上任意一點（點P不與

點2重合），連接CP.若/BAC=70°,則NBPC的度數(shù)可能是（）

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形43a）中，ZBCD=105°,連接OC,OD,BD,ZBOC

=2/COD則的度數(shù)是（）

3.（2023?河南）如圖，點A,B,C在。。上，若NC=55°,則/A03的度數(shù)為（）

4.（2023?廣東）如圖，A8是。。的直徑，ZBAC=50°,則/。=（）

A.20°B.40°C.50°D.80°

5.（2023?廣西）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈

圓弧形，跨度約為37加，拱高約為7優(yōu)，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）

37m

A.20mB.28wC.35mD.40m

6.（2023?四川廣元）如圖，AB是。O的直徑，點C,。在。。上，連接CO,OD,AC,若/80。=124°,

則NACD的度數(shù)是（）

A.56°B.33°C.28°D.23°

7.（2023?浙江溫州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，BC//AD,AC±BD.若/AO￡>=120°,AD=V3,

則NC4。的度數(shù)與的長分別為（）

A

BK/\\

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1I）.15°,V2

8.（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，AC,3。為對角線,BD經(jīng)過圓心0.若/BAC=40°,

則NOBC的度數(shù)為（）

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

9.（2023?湖北宜昌）如圖，。4,OB,0c都是的半徑，AC,交于點。.若AZ）=CZ）=8,00=6,

A.5B.4C.3D.2

10.（2023?山東棗莊）如圖，在中，弦AB,CD相交于點P.若/A=48°,ZAPZ）=80°,則的

度數(shù)為（）

11.（2023?浙江杭州）如圖，在OO中，半徑。4,08互相垂直，點C在劣弧AB上.若/A8C=19°,則

NBAC=（）

A.23°B.24°C.25°D.26°

12.（2023?湖北黃岡）如圖，在（DO中，直徑AB與弦CD相交于點P,連接AC,AD,BD,若/C=20°,

ZBPC=70°,則/ADC=（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

13.（2022?山東泰安）如圖，AB是。。的直徑，ZACD^ZCAB,AD=2,AC=4,則。。的半徑為（）

14.（2022?浙江溫州）如圖，AB,AC是O。的兩條弦，于點￡）,OELAC于點E,連結08,OC.若

ZDO￡=130°,則/80C的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

15.（2022?廣西貴港）如圖，O。是△A8C的外接圓，AC是O。的直徑，點尸在O。上，若NAC8=40°,

則N8PC的度數(shù)是（）

16.（2022?湖南株洲I）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在。。上，邊A8、AC與。。分別交于點。、E,點、

尸是劣弧場上一點，且與。、E不重合，連接。尸、EF,則/。FE的度數(shù)為（）

E

A.115°B.118°C.120°D.125°

17.（2022?湖北荊門）如圖，CQ是圓。的弦，直徑A8_LCQ,垂足為E,若A8=12,BE=3,則四邊形

AC8D的面積為（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

二.填空題

18.（2023?湖南長沙）如圖，點A,B,C在半徑為2的O。上，ZACB=60°,OD±AB,垂足為￡,交O。

于點D,連接OA,則OE的長度為

19.（2023?廣東深圳）如圖，在。。中，為直徑，C為圓上一點，/BAC的角平分線與交于點

若NAOC=20。，則

20.（2023?山東東營）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁

中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”轉化為現(xiàn)在的數(shù)學語言表達就是：如

圖，CO為的直徑，弦AB_LC。，垂足為E,CE=1寸，A8=10寸，則直徑CD的長度為寸.

21.（2023?浙江紹興）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于圓。若/。=100°,則的度數(shù)是

22.（2023?四川南充）如圖，是的直徑，點。，M分別是弦AC,弧AC的中點，AC=12,BC=5,

則MD的長是.

23.（2022?遼寧錦州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，為。。的直徑，NAZ）C=130°,連接AC,則

ZBAC的度數(shù)為

24.（2022?四川阿壩州）如圖，點A,B,C在。。上，若NACB=30°,則/AQB的大小為

25.（2022?浙江湖州）如圖，已知A2是。。的弦，120°,OCLAB,垂足為C,OC的延長線交

。。于點Q.若/APO是疝所對的圓周角，則的度數(shù)是.

