人教版高一年級(jí)第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷與答案解析（共五套）

人教版高一年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（一）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用第七章復(fù)數(shù)第I卷（選擇題)一、單選題（每題5分，總分60分.）1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．-1 C． D．2．設(shè)非零向量，滿足，則（）A． B． C．// D．3．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．56．點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．7．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A．B．C． D．28．已知,且，則（）A．4 B．3 C． D．9．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．10．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．311．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則（）A． B． C． D．12．若非零向量a，b滿足a=223A． B．C． D．第II卷（非選擇題)二、填空題（每題5分，總分20分.）13．已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則的值為_(kāi)_________．14．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°平面向量，，（R），且與的夾角等于與的夾角，則.16．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若，，，則的值為_(kāi)_____．三、解答題（17題10分，18-22題各12分，總分70分.）17．計(jì)算：（1）；（2）；（3）.18．已知復(fù)數(shù)（）．（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．如圖所示，平行四邊形AOBD中，設(shè)向量，，且，，用表示、、．20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的值.21．在中，．（1）求的值；（2）若，求以及的值．22．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．參考答案第I卷（選擇題)一、單選題（每題5分，總分60分.）1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．-1 C． D．【答案】B【解析】∵，∴復(fù)數(shù)的虛部是，故選：B．2．設(shè)非零向量，滿足，則（）A． B． C．// D．【答案】A【解析】由的幾何意義知，以向量，為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以.故選：A.3．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由得則對(duì)應(yīng)點(diǎn)（-3，-2）位于第三象限．故選C．4．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．【答案】C【解析】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．5．已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A． B． C．3 D．5【答案】D【解析】∵故選D.6．點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，過(guò)作，如下圖所示：由，故，所以與的面積之比為，故選：D．7．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】題意，，所以.故選：C.8．已知,且，則（）A．4 B．3 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故，所以，故，?故選C.9．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.10．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，，，則bA． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故選D.11．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，其中，則.由題意得，解得，即.故選：B.12．若非零向量a，b滿足a=22A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，所以，即，即，∴，又，故，故選A.第II卷（非選擇題)二、填空題（每題5分，總分20分.）13．已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則的值為_(kāi)_________．【答案】-2【解析】為實(shí)數(shù)，則.14．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°【答案】100【解析】題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因?yàn)?所以,應(yīng)填1006.15．平面向量，，（R），且與的夾角等于與的夾角，則.【答案】2【解析】，與的夾角等于與的夾角，所以16．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若，，，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，，即，則即，解得，，則.三、解答題（17題10分，18-22題各12分，總分70分.）17．計(jì)算：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.18．已知復(fù)數(shù)（）．（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）（2，3）【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解之得，．（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解之得，得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（2，3）．19．如圖所示，平行四邊形AOBD中，設(shè)向量，，且，，用表示、、．【答案】【解析】＝－＝a－b∴＝＋＝＋＝＋＝得a＋b.又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.21．在中，．（1）求的值；（2）若，求以及的值．【答案】（1）；（2）7，.【解析】（1）由余弦定理及已知得：.（2）因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，，由正弦定理得：，又∵．，解得或（舍）．．22．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2），∴，又，∴的取值范圍是．人教版高一年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（二）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．計(jì)算=（）A． B． C． D．2．設(shè)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．已知向量滿足，，則（）A．4 B．3 C．2 D．04．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．5．已知向量a=(1,2)，b=(2,-3)．若向量c滿足(c+aA．(79,73)6．