廣西賀州市桂梧高中2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測卷數(shù)學(xué)試卷含解析

廣西賀州市桂梧高中2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2萬

1.已知耳,月是橢圓和雙曲線的公共焦點,產(chǎn)是它們的-一個公共點，且NEP耳=3-,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分

別為6,02,則G,%的關(guān)系為（）

314,1,

一+—e?

A.—T2=4B.—e/=4

e233

13

C.一■^—r=4D.ej+3e，=4

e\g2"

2.已知四棱錐P-ABCD中，平面ABC。，底面ABC。是邊長為2的正方形，PA=5E為PC的中點,

則異面直線BE與。。所成角的余弦值為（）

「而nV15

55

3.設(shè)過定點用（0,2）的直線/與橢圓C：■+V=1交于不同的兩點尸，Q,若原點。在以PQ為直徑的圓的外部,

則直線/的斜率上的取值范圍為（）

4.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4、B、C三個貧

困縣扶貧，要求每個貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到A縣的分法有（）

A.6種B.12種C.24種D.36種

5.羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從3名男生A,4，4和3名女生與，B2,與中

各隨機選出兩名，把選出的4人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則A和5兩人組成一隊參加比賽的概率為

1214

A.-B.-C.一D.—

9939

.(71、

6.已知p:cos%=s1n萬+y,q：x=y則p是g的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的體積為

8.已知集合4=｛小='-2f+工+3｝，6=｛*|1082%＞1｝則全集。=區(qū)則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=AB.A＜JB=BC.（^A）B=0D.BqgA

9.已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考

生一次發(fā)球成功的概率為。（0＜夕＜1）,發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望￡（X）＞1.75,則P的取值范圍為（）

10.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若acosB—8COSA=￡,則土g=（）

42c2

3111

A.—B.—C.—D.一

2248

11.“完全數(shù)''是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家

畢達哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）

12.已知向量。4=（—3,4）,Q4+OB=（—L5）,則向量04在向量05上的投影是（）

A2行2非「_2D2

A?----------15?--------V-?LI?

5555

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知AABC的三個內(nèi)角為A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，則sin25+2cos5的最小值

為,最大值為.

14.已知拋物線y2=2px（夕＞0）的焦點和橢圓:+3=1的右焦點重合，直線過拋物線的焦點r與拋物線交于P、

。兩點和橢圓交于A、B兩點,〃為拋物線準(zhǔn)線上一動點，滿足|「耳+|M耳=8,ZMFP=j,當(dāng),加3面積最

大時，直線的方程為.

為有理數(shù)

15.數(shù)學(xué)家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)。（x）=

0,x為無理數(shù)

稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于0（“有以下結(jié)論：

①D（x）的值域為［0』;

②X/xe7?,D（-x）=D（x）；

③XfTwR,D（x+T）=D（x）；

@D（1）+D（A/2）+D（73）++￡＞（0020）=45;

其中正確的結(jié)論是（寫出所有正確的結(jié)論的序號）

16.某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則

抽取學(xué)生的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛a,J滿足4=5,且4=停+聲（心2,九6N）.

（1）求證：數(shù)列｛2"4｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛4｝的前〃項和S“.

18.（12分）某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如

圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

頻案

0040

0.030

0.020

成績

o5060'0SO90I

晉級成功晉級失敗合計

男16

女50

合計

(1)求圖中a的值;

(2)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)?

(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

2

,金上八》,7n(ad-be),,、

(參考公式：右=(0+。+4)(〃+0("8)'其中ua+b+c+d)

』。)0.400.250.150.100.050.025

ko0.7801.3232.0722.7063.8415.024

19.(12分)已知橢圓C與+==1(?！?］〉0)的長軸長為4,離心率e=

ab~2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A,8分別為橢圓與x軸正半軸和y軸正半軸的交點，p是橢圓。上在第一象限的一點，直線Q4與V軸交于

點M,直線QB與x軸交于點N,問APMN與AB鉆面積之差是否為定值？說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e"(x-l)-ge"x2,a<0.

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(。))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(龍)的極小值；

(3)求函數(shù)/(%)的零點個數(shù).

21.(12分)如圖，在平行四邊形中，AD^2AB,ZA=60°,現(xiàn)沿對角線5。將AABD折起，使點A到達

點P,點M,N分別在直線PC,PD上,且A,B,M,N四點共面.

AB

(1)求證：MN±BD；

(2)若平面平面5C。，二面角AB-D平面角大小為30。，求直線PC與平面所成角的正弦值.

22.(10分)已知函數(shù)y=/(x).若在定義域內(nèi)存在％,使得/=(須)成立，則稱/為函數(shù)y=/(x)的局

部對稱點.