26.（2022?四川自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦A8長20厘米，弓形高

CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米.

27.（2022?江蘇蘇州）如圖，是。。的直徑，弦C￡）交48于點E,連接AC,AD.若/8AC=28°,則

ZD=

c

28.(2022?黑龍江牡丹江)。。的直徑CZ)=10,4B是。。的弦，ABLCD,垂足為M,OM-.0c=3：5,

則AC的長為

三.解答題

29.(2023?北京)如圖，圓內(nèi)接四邊形A8CD的對角線AC,2。交于點E,8。平分/ABC,NBAC=NADB.

(1)求證平分NAOC,并求NR4D的大??；

(2)過點C作C尸〃交AB的延長線于點凡若AC=A。，BF=2,求此圓半徑的長.

30.(2023?湖北武漢)如圖，OA,OB,0c都是。。的半徑，ZACB^2ZBAC.

(1)求證：/AOB=2/BOC；

(2)若AB=4,BC=V5,求。。的半徑.

31.（2022?湖北宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1）,隋代建造的趙州橋距今約有1400

年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧

形，表示為通.橋的跨度（弧所對的弦長）AB=26,〃，設苑所在圓的圓心為O,半徑OCLAB,垂足為D拱

高（弧的中點到弦的距離）CD=5m.連接。8.

（1）直接判斷與8。的數(shù)量關系；

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）.

32.（2022?廣東）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于AC為。。的直徑，ZADB=ZCDB.

（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；

（2）AB=V2,4。=1,求CD的長度.

B

33.（2022?江蘇南通）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于OO,8。為。。的直徑，AC平分CD=242,

點E在的延長線上，連接。E.

（1）求直徑的長；

（2）若BE=5近,計算圖中陰影部分的面積.

34.（2022?湖北武漢）如圖，以AB為直徑的。。經(jīng)過△ABC的頂點C,AE,8E分別平分N8AC和NABC,

AE的延長線交00于點Q,連接8D

（1）判斷△BOE的形狀，并證明你的結論;

(2)若48=10,BE=2所,求2C的長.

B'C

D

參考答案與解析

一.選擇題

1.（2023?吉林）如圖，AB,AC是。。的弦，OB,0c是。。的半徑，點P為02上任意一點（點P不與

點8重合），連接CP若/BAC=70°,則/BPC的度數(shù)可能是（）

【答案】D

【分析】利用圓周角定理求得/BOC的度數(shù)，然后利用三角形外角性質及等邊對等角求得/8PC的范圍,

繼而得出答案.

【詳解】解：如圖，連接BC,

故選：D.

【點睛】本題考查圓與三角形外角性質的綜合應用，結合已知條件求得/BPC的范圍是解題的關鍵.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ZBCD=105°,連接02,OC,OD,BD,ZBOC

=2/COD.則NC2。的度數(shù)是（）

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質及圓周角定理求得N30D的度數(shù)，再結合已知條件求得NCOO的度

數(shù)，然后利用圓周角定理求得NCBD的度數(shù).

【詳解】解：??,四邊形A3CO是。。的內(nèi)接四邊形，

AZA+ZBCD=180°,

VZBCD=105°,

AZA=75°,

???N3OD=2NA=150°,

■:/BOC=2/COD,

???N3OO=3NCOD=150°,

：.ZCOD=50°,

1

AZCBD=^ZCOD=25°,

故選：A.

【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質及圓周角定理，結合已知條件求得的度數(shù)是解題的關鍵.

3.（2023?河南）如圖，點A,B,C在。O上，若NC=55°,則NA08的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可得到答案.

【詳解】解：VZAOB=2ZC,ZC=55°,

ZAOB=HO0,

故選：D.

【點睛】本題考查圓周角定理的應用，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半.

4.（2023?廣東）如圖，AB是OO的直徑，ZBAC=50°,則ND=（）

【答案】B

【分析】由是。。的直徑，得/ACB=90°,而NBAC=50°,即得/A8C=40°,故/￡>=/ABC

=40。,

【詳解】解：?.NB是OO的直徑，

AZACB=90°,

：.ZBAC+ZABC^90°,

VZBAC=50°,

：.ZABC=40°,

"：AC=AC,

：.ZD=ZABC=40°,

故選：B.