設(shè)，其中x，y是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．27．若銳角的面積為，且，，則（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A． B． C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z的虛部為10．已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的邊的中點(diǎn)，則下列等式中正確的是()A． B．C． D．11．已知,滿足,則實(shí)數(shù)k的值可能為()A． B． C．58 D．12．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．可能是直角三角形 B．角可能是鈍角C．必有 D．可能有三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若，其中、都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則________．14．已知平面向量，，則與的夾角為_(kāi)_____.15．已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.16．在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則____；________.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知z是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位）.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）求的模.18．（12分）在①；②。這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）19．（12分）設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，已知.（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）裝潢師小王在墻面上設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)圖案，已知四邊形四個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，且米，米，角是，現(xiàn)在小王想買(mǎi)乳膠漆給四邊形涂色，依據(jù)設(shè)計(jì)方案四邊形的四邊涂成紅色，四邊形內(nèi)部要涂成藍(lán)色，他想根據(jù)線段的長(zhǎng)度與四邊形的面積來(lái)買(mǎi)乳膠漆，請(qǐng)你幫他計(jì)算：（1）線段的長(zhǎng)度；（2）四邊形的面積.21．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.22．（12分）設(shè)ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=a(cos（1）求角A；（2）若a=10，sinB=參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．計(jì)算=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】選B.2．設(shè)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】為純虛數(shù)，設(shè)（且），則，又實(shí)數(shù)，，即，因此，.故選：A.3．已知向量滿足，，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】因?yàn)樗赃xB.4．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.5．已知向量a=(1,2)，b=(2,-3)．若向量c滿足(c+aA．(79,73)【答案】D【解析】設(shè)c=x,y,則c+a=x+1,y+2,a+6．設(shè)，其中x，y是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)樗怨蔬xB.7．若銳角的面積為，且，，則（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】的面積為,,由面積公式，代入可得,解得為銳角三角形,所以在中,由余下定理可知代入可得,即，所以故選:B8．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，邊長(zhǎng)為所對(duì)的角不是最大角，則邊長(zhǎng)為或所對(duì)的角為最大角，只需這兩個(gè)角為銳角即可，則這兩個(gè)角的余弦值為正數(shù)，于此得到，由于，解得，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A． B． C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z的虛部為【答案】BD【解析】，，A錯(cuò)誤；，B正確；z的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；z的虛部為，D正確.故選：BD.10．已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的邊的中點(diǎn)，則下列等式中正確的是()A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由向量加法的平行四邊形法則可知，，故選：ABC11．已知,滿足,則實(shí)數(shù)k的值可能為()A． B． C．58 D．【答案】AB【解析】由題可得,，∴，∵，∴.故選：AB.12．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．可能是直角三角形 B．角可能是鈍角C．必有 D．可能有【答案】BC【解析】依題意得，整理得，即，所以或.因此當(dāng)時(shí)，是直角三角形，故A選項(xiàng)正確；而當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，因此選項(xiàng)D正確；選項(xiàng)C錯(cuò)誤；無(wú)論是還是，均可得角為銳角，故B錯(cuò)誤.故選BC.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若，其中、都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】，則，解得，因此，.故答案為：.14．已知平面向量，，則與的夾角為_(kāi)_____.【答案】【解析】，，，.設(shè)與的夾角為，則，，，因此，與的夾角為.故答案為：.15．已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.【答案】【解析】∵平面向量與的夾角為，，∴.∴故答案為.16．在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則____；________.（本題第一空2分，第二空3分）【答案】【解析】在中，正弦定理有：，而,，，所以.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知z是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位）.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）求的模.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)（a，），由為實(shí)數(shù)，可得，又為純虛數(shù)，，即；（2），.18．（12分）在①；②。這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】橫線處任填一個(gè)都可以，面積為．【解析】解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫(xiě)“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因?yàn)?，所?從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.19．