2023-2024學年超級全能生數學高一下期末考試模擬試題含解析

2023-2024學年超級全能生數學高一下期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．函數的圖像（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱3．已知點，,直線的方程為，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．4．在中，設角的對邊分別為．若，則是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．若實數，滿足不等式組則的最大值為（）A． B．2 C．5 D．76．在中，分別是角的對邊，,則角為()A． B． C． D．或7．德國數學家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半(即)；如果是奇數，則將它乘3加1(即)，不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現在請你研究：如果對正整數(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1（注：1可以多次出現)，則的所有不同值的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．328．以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．已知空間中兩點和的距離為6，則實數的值為（）A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或910．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數列，，，依次成等比數列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關系，隨機統計了某天的用電量與當天氣溫.氣溫（℃）141286用電量（度）22263438由表中數據得回歸直線方程中，據此預測當氣溫為5℃時，用電量的度數約為____.12．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最大值為，則實數__________．13．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為________．14．點從點出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為__________.15．化簡：______.（要求將結果寫成最簡形式）16．如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在直角中，，延長至點D，使得，連接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.18．如圖，在平面直角坐標系xoy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點.（1）若點A的縱坐標是點B的縱坐標是，求的值；（2）若，求的值.19．已知圓：.（1）過的直線與圓：交于，兩點，若，求直線的方程；（2）過的直線與圓：交于，兩點，直接寫出面積取值范圍；（3）已知，，圓上是否存在點，使得，請說明理由.20．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分別是CD和PC的中點.求證：（1）平面BEF；（2）平面平面PCD．21．化簡求值：（1）化簡：（2）求值，已知，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

當平面ACD垂直于平面BCD時體積最大，得到答案.【詳解】取中點，連接當平面ACD垂直于平面BCD時等號成立.此時二面角為90°故答案選D【點睛】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關鍵.2、B【解析】

根據關于點對稱,關于直線對稱來解題.【詳解】解：令,得,所以對稱點為.當,為,故B正確；令,則對稱軸為,因此直線和均不是函數的對稱軸.故選：B【點睛】本題主要考查正弦函數的對稱性問題.正弦函數根據關于點對稱,關于直線對稱.3、A【解析】

直線過定點，利用直線的斜率公式分別計算出直線，和的斜率，根據斜率的單調性即可求斜率的取值范圍．【詳解】解：直線整理為即可知道直線過定點，作出直線和點對應的圖象如圖：，，，，，要使直線與線段相交，則直線的斜率滿足或，或即直線的斜率的取值范圍是，故選．【點睛】本題考查直線斜率的求法，利用數形結合確定直線斜率的取值范圍，屬于基礎題．4、D【解析】

根據正弦定理，將等式中的邊a,b消去，化為關于角A,B的等式，整理化簡可得角A,B的關系，進而確定三角形．【詳解】由題得，整理得，因此有，可得或，當時，為等腰三角形；當時，有，為直角三角形，故選D．【點睛】這一類題目給出的等式中既含有角又含有邊的關系，通常利用正弦定理將其都化為關于角或者都化為關于邊的等式，再根據題目要求求解．5、C【解析】

利用線性規(guī)劃數形結合分析解答.【詳解】由約束條件，作出可行域如圖：由得A(3,-2).由，化為，由圖可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最小，有最大值為5.故選C.【點睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃求最值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.6、D【解析】

由正弦定理，可得，即可求解的大小，得到答案．【詳解】在中，因為，由正弦定理，可得，又由，且，所以或，故選D．【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，其中解答中熟練利用正弦定理，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

由題意：任給一個正整數，如果是偶數，就將它減半(即)；如果是奇數，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項為1出發(fā)，逐項求出各項的取值，可得的所有不同值的個數.【詳解】解：由題意：如果對正整數(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1，則變換中的第5項一定是2，變換中的第4項一定是4，變換中的第3項可能是1，也可能是8，變換中的第2項可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【點睛】本題主要考查數列的應用及簡單的邏輯推理，屬于中檔題.8、D【解析】

四個交點中的任何一個到焦點的距離和都是，然后分析正六邊形中的長度和焦距的關系，從而建立等式求解.【詳解】設橢圓的焦點是，圓與橢圓的四個交點是,設，，，，.故選D.【點睛】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質，屬于基礎題型9、C【解析】

利用空間兩點間距離公式求出值即可?！驹斀狻坑蓛牲c之間距離公式，得：，化為：，解得：或9，選C?！军c睛】空間兩點間距離公式：。代入數據即可，屬于基礎題目。10、A【解析】

