高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測64基本不等式

[課時(shí)跟蹤檢測][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由a>b>0得，a2＋b2>2ab；但由a2＋b2>2ab不能得到a>b>0，故“a>b>0”是“ab<eq\f(a2＋b2,2)”的充分不必要條件，故選A.答案：A2．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值為()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：∵x>0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時(shí)取等號．答案：B3．(2017屆合肥調(diào)研)若a，b都是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值為()A．7 B．8C．9 D．10解析：因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)取等號，選項(xiàng)C正確．答案：C4．下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)解析：lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx?x2＋eq\f(1,4)>x(x>0)?4x2－4x＋1>0(x>0)．當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，4×eq\f(1,22)－4×eq\f(1,2)＋1＝0，∴A錯(cuò)；當(dāng)sinx＝－1時(shí)，sinx＋eq\f(1,sinx)＝－2<2，∴B錯(cuò)；x2＋1≥2|x|?(|x|－1)2≥0，∴C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，eq\f(1,x2＋1)＝1，∴D錯(cuò)．答案：C5．已知a>0，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，則m＋n的最小值是()A．3 B．4C．5 D．6解析：由題意知ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號．答案：B6．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4D．－4<m<2解析：∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即4y2＝x2，x＝2y時(shí)取等號，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此時(shí)x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案：D7．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件解析：每批生產(chǎn)x件，則平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是eq\f(800,x)元，每件產(chǎn)品的倉儲(chǔ)費(fèi)用是eq\f(x,8)元，則eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80時(shí)“＝”成立，∴每批生產(chǎn)產(chǎn)品80件．答案：B8．(2018屆遼寧師大附中模擬)函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()A．2 B．4C．8 D．16解析：∵當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝loga1－1＝－1，∴函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(－2，－1)，即A(－2，－1)．∵點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋∵m>0，n>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(4m＋2n,n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)＋2≥4＋2·eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)時(shí)取等號．故選C.答案：C9．(2017屆山東泰安模擬)若直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>b，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是________．解析：由題意，知直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b.由直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)得eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b).因?yàn)閑q\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝2eq\r(2)當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)時(shí)取等號，所以a＋b≥3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)10．(2017屆江西八校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(x，y)到A(0,4)和到B(－2,0)的距離相等，則2x＋4y的最小值為________．解析：由題意得，x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，整理得x＋2y＝3，∴2x＋4y≥2eq\r(2x·4y)＝2eq\r(2x＋2y)＝4eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝eq\f(3,2)時(shí)等號成立，故2x＋4y的最小值為4eq\r(2).答案：4eq\r(2)11．(1)當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)設(shè)0<x<2，求函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值．解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2).當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，有3－2x>0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)時(shí)取等號．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函數(shù)的最大值為－eq\f(5,2).(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值為eq\r(2).12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，則1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號成立．所以xy的最小值為64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，則x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18，當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號成立，∴x＋y的最小值為18.[能力提升]1．正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)解析：因?yàn)閍>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(9)＝16，由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值為－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案：D2．(2018屆山東濱州模擬)已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,3x－y≥1，,y≥x＋1，))若z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值為2，則ab的最大值為()A．1 B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)解析：作出不等式組滿足的可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)，故當(dāng)x，y均取最小值時(shí)，z取到最小值．即當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)，z＝ax＋by取得最小值2，即2a＋3b＝2，所以2a·3b≤eq\f(2a＋3b2,4)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b＝1，即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)時(shí)等號成立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max＝eq\f(1,6).答案：D3．(2017屆山東日照模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy>0，則eq\f(x,x＋y)＋eq\f(2y,x＋2y)的最大值為()A．2－eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2) D．4－2eq\r(2)解析：eq\f(x,x＋y)＋eq\f(2y,x＋2y)＝eq\f(x,x＋y)＋eq\f(x＋2y－x,x＋2y)＝1＋eq\f(x,x＋y)－eq\f(x,x＋2y)＝1＋eq\f(xy,x＋yx＋2y)＝1＋eq\f(xy,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq\f(1,3＋\f(x,y)＋\f(2y,x))，因?yàn)閤y>0，所以eq\f(x,y)>0，eq\f(y,x)>0.由基本不等式可知eq\f(x,y)＋eq\f(2y,x)≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)y時(shí)等號成立，所以1＋eq\f(1,3＋\f(x,y)＋\f(2y,x))≤1＋eq\f(1,3＋2\r(2))＝4－2eq\r(2).答案：D4．(2017屆陜西寶雞一模)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a2016＝a2015＋2a2014，若aman＝16aeq\o\al(2,1)，則eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值等于()A．1 B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,3) D．eq\f(13,6)解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由a2016＝a2015＋2a2014，得q2＝q解得q＝2或q＝－1(舍去)．又因?yàn)閍man＝16aeq\o\al(2,1)，即aeq\o\al(2,1)·2m＋n－2＝16