（12分）設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，已知.（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由已知得..又與有公共點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線.（2）由（1）可知，又，∴可設(shè)，，即，解得.20．（12分）裝潢師小王在墻面上設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)圖案，已知四邊形四個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，且米，米，角是，現(xiàn)在小王想買(mǎi)乳膠漆給四邊形涂色，依據(jù)設(shè)計(jì)方案四邊形的四邊涂成紅色，四邊形內(nèi)部要涂成藍(lán)色，他想根據(jù)線段的長(zhǎng)度與四邊形的面積來(lái)買(mǎi)乳膠漆，請(qǐng)你幫他計(jì)算：（1）線段的長(zhǎng)度；（2）四邊形的面積.【答案】（1）2；（2）【解析】（1）在中，，∴，在中，，∴，∴，∴.（2），，∴.21．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得，，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因?yàn)閍>c,∴a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因?yàn)椋訡為銳角，因此.于是=.22．（12分）設(shè)ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=a(cos（1）求角A；（2）若a=10，sinB=【答案】（1）A=3π4【解析】（1）∵b=a（cosC﹣sinC），∴由正弦定理得sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，可得sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC，∴cosAsinC=﹣sinAsinC，由sinC≠0，得sinA+cosA=0，∴tanA=﹣1，由A為三角形內(nèi)角，可得A=3π（2）因?yàn)閟inB=2因?yàn)閍2=b2+c2﹣2bccosA，A=3π4，可得c=所以SΔABC人教版高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（三）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用第七章復(fù)數(shù)第I卷（選擇題)一、單選題（每題5分，總分60分.）1．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則A．3+4iB．3-4iC．5-4iD．5+4i2．已知平面向量,則向量()A．平行于第一?三象限的角平分線 B．平行于y軸C．平行于第二?四象限的角平分線 D．平行于x軸3．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則為（）A． B．120° C．240° D．210°4．在△ABC中，角對(duì)邊分別為．若，，則（）A．B．C．D．5．已知，是不共線的非零向量，則下列各式中與不共線的是（）A．， B．，C．， D．，6．已知平面向量，夾角為，且，，則與的夾角是（）A．B．C．D．7．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．設(shè)為虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)A．2 B．1C．0 D．?19．在中，,其面積，則夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．10．在中,內(nèi)角對(duì)的邊分別為.若,則的取值范圍為（）A．B．C．D．11．在中，是的重心，且，其中，，分別是角，，的對(duì)邊，則（）A．30° B．60° C．120° D．150°12．已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最大值是（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題)二、填空題（每題5分，總分20分.）13．已知三點(diǎn)，，共線，則x為_(kāi)_______.14．不共線向量，滿足，且，則與的夾角為_(kāi)_______.15．_______________.16．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，若的面積為，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．三、解答題（17題10分，18-22題各12分，總分70分.）17．已知向量與的夾角為60°，||=1，||=2（1）求（2﹣）?；（2）求：|2+|．18．已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位，）.（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍.19．如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．20．在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛞来螢椋ㄆ渲袨樵c(diǎn)）.已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，求和分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).21．在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且.（1）若，求；（2），，求的面積.22．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為2nmile的C處有一艘緝私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東方向逃竄，問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間．(本題解題過(guò)程中請(qǐng)不要使用計(jì)算器，以保證數(shù)據(jù)的相對(duì)準(zhǔn)確和計(jì)算的方便)參考答案第I卷（選擇題)一、單選題（每題5分，總分60分.）1．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù)，則A．3+4iB．3-4iC．5-4iD．5+4i【答案】B【解析】依題意得a=2,b=1，所以(2-i2．已知平面向量,則向量()A．平行于第一?三象限的角平分線 B．平行于y軸C．平行于第二?四象限的角平分線 D．平行于x軸【答案】B【解析】由題：平面向量,則向量，所以平行于y軸.故選：B3．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則為（）A． B．120° C．240° D．210°【答案】C【解析】由，得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，且，所以.故選：C.4．在△ABC中，角對(duì)邊分別為．若，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理，，故選C．5．已知，是不共線的非零向量，則下列各式中與不共線的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】選項(xiàng)A中，，則與共線.不符合題意，排除選項(xiàng)A.選項(xiàng)B中，，則與共線.不符合題意，排除選項(xiàng)B.選項(xiàng)C中，，則與共線.不符合題意，排除選項(xiàng)C.選項(xiàng)D中，假設(shè)與共線，則，為實(shí)數(shù)，則，∴∴，這樣的不存在，因此假設(shè)不成立，所以與不共線.符合題意.故選：D6．已知平面向量，夾角為，且，，則與的夾角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知：，則：，且：，設(shè)所求向量的夾角為，有：，則與的夾角是.