(1)若人￡尺且證明：函數(shù)/(九)—ax^+bx-a有局部對稱點；

(2)若函數(shù)8(月=2'+0在定義域［-1』內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；

(3)若函數(shù)Mx)=4“—次22+蘇—3在R上有局部對稱點，求實數(shù)機的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

〕「用+〔尸6=26

設(shè)橢圓的半長軸長為火,雙曲線的半長軸長為的，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:，解得

］尸用一|尸6=2%

=q+%

PR,然后在△大？耳中，由余弦定理得:

PF2=q—%

【詳解】

設(shè)橢圓的長半軸長為生,雙曲線的長半軸長為七，

由橢圓和雙曲線的定義得：:c，

PR-PF?=2a2

\PE二小+見..24

解得所=JJ設(shè)由用=2c,N用第=彳，

在AF]PF?中，由余弦定理得：4c2=（4+4）+（4—4）—2（4+4）,（4-4）,cos—,

3

化簡得3芻2+a；=4c2,

31.

即F+F=4-

e\。2

故選：A

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

2、B

【解析】

/\BE?PD

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點坐標(biāo)后，利用cos（3E,尸聞再|(zhì)即可得解.

【詳解】

平面ABC。，底面ABC。是邊長為2的正方形，

,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：

40,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,石），D（0,2,0）,

1

~2_V13

cosBE,PD^BEPD

=BEPD岳J39

\\-\\----J

2

二異面直線BE與所成角的余弦值為cos（BE,PD）即為巫.

'/39

故選：B.

【點睛】

本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

設(shè)直線/：y=kx+2,P（x，x）,。（/，%），由原點。在以PQ為直徑的圓的外部，可得0P。?！?。，聯(lián)立直線

/與橢圓C方程，結(jié)合韋達定理，即可求得答案.

【詳解】

顯然直線％=0不滿足條件，故可設(shè)直線/：y=kx+2,

—y2=1

P（XQi），。（工2，%），由｛2+，得（1+2左2）f+8區(qū)+6=0,

y=kx+2

△=64左2—24（1+2左2）>0,

.?.解得左〉逅或左<一如，

22

8k6

121+242%21+2左2

7T

0<ZPOQ<^,

OPOQ>0,

**.OP-OQ=^x2+yry2=^x2+{kxi+2）（fcr2+2）

=（1+左2）玉%2+2左（內(nèi)+々）+4=6（1+4）

1+2左21+2左2

??解得一<k<,

二直線/的斜率上的取值范圍為丘$4，，非.

故選：D.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達定

理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

4、B

【解析】

分成甲單獨到A縣和甲與另一人一同到A縣兩種情況進行分類討論，由此求得甲被派遣到A縣的分法數(shù).

【詳解】

如果甲單獨到4縣，則方法數(shù)有C；x用=6種.

如果甲與另一人一同到A縣，則方法數(shù)有C；x$=6種.

故總的方法數(shù)有6+6=12種.

故選:B

【點睛】

本小題主要考查簡答排列組合的計算，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)組合知識，計算出選出的4人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為然后計算A和區(qū)分在一組的數(shù)目為a。;，

最后簡單計算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：

分別從3名男生、3名女生中選2人：C；C；

li

將選中2名女生平均分為兩組：號cc

4

1

將選中2名男生平均分為兩組：三c'c?

4

則選出的4人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為:

「2z~?2z~?lx~?l

C2c2-2J"J/_yy%%=]8

33A2427—A2°

1zlrtJLAQ

A和男分在一組的數(shù)目為C；C；=4

42

所以所求的概率為X

189

故選：B

【點睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成加組，則要除以勺，即〃?!，審清題

意，細(xì)心計算，考驗分析能力，屬中檔題.

6、B

【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡sin^+yj=cosy再分析即可.

【詳解】

JT)JrjTTTT)7E

5+y=cosy,所以g成立可以推出p成立，但p成立得不到q成立，例如cos-=cos——,

[Zy/JJJJ

所以p是0的必要而不充分條件.

故選：B

【點睛】

本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運用,屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為2的等邊三角形，三棱錐的高為G，所以該幾何體的體積

y=lxlx2x2x^xx/3=l,故選C.

322

8、D

【解析】

化簡集合A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合3,按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由一2必+%+3>0,(2x-3)(x+1)<0,

則人=，故加人=(―00，—1)，

由log2X>l知，5=(2,+8),因此A'B=0,

~31

A<JB=-1,-52,+s),(^A)nB=(2,^o),

(2,+co)C(-00,-1)°■，+00j，

故選:D

【點睛】

本題考查集合運算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

根據(jù)題意，分別求出P(X=1),P(X=2),P(X=3),再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進行求解即可

【詳解】

由題可知P(X=l)=p,P(X=2)=(l-p)p,p(x=3)=(l-p)2p+(l-p)3=(l-p)2,則

E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(l-p)p+3(l-p)2>1.75

解得P>|■或P<g，由°w(O,l)可得Pc［。，；［，

答案選A

【點睛】

本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功

10、D

【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.