根據a，b，c依次成等差數列，，，依次成等比數列，利用等差、等比中項的性質可知，根據基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結果．【詳解】由a，b，c依次成等差數列，有2b=a+c(1)由，，成等比數列,有(2)，由(1)(2)得，又根據，當a=c時等號成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【點睛】本題考查三角形的形狀判斷，結合等差、等比數列性質及基本不等式關系可得三邊關系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由表格得，即樣本中心點的坐標為，又因為樣本中心點在回歸方程上且，解得：，當時，，故答案為1．考點：回歸方程【名師點睛】本題考查線性回歸方程，屬容易題.兩個變量之間的關系，除了函數關系，還存在相關關系，通過建立回歸直線方程，就可以根據其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關系的了解．解題時根據所給的表格做出本組數據的樣本中心點，根據樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數法做出的值，現在方程是一個確定的方程，根據所給的的值，代入線性回歸方程，預報要銷售的件數．12、1或；【解析】

要使最大，則最?。驹斀狻繄A的標準方程為，圓心為，半徑為．∵若的最大值為，∴，解得或．故答案為1或．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，解題思路是平面上對圓的張角問題，顯然在點固定時，圓外的點作圓的兩條切線，這兩條切線間的夾角是最大角，而當點離圓越近時，這個又越大．13、32【解析】

根據面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當且僅當，即3c=a時取等號；∴的最小值為32.故答案為：32.【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，屬于中等題.14、【解析】

由題意可得OQ恰好是角的終邊，利用任意角的三角函數的定義，求得Q點的坐標．【詳解】點P從點出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達Q點，則OQ恰好是角的終邊，故Q點的橫坐標，縱坐標為，故答案為：【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于容易題．15、【解析】

結合誘導公式化簡，再結合兩角差正弦公式分析即可【詳解】故答案為：【點睛】本題考查三角函數的化簡，誘導公式的使用，屬于基礎題16、【解析】

試題分析：由三視圖知，幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個正方形，邊長是2，四棱錐的一條側棱和底面垂直，且這條側棱長是2，這樣在所有的棱中，連接與底面垂直的側棱的頂點與相對的底面的頂點的側棱是最長的長度是，考點：三視圖點評：本題考查由三視圖還原幾何體，所給的是一個典型的四棱錐，注意觀察三視圖，看出四棱錐的一條側棱與底面垂直．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再結合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及兩角和的余弦可得，然后結合三角函數的有界性求解即可.【詳解】解：（1）設，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，所以；（2）設，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因為，所以，即，即，根據三角函數有界性得，及，解得，所以角D的最大值為.【點睛】本題考查了正弦定理，重點考查了三角函數的有界性，屬中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據三角函數的定義，求出對應的正弦和余弦值，用正弦的和角公式即可求解；（2）根據題意，先計算出的值，再求解.【詳解】（1）由三角函數的定義得，，.由角、的終邊分別在第一和第二象限，得：，，所以；（2），則根據，即可得，解得：..故.【點睛】本題考查三角函數的定義，以及由向量的數量積計算模長，屬基礎題.19、（1）或；（2）；（3）存在，理由見解析【解析】

求得圓的圓心和半徑.（1）設出直線的方程，利用弦長、勾股定理和點到直線距離列方程，解方程求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（2）利用三角形的面積公式列式，由此求得面積取值范圍.（3）求得三角形外接圓的方程，根據圓和圓的位置關系，判斷出點存在.【詳解】圓心為，半徑為.（1）直線有斜率，設：，圓心到直線的距離為，∵，則由，得，直線的方程為或（2）依題意可知，三角形的面積為，由于，所以，所以.（3）設三角形的外接圓圓心為（），半徑為，由正弦定理得，，所以，所以圓的圓心為,所以圓的方程為，圓與圓滿足圓心距：，∴圓與圓相交于兩點，圓上存在兩個這樣的點，滿足題意.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查圓和圓的位置關系，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20、（2）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）連接，交于，結合平行四邊形的性質可得，再由線面平行的判定定理，即可得證（2）運用面面垂直的性質定理可得平面，推得，，，再由線面垂直的判定定理和嗎垂直的判定定理，即可得證．【詳解】證明：（1）連接，交于，可得四邊形為平行四邊形，且為的中點，可得為的中位線，可得，平面，面，可得面；（2）平面底面，，可得平面，即有，，可得，由，，可得四邊形為矩形，即有，又，，可得，且所以有平面，