2023-2024學(xué)年河北省秦皇島撫寧區(qū)臺(tái)營(yíng)學(xué)區(qū)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷含解析

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島撫寧區(qū)臺(tái)營(yíng)學(xué)區(qū)中考數(shù)學(xué)最后一模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，RtAAOB中，ZAOB=90°,OA在x軸上，OB在y軸上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（6，0）,（0,1）,把

R3AOB沿著AB對(duì)折得到RtZkACTB,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

「，2也5

32

2.如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象，圖①是產(chǎn)品日銷售量y（單位：件）與時(shí)間t（單位；天）的函數(shù)關(guān)系,

圖②是一件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)z（單位：元）與時(shí)間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系，已知日銷售利潤(rùn)=日銷售量x一件產(chǎn)品

A.第24天的銷售量為200件B.第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤(rùn)是15元

C.第12天與第30天這兩天的日銷售利潤(rùn)相等D.第27天的日銷售利潤(rùn)是875元

3.如圖，在RSABC中，ZC=90°,NCAB的平分線交BC于D,DE是AB的垂直平分線，垂足為E,若BC=3,

則DE的長(zhǎng)為（）

C.3D.4

4.方程x（x+2）=。的根是（）

A.x=2B.x=0C.xi=O,X2=-2D.xi=O,X2=2

5.許昌市2017年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值完成1915.5億元，同比增長(zhǎng)9.3%,增速居全省第一位，用科學(xué)記數(shù)法表示1915.5億

應(yīng)為（）

A.1915.15X108B.19.155x101°

C.1.9155X1011D.1.9155X1012

6.二次函數(shù)y=a（x—4產(chǎn)—4（a#））的圖象在2VxV3這一段位于x軸的下方，在6VxV7這一段位于x軸的上方，則a

的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，速

度為每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位；動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿M-D-A遠(yuǎn)動(dòng)，速度也為每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位：動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā),

沿DA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位，到點(diǎn)A后沿AD返回，返回時(shí)速度為每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位，三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)

開始，同時(shí)結(jié)束.設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,AEFG的面積為y,下列能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

8.三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4,第三邊的長(zhǎng)是方程x2—12x+35=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為（）

A.14B.12C.12或14D.以上都不對(duì)

9.下列事件中，必然事件是（）

A.若ab=O,則a=0J

B.若|a|=4,貝！|a=±4

C.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1000。

D.若兩直線被第三條直線所截，則同位角相等

10.如圖，以O(shè)為圓心的圓與直線y=-x+百交于A、B兩點(diǎn)，若△OAB恰為等邊三角形，則弧AB的長(zhǎng)度為（）

21

A.—71B.71L.------7tD.—71

3

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.某菜農(nóng)搭建了一個(gè)橫截面為拋物線的大棚，尺寸如圖，若菜農(nóng)身高為1.8m,他在不彎腰的情況下，在棚內(nèi)的橫向

活動(dòng)范圍是—m.

12.中國(guó)的《九章算術(shù)》是世界現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉之一，其中有一問題：“今有牛五，羊二，值金十兩.牛二，羊五,

值金八兩。問牛羊各值金幾何？”譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩，牛2頭，羊5頭，共值金8兩.問牛、羊

每頭各值金多少？設(shè)牛、羊每頭各值金X兩、y兩，依題意，可列出方程為.

13.若代數(shù)式x2-6x+b可化為（x+a）2-5,則a+b的值為.

x-2>0

14.不等式組.八的解集為_________.

%+3>0

15.如圖，將量角器和含30。角的一塊直角三角板緊靠著放在同一平面內(nèi)，使三角板的0cm刻度線與量角器的0。線在

同一直線上，且直徑。。是直角邊3c的兩倍，過點(diǎn)A作量角器圓弧所在圓的切線，切點(diǎn)為E,則點(diǎn)E在量角器上所

對(duì)應(yīng)的度數(shù)是

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足SAPAB=；S矩形ABCD,則點(diǎn)P到A>B兩點(diǎn)的

距離之和PA+PB的最小值為.