本題選擇A選項(xiàng).7．歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.8．設(shè)為虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)A．2 B．1C．0 D．?1【答案】C【解析】由，得，所以，故選C．9．在中，,其面積，則夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)|與的夾角為.故選B．10．在中,內(nèi)角對(duì)的邊分別為.若,則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理得,又由題意知,則,即.故選D.11．在中，是的重心，且，其中，，分別是角，，的對(duì)邊，則（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解析】在中，是的重心，根據(jù)三角形重心性質(zhì)有，由題：，所以，由余弦定理得，在中，故選：A12．已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得，即點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，所以的最大值為，故選:C.第II卷（非選擇題)二、填空題（每題5分，總分20分.）13．已知三點(diǎn)，，共線，則x為_(kāi)_______.【答案】7【解析】設(shè)，所以所以，所以，，所以.14．不共線向量，滿足，且，則與的夾角為_(kāi)_______.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,,,又因?yàn)?所以.填（或）.15．_______________.【答案】【解析】=故答案為：.16．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，若的面積為，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】【解析】由及正弦定理可得，所以由余弦定理的推論可得，因?yàn)?，所以．因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)，，所以△ABC是等邊三角形，故的值最小時(shí)△ABC的周長(zhǎng)為．三、解答題（17題10分，18-22題各12分，總分70分.）17．已知向量與的夾角為60°，||=1，||=2（1）求（2﹣）?；（2）求：|2+|．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）（2）=．18．已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位，）.（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，所以.（2）由（1）得，，，因?yàn)槭情_(kāi)口向上的拋物線，有最小值；所以.19．如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）；．（2），證明如下：設(shè)，則，．．∴，∴．20．在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛞来螢?，（其中為原點(diǎn)）.已知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，求和分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】，.【解析】根據(jù)題意畫(huà)出草圖，如圖所示.由復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義知，.21．在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且.（1）若，求；（2），，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)余弦定理及，得，，即，.，，，即，；（2），，，，則，，即，，的面積.22．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為2nmile的C處有一艘緝私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東方向逃竄，問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間．(本題解題過(guò)程中請(qǐng)不要使用計(jì)算器，以保證數(shù)據(jù)的相對(duì)準(zhǔn)確和計(jì)算的方便)【答案】緝私艇沿北偏東60°方向行駛才能最快追上走私船，這需小時(shí)【解析】設(shè)緝私艇追上走私船需t小時(shí)，則BD=10tnmileCD=tnmile∵∠BAC=45°+75°=120°∴在△ABC中，由余弦定理得即由正弦定理得∴∠ABC=45°，∴BC為東西走向∴∠CBD=120°在△BCD中，由正弦定理得∴∠BCD=30°，∴∠BDC=30°∴即∴（小時(shí)）答：緝私艇沿北偏東60°方向行駛才能最快追上走私船，這需小時(shí).人教版高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（四）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）2．已知是虛數(shù)單位，給出下列命題，其中正確的是（）A．滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓B．若，，則C．復(fù)數(shù)（其中、）的虛部為D．在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示虛數(shù)3．設(shè)非零向量，滿足，則（）A． B． C．// D．4．已知，的夾角為，則以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（）A．15 B． C．14 D．165．已知復(fù)數(shù)，，，它們?cè)趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C．若（），其中為原點(diǎn)，則的值是(）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．7．在邊長(zhǎng)為1的正中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．8．設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法中正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上B．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，若，則10．是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量滿足,,則下列結(jié)論中正確的是()A．為單位向量 B．為單位向量 C． D．11．點(diǎn)O在所在的平面內(nèi),則以下說(shuō)法正確的有()A．若,則點(diǎn)O為的重心B．若,則點(diǎn)O為的垂心C．若,則點(diǎn)O為的外心D．若,則點(diǎn)O為的內(nèi)心12．在中，分別是角的對(duì)邊，為鈍角，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）是純虛數(shù)，則的虛部為_(kāi)_____.14．已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與－＋相等的向量有____．①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．15．如圖，已知的面積為，分別為邊，上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的面積為_(kāi)____.16．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，，，的面積為，則______；______.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知i為虛數(shù)單位，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根b.