熱點(diǎn)(五)圓錐曲線的綜合問題

熱點(diǎn)專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題考點(diǎn)考情分析圓錐曲線中的定點(diǎn)問題以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過巧妙設(shè)計(jì)和整合命制考題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識(shí)交匯考查圓錐曲線中的定值問題該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題,是高考熱點(diǎn):(1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,考查斜率、向量的運(yùn)算以及運(yùn)算能力(2)解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式為定值考點(diǎn)考情分析圓錐曲線中的最值與取值范圍問題常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問題,是高考熱點(diǎn):(1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對(duì)值不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立,求參數(shù)取值范圍(2)求函數(shù)的值域,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解,有時(shí)也利用數(shù)形結(jié)合思想求解(3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式考點(diǎn)1圓錐曲線中的定點(diǎn)問題【典例1】(2014·濟(jì)南模擬)已知橢圓C：過點(diǎn)且離心率(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，橢圓的右頂點(diǎn)為D，且滿足試判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【解題視點(diǎn)】(1)由離心率能得出a與c的關(guān)系；由橢圓過點(diǎn)能得出a2與b2的關(guān)系，再由a2=b2+c2即可求出a2，b2的值.(2)可由求出m與k的關(guān)系，進(jìn)而得出直線能否過定點(diǎn).【規(guī)范解答】(1)由題意橢圓的離心率所以所以a=2c，所以b2=a2-c2=3c2，所以橢圓方程為又點(diǎn)在橢圓上，所以所以c2=1，所以橢圓的方程為(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0，3+4k2-m2>0，y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=因?yàn)樗詋AD·kBD=-1，又橢圓的右頂點(diǎn)D(2，0)，所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0，7m2+16mk+4k2=0，解得m1=-2k,m2=且滿足3+4k2-m2>0.當(dāng)m=-2k時(shí)，l:y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2，0)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，l:直線過定點(diǎn)綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).【變式訓(xùn)練】如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p＞0)上.(1)求拋物線E的方程.(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).【解析】方法一：(1)依題意，|OB|=∠BOy=30°,設(shè)B(x,y)，則x=|OB|sin30°=y=|OB|cos30°=12.因?yàn)辄c(diǎn)在x2=2py上，所以解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.(2)由(1)知設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,且l的方程為即由得所以設(shè)M(0,y1),令對(duì)滿足的x0,y0恒成立，由=(x0,y0-y1),得即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式對(duì)滿足的y0恒成立，所以解得y1=1.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0，1).方法二：(1)同方法一.(2)由(1)知設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,且l的方程為由得所以取x0=2，此時(shí)P(2,1),Q(0,-1),以PQ為直徑的圓為(x-1)2+y2=2,交y軸于點(diǎn)M1(0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此時(shí)以PQ為直徑的圓為交y軸于M3(0,1)或故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M(0，1).以下證明點(diǎn)M(0，1)就是所要求的點(diǎn).因?yàn)楣室訮Q為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0，1).【加固訓(xùn)練】過拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A，B分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)P(x0,y0)，(1)求y0.(2)求證：直線AB恒過定點(diǎn).(3)設(shè)(2)中直線AB恒過定點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)λ，使恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】(1)設(shè)由x2=4y，得:所以因?yàn)樗訮A⊥PB，所以x1x2=-4.直線PA的方程是：即①同理，直線PB的方程是:②由①②得：(2)由(1)可得直線AB的方程為令x=0，可得因?yàn)樗詙=1.所以直線AB恒過點(diǎn)(0，1).(3)由(1)得：所以因?yàn)樗运运怨蚀嬖讦?1使得考點(diǎn)2圓錐曲線中的定值問題【典例2】(2013·江西高考)橢圓C:(a>b>0)的離心率a+b=3.(1)求橢圓C的方程.(2)如圖，A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N,直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明:2m-k為定值.【解題視點(diǎn)】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系及兩個(gè)已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程，分別聯(lián)立橢圓方程及AD的方程表示出點(diǎn)P,M的坐標(biāo)，再利用DP與x軸表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，最終把m表示成k的形式，就可求出定值；另外也可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，把k與m都用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)樗杂钟蒩2=b2+c2得代入a+b=3，得a=2,b=1.故橢圓C的方程為(2)方法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y=k(x-2)（k≠0,k≠）①，將①代入解得直線AD的方程為：②.聯(lián)立①②解得由D(0,1),N(x,0)三點(diǎn)共線可知即所以點(diǎn)所以MN的斜率為則