17.（8分）如圖，在矩形中，對(duì)角線AC,30相交于點(diǎn)0.畫出AAOB平移后的三角形，其平移后的方向?yàn)?/p>

射線AO的方向，平移的距離為AO的長(zhǎng).觀察平移后的圖形，除了矩形ABC。外，還有一種特殊的平行四邊形？請(qǐng)

證明你的結(jié)論.

BC

18.（8分）如圖，點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，請(qǐng)你用尺規(guī)畫出一條直線PA,使得其與。。相切于點(diǎn)A,（不寫作法，保留作

圖痕跡）

19.（8分）如圖，已知拋物線y=ax?+2x+8與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且B（4,0）.

⑴求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵如果點(diǎn)P（P，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)IPC-PDI取得最大值時(shí)，求p的值；

（3）能否在拋物線第一象限的圖象上找到一點(diǎn)Q,使AQBC的面積最大，若能，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明

理由.

20.（8分）如圖，我們把一個(gè)半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知AB,C,￡）分別為“果圓”

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線y=2x-3與“果圓”中的拋物線丫=3必+法+。交于6、。兩點(diǎn)

-44

⑴求“果圓”中拋物線的解析式，并直接寫出“果圓”被y軸截得的線段BD的長(zhǎng)；

（2汝口圖，E為直線下方“果圓”上一點(diǎn)，連接AE、AB.BE,設(shè)AE與交于尸，的面積記為k"七夕，

S

戶的面積即為S區(qū),求三口的最小值

3BEF

（3）“果圓”上是否存在點(diǎn)P,使NAPC=NC鉆，如果存在，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由

圖圖

圖123

r2-l

21.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（J，其中

X2-2X+1

22.(10分)解方程(2x+l)2=3(2x4-1)

23.（12分）如圖,AB=16,O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O,B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。后得到扇

形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,Q在AB異側(cè)，連接OP.

求證：AP=BQ；當(dāng)BQ=時(shí)，求°。的長(zhǎng)（結(jié)果保留萬）；APO

的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩個(gè)點(diǎn)Q（X，yJ與尸（%，%）?若。、尸為某個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)，

當(dāng)該直角三角形的兩條直角邊分別與x軸或y軸平行（或重合），則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長(zhǎng)之和稱為

點(diǎn)。與點(diǎn)尸之間的“直距”記做。叱，特別地，當(dāng)尸0與某條坐標(biāo)軸平行（或重合）時(shí)，線段尸。的長(zhǎng)即為點(diǎn)。與點(diǎn)P

之間的“直距”.例如下圖中，點(diǎn)P（Ll）,點(diǎn)。（3,2）,此時(shí)點(diǎn)°與點(diǎn)尸之間的“直距”=3.

⑴①已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4（2,—1）,B（-2,0）,則2。=,DB°=；

②點(diǎn)C在直線y=—x+3上，求出。。。的最小值；

（2）點(diǎn)E是以原點(diǎn)。為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線y=2x+4上一動(dòng)點(diǎn).直接寫出點(diǎn)E與點(diǎn)尸之

間“直距”的最小值.

少

，I1t1j

Pl2345x

備用圖

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、B

【解析】

連接OO。作O'HLOA于H.只要證明小OO，A是等邊三角形即可解決問題.

【詳解】

連接OO',作O'HLOA于H,

:./BAO=30。，

由翻折可知，NBAO，=30。,

:.NOAO'=60。，

VAO=AOr,

二.△Aocr是等邊三角形，

VOrH±OA,

.?.OH=正,

2

OH=y

V33

.'.O'---)9

22

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)特殊三

角形，利用特殊三角形解決問題.

2、C

【解析】

試題解析：A、根據(jù)圖①可得第24天的銷售量為200件，故正確；

B、設(shè)當(dāng)仁區(qū)20,一件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)z（單位：元）與時(shí)間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系為z=kx+b,

必=25

把(0,25),(20,5)代入得:

20左+6=5

左=一1

解得：＜

b=25

:.z=-x+25,

當(dāng)x=10時(shí),y=-10+25=15,

故正確；

C、當(dāng)0WW24時(shí)，設(shè)產(chǎn)品日銷售量y（單位：件）與時(shí)間t（單位；天）的函數(shù)關(guān)系為y=kit+bi,

‘4=100

把代入得:

(0,100),(24,200)12的+4=200

k,=—

解得：\6,

4=100

.25

??y=-/+100,

6

當(dāng)t=12時(shí)，y=150,z=-12+25=13,

.?.第12天的日銷售利潤(rùn)為；150x13=1950（元），第30天的日銷售利潤(rùn)為；150x5=750（元）,

750到950,故C錯(cuò)誤；

D、第30天的日銷售利潤(rùn)為；150x5=750（元），故正確.