【點睛】本題考查圓周角定理的應用，解題的關鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角和同弧所對的圓周角

相等.

5.（2023?廣西）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈

圓弧形，跨度約為37d拱高約為7加，則趙州橋主橋拱半徑尺約為（）

37m

O

A.20mB.28mC.35mD.40m

【答案】B

【分析】設主橋拱半徑R,根據(jù)垂徑定理得到孝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，AB=31m,CD=7m,

設主橋拱半徑為Rm,

：.OD=OC-CD=(R-7)m,

：OC是半徑，OC±AB,

：.AD^BD=%B=~-m,

在RtADO中，AC^+OD1=OA2,

370200

(—)+(R-7)2=R2,

2

解得夫=粵228.

故選：B.

【點睛】本題主要考查垂徑定理的應用，涉及勾股定理，解題的關鍵是用勾股定理列出關于R的方程解

決問題.

6.（2023?四川廣元）如圖，A8是O。的直徑，點C,。在O。上，連接CD,OD,AC,若/8OZ>=124°,

C.28°D.23°

【答案】C

【分析】先由平角定義求得/AOD=56°,再利用圓周角定理可求/ACD

【詳解】解：YNBOZ）=124°,

AZAOD=180°-124°=56°,

1

AZACD=^ZAOD=2S°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是圓周角定理的應用，利用平角定義求得NAOD=56°是解決本題的關鍵.

7.（2023?浙江溫州）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,BC//AD,AC.LBD.若NAOD=120°,AD=?,

則NCAO的度數(shù)與BC的長分別為（）

A

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】

【分析】由平行線的性質，圓周角定理，垂直的定義，推出NAO3=NCOO=90°,ZCAD=ZBDA=

45°,求出N8OC=60°,得到△BOC是等邊三角形，得至1]5。=。3,由等腰三角形的性質求出圓的半

徑長，求出NO4O的度數(shù)，即可得到5c的長，NCAO的度數(shù).

【詳解】解：???BC〃AD,

：.ZDBC=ZADB,

：.AB=CD,

:?/AOB=/COD,NCAD=NBDA,

VZ)B±AC,

AZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°,

AZAOB=2ZADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

VZAOD=120°,

：.ZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

?：OB=OC,

???△03C是等邊三角形，

:?BC=OB,

9：OA=OD,ZAOD=120°,

：.ZOAD=ZODA=30°,

：.AD=V3OA=V3,

???OA=1,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAZ)=45°-30°=15°.

故選：C.

【點睛】本題考查圓周角定理，平行線的性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，關鍵是

由圓周角定理推出NAO8=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=45°,證明△05。是等邊三角形.

8.（2023?山西）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于AC,80為對角線，5。經(jīng)過圓心O.若NB4C=40°,

則ND5C的度數(shù)為（）

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】由圓周角定理可得NBCD=90°,ZBDC=ZBAC=40°,再利用直角三角形的性質可求解.

【詳解】解：經(jīng)過圓心。，

：.ZBCD=90°,

VZBDC=ZBAC=40°,

：.ZDBC=90°-ZBDC=50°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查圓周角定理，直角三角形的性質，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

9.（2023?湖北宜昌）如圖，。4,OB,0c都是的半徑，AC,OB交于點。.若A￡>=C￡）=8,OD=6,

則BD的長為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理得08,AC,在根據(jù)勾股定理得OA=7AD2+0D2=+6?=10,即可求出答

案.

【詳解】解：

OBLAC,

在RtAAOD中，OA=VXD2+OD2=V82+62=10,

：.OB=10,

：.BD^10-6=4.

故選：B.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，由垂徑定理得OBLAC是解題的關鍵.

10.（2023?山東棗莊）如圖，在。0中，弦AB,C3相交于點P.若NA=48°,ZAPZ）=80°,則N8的

度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)外角/APQ,求出/C,由同弧所對圓周角相等即可求出NB.

【詳解】解：VZA=48°,ZAPD=SQ°,

AZC=80°-48°=32°,

"：AD=AD,

：.ZB=ZC=32°.

故選：A.

【點睛】本題考查了圓周角的性質的應用，三角形外角的性質應用是解題關鍵.