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z為何值時(shí)，有最小值，并求出的最小值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）在銳角中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，且．（）確定角的大小．（）若，且的面積為，求的值．20．（12分）設(shè)兩個(gè)向量，滿足，.（1）若，求與的夾角；（2）若與的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.21．（12分）如圖，有一位于處的雷達(dá)觀察站發(fā)現(xiàn)其北偏東，與相距海里的處有一貨船正勻速直線行駛，20分鐘后又測(cè)得該船位于點(diǎn)北偏東（其中），且與相距海里的處．（1）求該船的行駛速度；（2）在處的正南方向20海里處有一暗礁（不考慮暗礁的面積）．如果貨船繼續(xù)行駛，它是否有觸礁的危險(xiǎn)？說(shuō)明理由．22．（12分）現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①，②，從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并以此為依據(jù)求解問(wèn)題：（選出一種可行的條件解答，若兩個(gè)都選，則按第一個(gè)解答計(jì)分）在中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，（1）求；（2）若，求面積的最大值.參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，故選B.2．已知是虛數(shù)單位，給出下列命題，其中正確的是（）A．滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓B．若，，則C．復(fù)數(shù)（其中、）的虛部為D．在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示虛數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，設(shè)，由可得，化簡(jiǎn)得，所以，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是實(shí)軸，不是圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，B正確；對(duì)于C，復(fù)數(shù)（其中、）的虛部為，是虛數(shù)單位，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示虛數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.3．設(shè)非零向量，滿足，則（）A． B． C．// D．【答案】A【解析】由的幾何意義知，以向量，為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以.故選：A.4．已知，的夾角為，則以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（）A．15 B． C．14 D．16【答案】A【解析】因?yàn)?，的夾角為，所以，因?yàn)橐虼艘粭l對(duì)角線長(zhǎng)為15，選A.5．已知復(fù)數(shù)，，，它們?cè)趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C．若（），其中為原點(diǎn)，則的值是(）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】,選A.6．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】畫(huà)出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．7．在邊長(zhǎng)為1的正中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，則，，則故，即.故選C。8．設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角?故選B。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法中正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上B．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，若，則【答案】CD【解析】滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，A錯(cuò)誤；在B中，設(shè)，則.由，得，解得，B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的模的定義知C正確；由的幾何意義知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，從而兩鄰邊垂直，D正確.故選：CD10．是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量滿足,,則下列結(jié)論中正確的是()A．為單位向量 B．為單位向量 C． D．【答案】AD【解析】∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,故A正確；∵,∴,∴,故B錯(cuò)誤；由于,∴與的夾角為120°,故C錯(cuò)誤；又∵,∴,故D正確.故選:AD.11．點(diǎn)O在所在的平面內(nèi),則以下說(shuō)法正確的有()A．若,則點(diǎn)O為的重心B．若,則點(diǎn)O為的垂心C．若,則點(diǎn)O為的外心D．若,則點(diǎn)O為的內(nèi)心【答案】AC【解析】解：選項(xiàng)A，設(shè)D為的中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，所以O(shè)為的重心；選項(xiàng)B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由，知點(diǎn)O在的平分線上，故O為的內(nèi)心；選項(xiàng)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；選項(xiàng)D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點(diǎn)O是的垂心；故選：AC．12．在中，分別是角的對(duì)邊，為鈍角，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?所以由余弦定理得,因此,整理得,故A選項(xiàng)正確；因?yàn)?所以由正弦定理得,即,所以,所以,所以,由于是鈍角,所以,即,故B選項(xiàng)正確；由于,且,所以,所以,,因此,,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確故選:ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）是純虛數(shù)，則的虛部為_(kāi)_____.【答案】1【解析】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，故，所以，故，故的虛部為1.故答案為：1.14．已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與－＋相等的向量有____．①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．【答案】①【解析】化簡(jiǎn)，①合題意；由正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖可得向量、、與向量方向不同，根據(jù)向量相等的定義可得向量、、與向量不相等，②③④不合題意；因?yàn)椋?，⑤不合題意；－，⑥不合題意；，⑦不合題意，故答案為①.15．如圖，已知的面積為，分別為邊，上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的面積為_(kāi)____.