故選C

3、A

【解析】

試題分析：由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可求得NB=NCAD=NDAB=30。，???口￡垂直平分AB,

；.DA=DB,AZB=ZDAB,；AD平分NCAB,/.ZCAD=ZDAB,；NC=90。，.*.3ZCAD=90°,

.?.NCAD=30。，；AD平分NCAB,DE1AB,CD±AC,/.CD=DE=—BD,VBC=3,/.CD=DE=1

2

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

4、C

【解析】

試題解析：x（x+1）=0,

=>x=0或x+l=0,

解得xi=0,xi=-l.

故選C.

5、C

【解析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10〃的形式，其中14時(shí)<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移

動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，"是負(fù)數(shù).

【詳解】

用科學(xué)記數(shù)法表示1915.5億應(yīng)為1.9155x1011,

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查科學(xué)記數(shù)法，掌握絕對(duì)值大于1的數(shù)的表示方法是解題的關(guān)鍵.

6、A

【解析】

試題分析：根據(jù)角拋物線頂點(diǎn)式得到對(duì)稱軸為直線x=4,利用拋物線對(duì)稱性得到拋物線在1VXV2這段位于x軸的上

方，而拋物線在2Vx<3這段位于x軸的下方，于是可得拋物線過點(diǎn)（2,0）然后把（2,0）代入y=a（x—4）2—4（存0）

可求出a=l.

故選A

7、A

【解析】

當(dāng)點(diǎn)F在MD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0WxV2；當(dāng)點(diǎn)F在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2Vxg4.再按相關(guān)圖形面積公式列出表達(dá)式即可.

【詳解】

解：當(dāng)點(diǎn)F在MD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0<x<2,貝!J:

2

y=S梯形ECDG-SAEFC-SAGDF=-------x4—a（4—x）（2+x）—5%><（2—x）=x+4,

當(dāng)點(diǎn)F在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2VxW4,貝!J：

y=g[4-（x-2）x2]x4=-4x+16,

綜上，只有A選項(xiàng)圖形符合題意，故選擇A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

8、B

【解析】

解方程d_i2x+35=0得：x=5或x=L

當(dāng)x=l時(shí)，3+4=1,不能組成三角形；

當(dāng)x=5時(shí)，3+4>5,三邊能夠組成三角形.

該三角形的周長(zhǎng)為3+4+5=12,

故選B.

9、B

【解析】

直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)分別分析得出答案.

【詳解】

解：A、若ab=O,則a=0,是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、若|a|=4,則2=±4,是必然事件，故此選項(xiàng)正確；

C、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1000。，是不可能事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、若兩直線被第三條直線所截，則同位角相等，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了事件的判別，正確把握各命題的正確性是解題關(guān)鍵.

10、C

【解析】

過點(diǎn)。作

Vy=-X+A/3,

:.D(50),C(0,A/3),

:.COD為等腰直角三角形，ZODC=45°,

OE=OD-sin450=73.—，

22

???△Q鉆為等邊三角形，

：.ZOAB=6Q°,

；.Ao=&=艮與=曰

sin60°26

，43=2兀=@^=2缶=也兀.故選C.

360063

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11、1

【解析】

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+b,由圖得知點(diǎn)（0,2.4）,（1,0）在拋物線上，列方程組得到拋物線的解析式為：y=-

X2+2.4,根據(jù)題意求出y=1.8時(shí)x的值，進(jìn)而求出答案；

15

【詳解】

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+b,

由圖得知：點(diǎn)（0,2.4）,（1,0）在拋物線上,

2.4=b

,解得：，15,

0=9a+b

b=2.4

二拋物線的解析式為：y=-X2+2-41

15

丁菜農(nóng)的身高為l.8m,即y=L8,

4

貝?。?.8=--X2+2.4,

15

解得：X=1（負(fù)值舍去）

故他在不彎腰的情況下，橫向活動(dòng)范圍是：1米,

故答案為1.