【詳解】

tz2+c2-b2,b-+c2-a-c

由余弦定理得:a-------------b------------=—

2ac2bc4

「22

整理可得：cr-b2=—2,.?.n巴?-h=1

42c28

故選：D.

【點睛】

本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數(shù)為C；=10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個,

則基本事件總數(shù)為C；=10,

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)=4,

10-43

二6和28不在同一組的概率P=-----=

故選：C.

【點睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

12、A

【解析】

先利用向量坐標(biāo)運算求解08，再利用向量。4在向量08上的投影公式即得解

【詳解】

由于向量。4=(—3,4),04+03=(—1,5)

故03=(2,1)

OAOB-3x2+4xl2非

向量。4在向量08上的投影是II=-----------=一——.

故選：A

【點睛】

本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

12A/33A/3

■LJ、----1--------

22

【解析】

2,2_j2

根據(jù)正弦定理可得26=a+c,利用余弦定理cos3="以及均值不等式,可得角3的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)

lac

f(B)=sin2B+2cosB,利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】

由sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列

所以2sin5=sinA+sinC

所以2b=a+c=>Z?=a+C

一2

22(a+c丫

222a+C

又Da+c-b

laclac

rzp,八3a2+3c2-2ac6ac-2ac1

化n簡可得cosB=----------------->-----------=-

8ac8ac2

當(dāng)且僅當(dāng)。=。時，取等號

又3w(O㈤,所以BE］。,(

☆/(3)=sin23+2cos3,BG

貝！I/(B)=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinfi

/(B)=-2^sinB-|j(sinB+l)

當(dāng)sin3〉j即於牛時，/,(B)<0

當(dāng)sinB<:，即Be］。,7］時，f(^)>0

則/（5）=sin23+2cos8在遞增，在場,gj遞減

所以以x（B）=/f2]=sin?+2cos'=￥

V073o2

由/（0）=sin0+2cos0=2,

（乃）.2717CV3

t—=sin-----i-2cos-=-----Fl

U）332

所以源（8）=[。=*+1

所以sin25+2cos5的最小值為1+1

2

最大值為平

故答案為：巫+1,迪

22

【點睛】

本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于根據(jù)余弦定理以及不等式求

出，考驗分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.

14、j=A/3（%-1）

【解析】

根據(jù)均值不等式得到歸斗明同416,以"FpW4石，根據(jù)等號成立條件得到直線A5的傾斜角為不計算得到直線

方程.

【詳解】

22

由橢圓上+2L=1,可知c=l,R=l,P=2,：.y2=4x,

432

SAMFP=^\PF\-\MF\smj=^-\PF\-\MF\,

8=|PF|+\MF\>2,J\PF\-\MF\,|PF|-|MF|<16,

SAMFP=^|PF|.|MF|<X16=473（當(dāng)且僅當(dāng)|尸盟=|"F|=4，等號成立）,

|MF|=4,1^1=2,:.AFMFX=-,ZMFFr=-,

63

???直線AB的傾斜角為g，二直線AB的方程為y=石(%—1).

故答案為：丁=百(九—1).

【點睛】

本題考查了拋物線，橢圓，直線的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

15、②

【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比J痢小的有理數(shù)個數(shù)，即可確定④.

【詳解】

對于①，由定義可知，當(dāng)x為有理數(shù)時。(%)=1；當(dāng)x為無理數(shù)時。(％)=0,則值域為{0,1},所以①錯誤；

對于②，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足依€氏。(-可=。(耳，所以②

正確；

對于③，因為TeR,當(dāng)X為無理數(shù)時，X+T可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以③\/7€夫,。(％+7)=。(%)錯

誤；

對于④，由定義可知。(1)+￡)(&)+￡)(/)++5(^020)

=D(l)+D(74)+D(A/9)+D(A/16)+D(A/25)+D(府)+D(及)+D(⑻++￡>(72020)=44,所以④錯

誤；

綜上可知，正確的為②.

故答案為：②.

【點睛】

本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

16、1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為=/，.?.抽取學(xué)生的人數(shù)為600X—=1.

16002020

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析，4=三/；（2）S,,=5—與三

【解析】

（1）將等式％,=駕+圭變形為2"4=2"-%K+2,進而可證明出｛2%,｝是等差數(shù)列，確定數(shù)列｛2%,｝的首項

和公差，可求得2"a”的表達式，進而可得出數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）利用錯位相減法可求得數(shù)列｛4｝的前“項和Sn.