(定值).方法二：設(shè)P(x0,y0)(x0≠0,±2)，則直線AD的方程為直線BP的方程為直線DP的方程為令y=0，由于y0≠1，可得解可得所以MN的斜率為故【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法(1)特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值.(2)兩大解法：①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).②引進(jìn)變量法：其解題流程為【變式訓(xùn)練】已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.(1)證明：為定值.(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值．【解析】(1)由已知條件，得F(0,1)，λ＞0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由即得(－x1,1－y1)＝λ(x2，y2－1)．所以將①式兩邊平方并把代入得y1＝λ2y2，③解②③式得y1＝λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4.拋物線方程為求導(dǎo)得所以過拋物線上A，B兩點(diǎn)的切線方程分別是即解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為所以，＝所以為定值，其值為0.(2)由(1)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而因?yàn)閨AF|，|BF|分別等于A，B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝于是由知S≥4，且當(dāng)λ＝1時(shí)，S取得最小值4.【加固訓(xùn)練】(2014·宜賓模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).(1)若橢圓C上的點(diǎn)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和離心率.(2)若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上除M，N外的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM,kPN時(shí)，求證：kPM·kPN為定值.【解析】(1)根據(jù)已知條件：2a=4，即a=2，所以橢圓方程為又為橢圓C上一點(diǎn)，則解得b2=3,所以橢圓C的方程為所以所以橢圓C的離心率(2)因?yàn)镸，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)M(x0,y0)，則N(-x0,-y0)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則即所以考點(diǎn)3圓錐曲線中的最值與取值范圍問題【典例3】(1)(2014·武漢模擬)已知拋物線C的方程為y2=-8x，設(shè)過點(diǎn)N(2，0)的直線l的斜率為k，且與拋物線C相交于點(diǎn)S，T，若S，T兩點(diǎn)只在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為________.(2)(2013·浙江高考)已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)F(0,1).①求拋物線C的方程.②過F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn).若直線AO，BO分別交直線l：y=x-2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值.【解題視點(diǎn)】(1)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由直線與拋物線相交，利用判別式，可求k的范圍，然后再求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求范圍.(2)①知道拋物線的焦點(diǎn)易求拋物線的方程；②可以先設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(設(shè)而不求)，設(shè)出直線的方程，由已知條件把|MN|表示出來，進(jìn)行求解.【規(guī)范解答】(1)設(shè)S(x1,y1)，T(x2,y2)，由題意得ST的方程為y=k(x-2)(顯然k≠0)，與y2=-8x聯(lián)立消元得ky2+8y+16k=0，則有y1+y2=y1y2=16.因?yàn)橹本€l交拋物線C于兩點(diǎn)，所以Δ=64-64k2>0，再由y1>0,y2>0，則故-1<k<0，可求得線段ST的中點(diǎn)的坐標(biāo)為所以線段ST的垂直平分線方程為令y=0，得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為所以Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(-∞，-6).答案：(-∞，-6)(2)①由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p＞0)，則所以拋物線C的方程為x2=4y.②設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為：y=kx+1，由消去y，整理得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k,x1x2=-4，從而|x1-x2|=由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)所以=令4k-3=t,t≠0，則當(dāng)t＞0時(shí)，|MN|=當(dāng)t＜0時(shí)，|MN|=綜上所述，當(dāng)即時(shí)，|MN|的最小值是【規(guī)律方法】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.(2)兩種常見解法：①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.提醒：求最值問題時(shí)，一定要注意對(duì)特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況，二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等.【變式訓(xùn)練】已知過點(diǎn)A(-4，0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x2=2py(p>0)相交于B，C兩點(diǎn).當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，(1)求拋物線G的方程.(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.【解析】(1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，l的方程為即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0，所以又因?yàn)樗詙2=4y1，③由①②③及p>0得：y1=1,y2=4，p=2，得拋物線G的方程為x2=4y.(2)設(shè)l：y=k(x+4),BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0，④所以y0=k(x0+4)=2k2+4k,所以線段BC的中垂線方程為所以線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2(k+1)2，對(duì)于方程④，由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.從而實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2，+∞).【加固訓(xùn)練】1.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，在平面上求一點(diǎn)P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求最小值．【解析】以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．則設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2＋|