【答案】4【解析】設(shè)，以，為一組基底，則.∵點(diǎn)與點(diǎn)分別共線，∴存在實(shí)數(shù)和，使.又∵，∴解得∴，∴.16．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，，，的面積為，則______；______.（本題第一空2分，第二空3分）【答案】【解析】，，又的面積為，，，解得，，，在中，由余弦定理得，，在中，，由余弦定理得，,中，由余弦定理得，.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知i為虛數(shù)單位，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根b.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z為何值時(shí)，有最小值，并求出的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）是方程的實(shí)數(shù)根，，，解得.（2）設(shè)（x，），由，得，即，它表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離為，構(gòu)成的圖形是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示.當(dāng)點(diǎn)Z在所在的直線上時(shí)，有最大值或最小值，，半徑，當(dāng)時(shí)，有最小值，且.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.19．（12分）在銳角中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，且．（）確定角的大小．（）若，且的面積為，求的值．【答案】（）；（）【解析】（），∴，∵，∴．（），，，∴．20．（12分）設(shè)兩個(gè)向量，滿足，.（1）若，求與的夾角；（2）若與的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得：整理得：，又向量夾角為，故與的夾角為.（2）因?yàn)榕c的夾角為鈍角，故：。即：整理得：，解得：又當(dāng)與共線時(shí)，設(shè)。，解得.當(dāng)時(shí)，與的夾角為.向量與的夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是.21．（12分）如圖，有一位于處的雷達(dá)觀察站發(fā)現(xiàn)其北偏東，與相距海里的處有一貨船正勻速直線行駛，20分鐘后又測(cè)得該船位于點(diǎn)北偏東（其中），且與相距海里的處．（1）求該船的行駛速度；（2）在處的正南方向20海里處有一暗礁（不考慮暗礁的面積）．如果貨船繼續(xù)行駛，它是否有觸礁的危險(xiǎn)？說(shuō)明理由．【答案】（1）海里/小時(shí)；（2）有.【解析】（1）由題意，，由余弦定理可得∵航行時(shí)間為20分鐘?！嘣摯男旭偹俣龋ê＠?小時(shí)）；（2）由（1）知，在△ABC中，，設(shè)BC延長(zhǎng)線交AE于F，則，在△AFC中，由正弦定理可得，，（海里）∴F與E重合，即貨船不改變航向繼續(xù)前行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)．22．（12分）現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①，②，從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并以此為依據(jù)求解問(wèn)題：（選出一種可行的條件解答，若兩個(gè)都選，則按第一個(gè)解答計(jì)分）在中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，().（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）選①，由正弦定理可得：，即，∴，∵，∴，∴，即，又，∴，選②，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴，又，∴；（2）由余弦定理得：，又，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”，∴，即，∴，∴，∴的面積的最大值為.人教版高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（五）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40.0分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.coscos=（）A.sinB.cosC.D.2.已知向量，，，若為實(shí)數(shù)，，則的值為（）A. B. C. D.3.命題：“向量與向量的夾角為銳角”是命題：“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件4.下列四個(gè)命題中正確的是（）①如果一條直線不某個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就與這個(gè)平面平行；②過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行；③過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行；④過(guò)空間一點(diǎn)必存在某個(gè)平面與兩條異面直線都平行．A.①④B.②③C.①②③D.①②③④5.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為()A. B. C. D.6.在△中，為邊上中線，為的中點(diǎn)，則A. B.C. D.7.若，則的值為()A. B. C. D.8.函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20.0分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的的3分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)其中為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B.C.復(fù)數(shù)虛部為 D.10.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D若，，，則11.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.12.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.三、填空題（本大題共4小題，，每小題5分，共20.0分）13.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______14.函數(shù)最大值為_(kāi)_________.15.已知，則______．16.在四面體中，，，，則此四面體外接球的表面積是__.四、解答題（本大題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70.0分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)17.已知單位向量，滿足.（1）求；（2）求的值.18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABED是正方形，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）是線段BC的中點(diǎn)，證明：平面平面．19.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求當(dāng)時(shí)，的值域．20.如圖，在直角梯形中，，，，，梯形繞著直線旋轉(zhuǎn)一周.（1）求所形成的封閉幾何體的表面積；（2）求所形成的封閉幾何體的體積.21.△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.22.在平面四邊形中，已知，，.（1）若，，，求的長(zhǎng)；（2）若，求證：.參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40.0分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.coscos=（）A.sin B.cos C. D.