【詳解】

（1）因為“智+J（心2”N*）,所以外*T*+2,即入-

所以數(shù)列｛2'aJ是等差數(shù)列，且公差d=2,其首項2%=3

所以2"4=3+（”—1）x2=2〃+1,解得a”=空它；

「3572n-l2〃+1

(2)S"=5+初+了+,—I---------—I-----------①

2"一12"

S.3572n-12H+1

齊+3+及+…++,②

22"2.+1

2xlx11

112n+l342"[-12n+l52/1+5

①—②，得、=三+2義~\——+,,?H---------；-=—I-------

22232"2n+1262"+i22"1

…cl2n+5

所以S〃=5--亍.

【點睛】

本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

18、(1)a=0.005；(2)列聯(lián)表見解析，有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，E(X)=3

【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求。的值；

(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，

填寫2x2列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，

知隨機變量X服從二項分布，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a=0.005；

(2)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為820+0.05=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25(人)，

填表如下：

晉級成功晉級失敗合計

男163450

女94150

合計2575100

假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得K-=100x(16x41-34x9)2土26B>2072,

25x75x50x50

所以有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75,

將頻率視為概率，

則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75,

所以X可視為服從二項分布，即X?

P（X=Q=C圖（左=0,1,2,3,4）,

故"=。)=0圖°以=品

…/MJ哈

…)7川嚙

所以X的分布列為:

X01234

1125410881

P（X=k）

256256256256256

3112541QI

數(shù)學(xué)期望為二（乂）=4*三=3.或（E（X）=—xO+—xl+—x2+—x3+—x4=3）.

4256256256256256

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，屬于中檔題.若離散型隨機變量

XB（n,p）,則￡（x）=秋,

2

19、(1)匕+k=1(2)是定值，詳見解析

4

【解析】

a=2

(1)根據(jù)長軸長為4,離心率6=且，則有卜=產(chǎn)求解.

2a2

a2-b2=c2

⑵設(shè)>°，%>0)，則4%2+%2=4,直線24：y=占(》一1),令x=0得，%=一，則

叫)T/T

\BM\=\2-yM\,直線P5:y=生心x+2,令y=0,得與=二^,貝！||知|=卜J,再根據(jù)

X2%一,

S\PMN~^\PAB-(^AMAN~^APAN)-(^&BAN~^APAN)=$IMAN~^ABAN求解.

【詳解】

a=2

cA/3

(1)依題意得<——=—

a2

a2-b2=c2

a=2

解得

b=l

2

則橢圓。的方程匕+/=1.

4

22

(2)設(shè)P(x0,y0)(x0>O,yo>0),則4x0+y0=4,

%

直線PA:y=(無一1)，

/一1

7。

令x=0得，

/-1'

則忸叫=|2一%|=2+4

%T

直線PB:y=生心?x+2,

令"。，得/=言

則四=|1―/|=1+芻

?,^APMN~^APAB=^AMAN_1^ARW)—(_1^A?W)=^AMAN~^^BAN

1

=1M-M=12%=2.

2+尤0T%-2

【點睛】

本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.

20、(1)y=-l;(2)極小值—1；(3)函數(shù)y=/(九)的零點個數(shù)為1.

【解析】

(1)求出了(0)和/"(o)的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，進而可得出該函數(shù)的極小值；

(3)由當(dāng)時，/(力<0以及〃2)>0,結(jié)合函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)性可得出函數(shù)y=/(x)的

零點個數(shù).

【詳解】

(1)因為/(x)=e*(x-l)—,所以/'(x)=xe*—.

所以/(o)=—i,r(o)=o.

所以曲線y=/(九)在點(0,/(0))處的切線為y=-li

(2)因為/1'(%)=-xe"—e"),令/，(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

列表如下：

X(-℃,?)a(?,0)0(0,+8)

/'(X)+0—0+

“X)9極大值極小值/

所以，函數(shù)丁=/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(―8,a)和(0,+。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(。,0),

所以，當(dāng)x=0時，函數(shù)y=/(x)有極小值/⑼=—1；

(3)當(dāng)xKl時,/(x)<0,且〃2)=e2—2e">e2—2>0.

由⑵可知，函數(shù)y=/(力在(0,+。)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/(x)的零點個數(shù)為1.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬

于中等題.

21、(1)證明見解析；(2)叵

5

【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得45，應(yīng)＞,利用AB//CD,可得CD//平面然后利用線面平行的性質(zhì)定理,

CD//MN,最后可得結(jié)果.

（2）根據(jù)二面角平面角大小為30，可知N為。。的中點，然后利用建系，計算PC以及平面的

一個法向量，利用向量