11.（2023?浙江杭州）如圖，在OO中，半徑。4,08互相垂直，點C在劣弧AB上.若/A8C=19°,則

ZBAC=（）

A.23°B.24°C.25°D.26°

【答案】D

【分析】連接OC,根據(jù)圓周角定理可求解NAOC的度數(shù)，結合垂直的定義可求解NBOC的度數(shù)，再利

用圓周角定理可求解.

【詳解】解：連接OC,

VZABC=19°，

：.ZAOC=2ZABC=3S°,

?.,半徑OA,OB互相垂直，

；.NAOB=90°,

AZBOC=90°-38°=52°,

1

ZBAC=^ZBOC=26°,

故選：D.

【點睛】本題主要考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

12.（2023?湖北黃岡）如圖，在中，直徑A8與弦C。相交于點P,連接AC,AD,BD,若NC=20°,

ZBPC=70°，貝!J/AOC=()

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根據(jù)外角性質得NA4c=NBPC-NC=50°=ZBDC,,再由AB是OO的直徑得NAr>2=90°

即可求得NAOC.

【詳解】解：???/C=20°,ZBPC=70°,

：.ZBAC=ZBPC-ZC=50°=ZBDC,

??,AB是。。的直徑，

AZADB^90°,

ZADC=ZADB-ZBDC=4Q°,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質以及直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握各知識點是解決本

題的關鍵.

13.（2022?山東泰安）如圖，48是。。的直徑，ZACD^ZCAB,AO=2,AC=4,則。。的半徑為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理及推論解答即可.

【詳解】解：方法一：

連接C。并延長C。交O。于點E，連接4E,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

ZACD=ZCAB,

：.ZACD=ZACO,

：.AE=AD=2,

是直徑，

：.ZEAC^90°,

在Rt/XEAC中，AE=2,AC=4,

：.EC=V22+42=2V5,

的半徑為有.

方法二：連接2C,

「AB是直徑，

ZACB=90°,

ZACD^ZCAB,

：.AD=BC,

：.AD=BC=2,

在RtZ\ABC中，AB=yjAC2+BC2=2A/5,

...圓o的半徑為VI

故選：D.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理及推論，熟練掌握這些性質定理是解決本題的關鍵.

14.（2022?浙江溫州）如圖，AB,AC是。。的兩條弦，OO_LAB于點。，OE_LAC于點E,連結08,OC.若

ZDO￡=130°,則/80C的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【答案】B

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。計算可得NB4C=50°,再根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2/BAC,

進而可以得到答案.

【詳解】解：'：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=9Q°,ZA￡O=90°,

：/。?！?130°,

：.ZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半.

15.（2022?廣西貴港）如圖，。。是△A8C的外接圓，AC是的直徑，點尸在上，若NACB=40°,

則N8PC的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NABC=90°,進而求出/CAB,根據(jù)圓周角定理解答即可.

【詳解】解：是OO的直徑，

A90",

ZACB+ZCAB=90°,

VZACB=40°,

：.ZCAB=90°-40°=50°,

由圓周角定理得：ZBPC=ZCAB=50°,

故選：C.

【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵.

16.（2022?湖南株洲I）如圖所示，等邊△ABC的頂點A在。。上，邊A8、AC與。0分別交于點。、E,點

尸是劣弧屏上一點，且與。、E不重合，連接。尸、EF,則的度數(shù)為（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補及等邊△ABC的每一個內(nèi)角是60°,求出NE"）=120。.

【詳解】解：四邊形EFD4是。。內(nèi)接四邊形，

AZ￡FD+ZA=180°,

?..等邊AABC的頂點A在。。上，

/.ZA=60°,

：.ZEFD^120°,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質、等邊三角形的性質，掌握兩個性質定理的應用是解題關鍵.

17.（2022?湖北荊門）如圖，CD是圓。的弦，直徑A8J_C。，垂足為E,若A8=12,BE=3,則四邊形

ACBD的面積為（)

0E

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

【答案】A

【分析】根據(jù)AB=12,BE=3,求出?！?3,0C=6,并利用勾股定理求出EC,根據(jù)垂徑定理求出CD,

即可求出四邊形的面積.

【詳解】解：如圖，連接0C,

VAB=12,BE=3,

/.OB=OC=6,0E=3,

VAB±C￡>,

在RtACOE中,EC=-JOC2-OE2=736—9=3日，

：.CD=2CE=6y/3,

11

四邊形ACBD的面積=專AB?CD=/12x=36^3.