5x+2y=10

12、＜

2x+5y=8?

【解析】

【分析】牛、羊每頭各值金x兩、y兩，根據(jù)等量關(guān)系：“牛5頭，羊2頭，共值金10兩”，“牛2頭，羊5頭，共值

金8兩”列方程組即可.

【詳解】牛、羊每頭各值金工兩、丁兩，由題意得：

5x+2y=10

2x+5y=8'

5x+2y=10

故答案為：＜

21+5y=8

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，弄清題意，找出等量關(guān)系列出方程組是關(guān)鍵.

13、1

【解析】

根據(jù)題意找到等量關(guān)系x2-6x+b=(x+a)2-5,根據(jù)系數(shù)相等求出a,b,即可解題.

【詳解】

解：由題可知x2-6x+b=(x+a)2-5,

整理得：x2-6x+b=x2+2ax+a2-5,

即-6=2a,b=a2-5,

解得：a=-3,b=4,

a+b=l.

【點(diǎn)睛】

本題考查了配方法的實(shí)際應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題，找到等量關(guān)系求出a,b是解題關(guān)鍵.

14、x>l

【解析】

分別求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解集.

【詳解】

X-2>0①

[x+3>0②，

解不等式①，得：x>L

解不等式②，得：x>-3,

所以不等式組的解集為：x>L

故答案為：x>l.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題.求不等式組的解集，要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，

小大大小中間找，大大小小解不了.

15、60.

【解析】

首先設(shè)半圓的圓心為。，連接OE,OA,由題意易得AC是線段05的垂直平分線，即可求得NAOC=NABC=60。,

又由AE是切線，易證得RtAAOE絲RtAAOC,繼而求得NAOE的度數(shù)，則可求得答案.

【詳解】

設(shè)半圓的圓心為。，連接OE,OA,

CD=2OC^2BC,

；.OC=BC,

；NACB=90°,即AC_L05,

J.OA^BA,

：.ZAOC=ZABC,

；NBAC=30。，

:.ZAOC=ZABC=6Q°,

,：AE是切線，

：.ZAEO=90°,

:.NAEO=NAC0=9Q°,

?.,在RtAAOE和RtAAOC中，

AO=AO

OE=OC'

/.RtAAOE^RtAAOC(HL),

：.ZAOE=ZAOC=60°,

.,.ZEOD=180°-ZAOE-NAOC=60。，

，點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的量角器上的刻度數(shù)是60°,

故答案為：60.

DOCB

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意掌

握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16、40

【解析】

分析：首先由SAPAB=；S矩形ABCD,得出動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線1上，作A關(guān)于直線1的對(duì)稱

點(diǎn)E,連接AE,連接BE,則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，

即PA+PB的最小值.

詳解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h.

..1

?SAPAB=二S矩形ABCD,

/.-AB?h=-AB?AD,

23

2

...h=—AD=2,

3

動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線1上，如圖，作A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,連接BE,則

BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.

E

在RSABE中，；AB=4,AE=2+2=4,

?E=7AB2+AE2-V42+42-472，

即PA+PB的最小值為4應(yīng).

故答案為40.

點(diǎn)睛：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì).得出動(dòng)

點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)如圖所示見解析；(2)四邊形OCED是菱形.理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的△DEC即可；

(2)根據(jù)圖形平移的性質(zhì)得出AC〃DE,OA=DE,故四邊形OCED是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)可知OA=OB,

故DE=CE,由此可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖所示；

(2)四邊形OCED是菱形.

理由：由AAOB平移而成,

AAC/7DE,BD〃CE,OA=DE,OB=CE,

二四邊形OCED是平行四邊形.

?.?四邊形ABCD是矩形，

/.OA=OB,

/.DE=CE,

.??四邊形OCED是菱形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖與矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握矩形的性質(zhì)與根據(jù)題意作圖.

18、答案見解析

【解析】

連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)K,以點(diǎn)K為圓心OK為半徑作。K交。O于點(diǎn)A,A，，作直線

PA,PAS直線PA,PA，即為所求.