【答案】D【分析】利用兩角和的余弦公式的逆應(yīng)用直接求解即可.【詳解】coscos=.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的余弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，，，若為實(shí)數(shù)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所?故選：A．考點(diǎn)：1、向量的加法乘法運(yùn)算；2、向量垂直的性質(zhì)．3.命題：“向量與向量的夾角為銳角”是命題：“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)“向量與向量的夾角為銳角”證得“”得出命題是命題的充分條件，然后通過(guò)“”不能證得“向量與向量的夾角為銳角”得出命題不是命題的必要條件，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)向量與向量的夾角為銳角時(shí)，因?yàn)閵A角為銳角，所以，，故命題是命題的充分條件，若，則，，故命題不是命題的必要條件，綜上所述，命題是命題的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，給出命題若則，如果可以證得，則是的充分條件，若果可以證得，則是的必要條件，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.4.下列四個(gè)命題中正確的是（）①如果一條直線不在某個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就與這個(gè)平面平行；②過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行；③過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行；④過(guò)空間一點(diǎn)必存在某個(gè)平面與兩條異面直線都平行．A.①④B.②③C.①②③D.①②③④【答案】B【分析】①可由空間中直線與平面的位置關(guān)系判斷；②③可由直線與平面平行的性質(zhì)判斷；④可用排查法判斷．【詳解】空間中直線與平面的位置關(guān)系有相交，平行與直線在平面內(nèi)①錯(cuò)誤，直線還可能與平面相交②正確③正確因?yàn)檫^(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，且這無(wú)數(shù)條直線都在與這個(gè)平面平行的平面內(nèi)．④不一定正確,當(dāng)點(diǎn)在其中一條直線上時(shí)，不存在平面與兩條異面直線都平行.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的直線與平面的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題．5.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為()A. B. C. D.【答案】D【分析】求出正四棱錐的高后可求其體積.【詳解】正四棱錐底面的對(duì)角線的長(zhǎng)度為，故正四棱錐的高為，所以體積為，故選D.【點(diǎn)睛】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個(gè)直角三角形，它們溝通了棱錐各個(gè)幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實(shí)現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.6.在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析：首先將圖畫(huà)出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.7.若，則的值為()A. B. C. D.【答案】C【分析】先利用二倍角公式和輔助解公式將化簡(jiǎn)為，再約分后平方，可得結(jié)果【詳解】解：因，所以，，，因?yàn)椋?，所以，所以，兩邊平方得，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查正余弦的二倍角公式，輔助角公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，屬于中檔題.8.函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由五點(diǎn)作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20.0分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的的3分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)其中為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B.C.復(fù)數(shù)的虛部為 D.【答案】ABCD【分析】把已知的等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，最后逐個(gè)判斷.【詳解】由得，，；復(fù)數(shù)的虛部為；故選：ABCD【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算.10.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BD【分析】假設(shè)直線與平面、的交線平行，結(jié)合線面平行的判定定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；直接判斷與的位置關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)，，，，則，，但、不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，由面面平行的性質(zhì)可知，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，，則或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，，由線面平行的性質(zhì)可知，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查線面關(guān)系有關(guān)命題正誤判斷，考查推理能力，屬于中等題.11.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.D.【答案】AD【分析】根據(jù)正弦定理得到，，根據(jù)余弦定理得到，，得到答案.【詳解】，故，根據(jù)正弦定理：，即，，故，，.，化簡(jiǎn)得到，解得或，若，故，故，不滿足，故..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】AC【分析】本題首先可以將轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)圖象變換得出函數(shù)，最后通過(guò)函數(shù)是奇函數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】，所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后，得到函數(shù)，再把所得函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，解得，故的值可以為、，故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象變換，考查二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后得到函數(shù)，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.三、填空題（本大題共4小題，，每小題5分，共20.0分）13.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______【答案】【分析】將