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理，解題的關鍵是熟練運用定理.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,

并且平分弦所對的兩條弧.

18.（2023?湖南長沙）如圖，點A,B,C在半徑為2的。。上，NACB=60°,OD±AB,垂足為E,交。。

于點D,連接OA,則OE的長度為

c

」）

【答案】1

【分析】連接08,利用圓周角定理及垂徑定理易得乙4。。=60°,則/OAE=30°,結合已知條件，利

用直角三角形中30°角對的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案.

【詳解】解：如圖，連接02,

VZACB=60°,

AZAOB=2ZACB=120°，

'：0DLAB,

：.AD=BD,ZOEA=90°,

1

???ZAOD=ZBOD=RAOB=60°,

：.ZOAE=90°-60°=30°,

11

JOE=^OA=^x2=l,

故答案為：1.

【點睛】本題考查圓與直角三角形性質的綜合應用，結合已知條件求得NAOD=60°是解題的關鍵.

19.（2023?廣東深圳）如圖，在。。中，A3為直徑，C為圓上一點，NA4C的角平分線與。0交于點

若NA0C=2O°,則N3A0=°.

B

C

A

【答案】35

【分析】先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/ACB=90°,再利用圓周角定理可得NAOC=NABC=

20°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得NBAC=70。，從而利用角平分線的定義進行計算，即

可解答.

【詳解】解：?:AB為O。的直徑，

A90°,

VZADC=20°,

：.ZADC=ZABC=20°,

：.ZBAC=90°-ZABC=70°,

平分/BAC,

1

：.ZBAD=^ZBAC=35°,

故答案為：35.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

20.(2023?山東東營)“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁

中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”轉化為現(xiàn)在的數(shù)學語言表達就是：如

圖，CD為。。的直徑，弦垂足為E,CE=1寸，48=10寸，則直徑CD的長度為寸.

【答案】26

【分析】連接04設。。的半徑是廠寸，由垂徑定理得到4E=%8=5寸，由勾股定理得到/=(r-1)

2+52,求出廠，即可得到圓的直徑長.

【詳解】解：連接。4

設。。的半徑是r寸，

;直徑C￡)_LAB,

.*.AE=1AB=1X10=5\h，

；CE=1寸，

0E=(r-1)寸，

,.,(?A2=OE2+AE2,

J=(r-1)2+52,

r=13,

直徑CD的長度為2r=26寸.

故答案為：26.

【點睛】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理的應用，關鍵是連接0A構造直角三角形，應用垂徑定理,

勾股定理列出關于圓半徑的方程.

21.（2023?浙江紹興）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于圓。，若/。=100°,則的度數(shù)是.

【答案】80°

【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，即可得到答案.

【詳解】解：：四邊形A8C。內(nèi)接于圓。，

.".ZB+ZD=180°,

VZD=100°,

?,.ZB=80°.

故答案為：80°.

【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質.

22.（2023?四川南充）如圖，A8是OO的直徑，點。，M分別是弦AC,弧AC的中點，AC=12,BC=5,

【分析】根據(jù)垂徑定理得OMLAC,根據(jù)圓周角定理得/C=90。，根據(jù)勾股定理得AB=V122+52=13,

1

根據(jù)三角形中位線定理得。。=扣C=2.5,OD//BC,所以。O_LAC,MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

【詳解】解：：點M是弧AC的中點，

OMLAC,

是。。的直徑，

；.NC=90°,

\'AC=12,BC=5,

：.AB=V122+52=13,

.,.OM=6.5,

:點。是弦AC的中點，

1

：.OD=^BC=2.5fOD//BC,

：.ODLAC,

：?0、D、M三點共線，

：.MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握和運用這些定理

是解題的關鍵.

23.（2022?遼寧錦州）如圖，四邊形A5CZ）內(nèi)接于。0,為。。的直徑，ZADC=130°,連接AC,則

ZBAC的度數(shù)為.

D

【答案】40°

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質和/AOC的度數(shù)求得NB的度數(shù)，利用直徑所對的圓周角是直角得到

NACB=90°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余計算即可.