【詳解】

解：連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)K,以點(diǎn)K為圓心OK為半徑作。K交。O于點(diǎn)A,A\作

直線PA,PAS

直線PA,PA，即為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

19、⑴y=-(x-1)2+9,D(1,9)；(2)p=-l；(3)存在點(diǎn)Q(2,1)使AQBC的面積最大.

【解析】

分析：

(1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=ax?+2x+l求得a的值，即可得到該拋物線的解析式，再把所得解析式配方化為頂點(diǎn)式，即

可得到拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)由題意可知點(diǎn)P在直線CD上時(shí)，|PC-PD|取得最大值，因此，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直CD的解析式，即

可求得符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到p的值；

2

(3)由(1)中所得拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,-m+2m+l)(0<m<4),然后用含m的代數(shù)式表達(dá)出小BCQ

的面積，并將所得表達(dá)式配方化為頂點(diǎn)式即可求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

詳解：

(1),拋物線y=ax?+2x+l經(jīng)過點(diǎn)B(4,0),

?*.16a+l+l=0,

a=-1,

二拋物線的解析式為y=-X2+2X+1=-(x-1)2+9,

AD(1,9)；

(2),當(dāng)x=0時(shí),y=l,

AC(0,1).

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b.

將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入得：\Z?:=8C，解得：k=l,b=l,

k+b=9

二直線CD的解析式為y=x+l.

當(dāng)y=0時(shí)，x+l=0,解得：x=-1,

二直線CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

當(dāng)P在直線CD上時(shí)，|PC-PD|取得最大值，

?'.p=-1;

(3)存在，

理由：如圖，由(2)知，C(0,1),

VB(4,0),

二直線BC的解析式為y=-2x+l,

過點(diǎn)Q作QE〃y軸交BC于E,

設(shè)Q(m,-m2+2m+l)(0<m<4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(m,-2m+l),

?*.EQ=-m2+2m+l-(-2m+l)=-m2+4m,

SAQBC=—(-m2+4m)x4=-2(m-2)2+l,

；.m=2時(shí)，SAQBC最大，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(2,1).

點(diǎn)睛：(1)解第2小題時(shí)，知道當(dāng)點(diǎn)P在直線CD上時(shí)，|PC-PD|的值最大，是找到解題思路的關(guān)鍵；(2)解第3小

題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)(m,-m2+2m+l)(0<m<4),并結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)把4BCQ的面積用含m的代數(shù)

式表達(dá)出來.

20、(l)y=ix2--x-3；6；(2)”^有最小值(3)《(0,-3),2(3,-3).

-44SBEF4

【解析】

(1)先求出點(diǎn)B,C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A坐標(biāo)，即可求出半圓的直徑，再構(gòu)造

直角三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求出BD；

s

(2)先判斷出要求《巫的最小值，只要CG最大即可，再求出直線EG解析式和拋物線解析式聯(lián)立成的方程只有一

個(gè)交點(diǎn)，求出直線EG解析式，即可求出CG,結(jié)論得證.

(3)求出線段AC,BC進(jìn)而判斷出滿足條件的一個(gè)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，再利用拋物線的對(duì)稱性求出另一個(gè)點(diǎn)P.

【詳解】

3

解:⑴對(duì)于直線y=—x-3,令x=0,

4

；.y=-3,

?*.B(0,-3),

令y=0，

3

..—x-3=0,

4

?*.x=4,

AC(4,0),

3

V拋物線y=-x2+bx+c過B,C兩點(diǎn)，

4

'3

—xl6+4b+c=0

：.u

c=-3

：.<4，

c=-3

3g

，拋物線的解析式為y=-x2--x-3；

44

令y=0,

/?一Y—x_3=0,

44

x=4或x=-l,

AA(-1,0),

；.AC=5,

如圖2,記半圓的圓心為O',連接O，D,

53

.*.OO'=OC-O'C=4--=-

22

在RtACFOD中，OD=』0￡p—OCr2=2,

AD(0,2),

/.BD=2-(-3)=5；

⑵如圖3,

VA(-1,0),C(4,0),

.\AC=5,

過點(diǎn)E作EG〃BC交x軸于G,

VAABF的AF邊上的高和△BEF的EF邊的高相等，設(shè)高為h,

.11

??SAABF=-AF?h,SABEF=-EF*h,

22

q-AF?h

uAB/AF

2______=

q~EF

uBEF-EF*h

2

q

uA族

的最小值,

q

uBEF

.A尸且?