【詳解】解：：四邊形4BCD內(nèi)接于OO,ZA￡）C=130°,

.*.ZB=180°-/AOC=180°-130°=50°,

為O。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZCAB=900-ZB=90°-50°=40°,

故答案為：40°.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質及圓周角定理的知識，解題的關鍵是了解圓內(nèi)接四邊形的對角

互補.

24.（2022?四川阿壩州）如圖，點A,B,C在。。上，若NACB=30°,則NAOB的大小為.

B

【答案】60°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可得出答案.

1

【詳解】解：?/ZACB=^ZAOB,30°,

AZAOB=2ZACB=2X30°=60°.

故答案為：60°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

25.（2022?浙江湖州）如圖，已知AB是。。的弦，乙408=120°,OCLAB,垂足為C,OC的延長線交

。。于點Q.若NAPO是麗所對的圓周角，則的度數(shù)是

p

D

【答案】30°

【分析】由垂徑定理得出通=玩）,由圓心角、弧、弦的關系定理得出進而得出/A。。

=60°,由圓周角定理得出NAPD=*NAO￡>=30°,得出答案.

【詳解】解：

:.AD=BD,

：.ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

NAO￡）=ZBOD=RAOB=60°,

1I

AZAPD=^ZAOD=x60°=30°,

故答案為：30°.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，

圓心角、弧、弦的關系定理是解決問題的關鍵.

26.（2022?四川自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高

C。為2厘米，則鏡面半徑為一厘米.

D

【答案】26

【分析】根據(jù)題意，弦43長20厘米，弓形高C。為2厘米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求得圓的半

徑.

【詳解】解：如圖，點。是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC,則點C,點。，點。三點共線,

D

由題意可得：OCLLAB,AC=^AB=10（厘米），

設鏡面半徑為無厘米，

由題意可得：x2=102+（尤-2）2,

.".尤=26,

???鏡面半徑為26厘米，

故答案為：26.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距

和弦長的一半為三邊的直角三角形，由勾股定理可求解.

27.（2022?江蘇蘇州）如圖，A2是O。的直徑，弦交A3于點E,連接AC,AD.若NBAC=28°,則

ZD=°.

【答案】62

【分析】如圖，連接BC,證明/ACB=90°,求出NABC,可得結論.

【詳解】解：如圖，連接8C.

TAB是直徑，

ZACB=90°,

：.ZABC^90°-/CAB=62°,

：.ZD=ZABC=62°,

故答案為：62.

【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考常考題型.

28.（2022?黑龍江牡丹江）的直徑CD=10,AB是O。的弦，ABLCD,垂足為M,OM：OC=3：5,

則AC的長為—.

【答案】4有或2通

【分析】連接。4,由AB_LC。，設。C=5x,OM=3x,根據(jù)C0=10可得0c=5,。知=3,根據(jù)垂徑定

理得到AM=4,然后分類討論：當如圖1時，CM=8；當如圖2時，CM=2,再利用勾股定理分別計算

即可.

【詳解】解：連接。4,

OM：0c=3：5,

設OC=5尤，OM=3x,

則OD=OC=5x,

"：CD=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

"：AB±CD,

：.AM=BM=

在RtZkOAM中，OA=5,

AM=y/OA2—OM2=V52-32=4,

當如圖1時，CM=OC+OM=5+3=8,

在RtAACM中,AC=y/AM2+CM2=V42+82=4>/5；

當如圖2時，CM=OC-OM=5-3=2,

在RtAACM中,AC=VXM2+MC2=V42+22=2A/5.

綜上所述，AC的長為44或2時.

故答案為：4岔或2遍.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

三.解答題

29.(2023?北京)如圖，圓內(nèi)接四邊形4BCD的對角線AC,BD交于點E,BD平分NABC,NBAC=NADB.

(1)求證。8平分NAOC,并求/8AQ的大??；

(2)過點C作C尸〃交AB的延長線于點尸，若AC=A。，BF=2,求此圓半徑的長.

【答案】(1)90°(2)圓的半徑長是4

【分析】(1)由圓周角定理得到NBAC=/COB,1^ZBAC=ZADB,因此NCD8,得到平

分NADC,由圓內(nèi)接四邊形的性質得到NABO+NAO3=90°,即可求出/54。=90°；

(2)由垂徑定理推出△ACD是等邊三角形，得到NAOC=60°由BO_LAC,得到*NAQC=30°,

由平行線的性質求出NF=90°,由圓內(nèi)接四邊形的性質求出NFBC=N4)C=60°,得到8c=28尸=4,

由直角三角形的性質得到2C=夕?,因為BD是圓的直徑，即可得到圓半徑的長是4.

9

【詳解】(1)證明：：ZBAC=ZADBfNBAC=/CDB,

：./ADB=/CDB,

???3。平分NA。。，

平分NA8C,

???/ABD=NCBD,

??,四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZABC+ZADC=180°,

???ZABD+ZCBD+NAQB+ZCDB=180°,

：.2(/ABD+NADB)=180°,

AZABD+ZADB=90°,

：.ZBAD=180°-90°=90°；

(2)解：VZBAE+ZZ)AE=90°,ZBAE=ZADE,

：.ZADE+ZDAE=90°,

AZAED=90°,

VZBAZ)=90°,

???5。是圓的直徑，

???3。垂直平分AC,

：.AD=CD,

*：AC=ADf

**.AACZ)是等邊三角形，

???ZAZ)C=60°

9：BDLAC,

1

：.ZBDC=^ZADC=30°,

*：CF//AD,

：.ZF+ZBAD=90°,

：.ZF=90°,

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZAZ)C+ZABC=180°,

VZFBC+ZABC=180°,

：.ZFBC=ZADC=6Q°,

：.BC=2BF=4,

VZBCD=90°,NBDC=30°,

1

：.BC=^BD,

；8。是圓的直徑，

???圓的半徑長是4.

【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質，圓周角定理，平行線的性質，等邊三角形的判定和性質，關鍵

是由圓內(nèi)接四邊形的性質得到,由垂徑定理推出△AC。是等邊三角形.

30.（2023?湖北武漢）如圖，OA,OB,OC都是的半徑，ZACB=2ZBAC.

（1）求證：/AOB=2NBOC；

（2）若A8=4,BC=V5,求。。的半徑.

【答案】（1）證明見詳解（2）1

11

【分析】（1）利用圓周角定理可得41cB=2乙4。8,4BAC=E（BOC,結合乙4。2=2/24。可證明結

論；

（2）過點O作半徑OCAB于點E,可得AE=BE,根據(jù)圓周角、弦、弧的關系可證得BO=BC,結可

求得BE=2,DB=V5,利用勾股定理可求解DE=1,再利用勾股定理可求解圓的半徑.

11

【詳解】（1）證明：'：/-ACB=^/.AOB,乙BAC二2乙BOC,ZACB=2ZBACf

：.ZAOB=2ZBOC；

（2）解：過點O作半徑OOLAB于點E,

:.AE=BE,

1

??,ZAOB=2ZBOC,ZDOB=^ZAOB,

：.ZDOB=ZBOC.

:?BD=BC.

VAB=4,BC=V5,

：.BE=2,DB=V5,

在RtABD￡中，/DEB=90°,

：.DE=7BD2-BE?=1,

在RtZkBOE中，ZOEB=90°,

O$=COB-1)2+22,

解得。B=I，

即。。的半徑是j.

D

【點睛】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關系，掌握圓周角定理是

解題的關鍵.

31.（2022?湖北宜昌）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖1）,隋代建造的趙州橋距今約有1400

年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓

弧形，表示為防.橋的跨度（弧所對的弦長）42=26楊，設苑所在圓的圓心為O,半徑OCLAB,垂足

為。.拱高（弧的中點到弦的距離）CD=5m.連接。艮

（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關系；

（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理便可得出結論;

（2）設主橋拱半徑為凡在Rt^OBO中，根據(jù)勾股定理列出R的方程便可求得結果.

【詳解】解：（1）'JOCLAB,

：.AD=BD；

（2）設主橋拱半徑為凡由題意可知AB=26,CD=5,

工BD=1AB=13,

OD=OC-CD=R-5,

'：ZODB=90°,

：.OD1+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=7?2,

解得R=19.4-19,

答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m.

【點睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理.此題難度不大，解題的關鍵是方程思想的應用.

32.（2022?廣東）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，AC為的直徑，NADB=NCDB.

（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；