——最小,

EF

CF/7GE,

.AF_AC5

**EF-CG-CG

最小,即:CG最大，

CG

...EG和果圓的拋物線部分只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，CG最大,

3

?.?直線BC的解析式為y=-x-3,

4

3_

設(shè)直線EG的解析式為y=：x+m①，

4

39

?；拋物線的解析式為y=-x2--x-3②，

44

聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，3x2-12x-12-4m=0,

AA=144+4X3X(12+4m)=0,

:.m=-6,

3

直線EG的解析式為y=-x-6,

4

令y=o，

3

:.—x-6=0,

4

:.x=8,

.-.CG=4,

.SABF_竺_任

-

sBEF-EF_CG4

(3)4(0,—3),g(3,—3).理由:

，半圓上除點(diǎn)A,C外任意一點(diǎn)Q,都有NAQC=90。，

...點(diǎn)P只能在拋物線部分上，

VB（0,-3）,C（4,0）,

/.BC=5,

VAC=5,

/.AC=BC,

.,.ZBAC=ZABC,

當(dāng)NAPC=NCAB時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，即：P（0,-3）,

由拋物線的對(duì)稱性知，另一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-3）,

即：使NAPC=NCAB,點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-3）或（3,-3）.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法，圓的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的對(duì)稱性，等腰

三角形的判定和性質(zhì)，判斷出CG最大時(shí)，兩三角形面積之比最小是解本題的關(guān)鍵.

21、-2.

【解析】

根據(jù)分式的運(yùn)算法化解即可求出答案.

【詳解】

解：原式=（△1—3?（x—i）=E±l,

x-1XX

當(dāng)x=-l時(shí)，原式=（1）+]=-2.

—1

【點(diǎn)睛】

熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則.

1

22>xi=—，X2=l

2

【解析】

試題分析：分解因式得出(2x+l)(2x+l-3)=0,推出方程2x+l=0,2x+l-3=0,求出方程的解即可.

試題解析：解：整理得：(2x+l)2—3(2x+l)=0,分解因式得：(2x+l)(2x+l-3)=0,即2x+l=0,2x+l-3=0,解

得：xi---，X2=l.

2

點(diǎn)睛：本題考查了解一元一次方程和解一元二次方程的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是把一元二次方程轉(zhuǎn)化成解一元一次方

程，題目比較典型，難度不大.

14

23、(1)詳見解析；(2)―冗；(3)4<OC<1.

3

【解析】

(1)連接OQ,由切線性質(zhì)得NAPO=NBQO=90。，由直角三角形判定HL得RtAAPO也R3BQO,再由全等三角

形性質(zhì)即可得證.

(2)由(1)中全等三角形性質(zhì)得NAOP=NBOQ,從而可得P、O、Q三點(diǎn)共線，在R3BOQ中，根據(jù)余弦定義可

得cosB=巖，由特殊角的三角函數(shù)值可得NB=30。，NBOQ=60。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OQ=4,結(jié)合題意可

得NQOD度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可求得答案.

(3)由直角三角形性質(zhì)可得AAPO的外心是OA的中點(diǎn),結(jié)合題意可得OC取值范圍.

【詳解】

；AP、BQ是。。的切線，

；.OP_LAP,OQ1BQ,

，ZAPO=ZBQO=90°,

在RtAAPO和RtABQO中,

OP=OQ

OA=OB'

ARtAAPO^RtABQO,

，AP=BQ.

(2)VRtAAPO^RtABQO,

，NAOP=NBOQ,

，P、O、Q三點(diǎn)共線，

?在RtABOQ中,cosB=皎=,

OB82

：.ZB=30°，/BOQ=60°,

1

..OQ=—OB=4,

VZCOD=90°,

:.ZQOD=90°+60°=150°,

.gmAAIX210?乃?414

??優(yōu)弧QD的長(zhǎng)=---------=—n，

1803

(3)解：設(shè)點(diǎn)M為RtAAPO的外心，則M