《8.2立體圖形的直觀圖》復(fù)習(xí)教案與課后作業(yè)

《8.2立體圖形的直觀圖》復(fù)習(xí)教案學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟．(重點(diǎn))2．會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．(難點(diǎn))通過學(xué)習(xí)空間幾何體直觀圖的畫法，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．斜二測畫法我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．2．平面圖形直觀圖的畫法及要求思考1：相等的角在直觀圖中還相等嗎？[提示]不一定．例如正方形的直觀圖為平行四邊形．3．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．思考2：空間幾何體的直觀圖唯一嗎？[提示]不唯一．作直觀圖時，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同．1．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個()A．①② B．①②③C．②⑤ D．③④⑤C[由斜二測畫法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．]2．梯形的直觀圖是()A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四邊形A[斜二測畫法中平行性保持不變，故梯形的直觀圖仍是梯形．]3．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，則在直觀圖中，∠A′＝.45°或135°[因?yàn)椤螦的兩邊平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.]【合作探究】平面圖形的直觀圖【例1】(1)如圖所示，一個水平放置的正方形ABCD，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖A′B′C′D′中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為．(2)用斜二測畫法畫出圖中五邊形ABCDE的直觀圖．(1)eq\f(\r(2),2)[正方形的直觀圖A′B′C′D′如圖：因?yàn)镺′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).](2)[解]畫法：①在下圖①中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H.②在圖②中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.③在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD；④連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③)．①②③畫平面圖形的直觀圖的技巧：(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點(diǎn)，然后連接成線段．1．畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖②.(3)擦去輔助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.畫空間幾何體的直觀圖【例2】畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．(底面邊長尺寸不作要求，側(cè)棱長為2cm)[思路探究]先畫軸，再利用斜二測畫法，畫出兩個底面，連線成圖，擦去多余的線．[解]畫法：(1)畫軸．畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)畫底面．根據(jù)x′軸，y′軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱．過A、B、C、D、E、F各點(diǎn)分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于側(cè)棱長2cm.(4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖．畫空間幾何體時，首先按照斜二測畫法規(guī)則畫出幾何體的底面直觀圖，然后根據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，畫出幾何體的各側(cè)面，所以畫空間多面體的步驟可簡單總結(jié)為：eq\x(畫軸)→eq\x(畫底面)→eq\x(畫側(cè)棱)→eq\x(成圖)2．用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm，3cm,2cm的長方體ABCD-A′B′C′D′的直觀圖．[解]畫法：(1)畫軸．如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖．直觀圖的還原與計算[探究問題]1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，能否判斷△ABC的形狀？[提示]根據(jù)斜二測畫法規(guī)則知：∠ACB＝90°，故△ABC為直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實(shí)際長度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是哪個？[提示]由直觀圖可知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，所以斜邊AC最長．【例3】(1)如圖①，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝eq\r(2)，則這個平面圖形的面積是()A．1B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)①②(2)如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．[思路探究]逆用斜二測畫法，還原圖形．先定點(diǎn)，再連線得原圖形，求面積．(1)C[由題圖知，△OAB為直角三角形．∵O′B′＝eq\r(2)，∴A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2.∴在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2).選C.](2)[解]如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.在過點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖)．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.1．本例(2)中的條件改為如圖所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原圖形的面積．[解]如圖①，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖②，是一個直角梯形．①②在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原圖形的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).2．本例(1)若改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”，應(yīng)如何求？[解]由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3．本例(1)中直觀圖中△O′A′B′的面積與原圖形面積之比是多少？[解]由(1)中直觀圖可得S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，原圖形面積為S△OAB＝2eq\r(2).所以eq\f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點(diǎn)，順次連接即可．2．直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．1．斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．2．在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實(shí)長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大小．【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】1．判斷正誤用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.(1)原來相交的仍相交. ()(2)原來垂直的仍垂直. ()(3)原來平行的仍平行. ()(4)原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn). ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是()ABCDC[正方形的直觀圖應(yīng)是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形，且相鄰的兩邊之比為2∶1，故選C.]3．如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為．10[由直觀圖可知，原圖形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四邊形OPQR的周長為10.]4．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．[解](1)過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，如圖①所示，畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示．①②③(2)如圖②所示，在x′軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點(diǎn)D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過點(diǎn)E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖③所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．《8.2立體圖形的直觀圖》課后作業(yè)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．如圖，已知等腰三角形ABC，則如下所示的四個圖中，可能是△ABC的直觀圖的是()①②③④A．①②B．②③C．②④D．③④D[原等腰三角形畫成直觀圖后，原來的腰長不相等，③④兩圖分別為在∠x′O′y′成135°和45°的坐標(biāo)系中的直觀圖．]2．對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是()A．三角形的直觀圖仍然是一個三角形B．90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°的角C．與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓．由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同B[對于A，根據(jù)斜二測畫法特點(diǎn)知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于B,90°的角的直觀圖會變?yōu)?5°或135°的角，故B錯誤；C，D顯然正確．]3．把△ABC按斜二測畫法得到△A′B′C′(如圖所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一個()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形A[根據(jù)斜二測畫法還原三角形在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC為等邊三角形，故選A.]4．一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20m、5m、10m，四棱錐的高為8m，若按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cmC[由比例尺可知長方體的長、寬、高和四棱錐的高分別為4cm,1cm,2cm和1.6cm，再結(jié)合斜二測畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺寸應(yīng)分別為4cm,0.5cm，2cm，1.6cm.]5．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)A[畫出其相應(yīng)平面圖易求，故選A.]二、填空題6．斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為．M′(4,2)[在x′軸的正方向上取點(diǎn)M1，使O′M1＝4，在y′軸上取點(diǎn)M2，使O′M2＝2，過M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線，則交點(diǎn)就是M′.]7．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為．2．5[由直觀圖知，由原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計算得AB＝5，所求中線長為2.5.]8．如圖所示，水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中D′是A′C′的中點(diǎn)，且∠ACB≠30°，則原圖形中與線段BD的長相等的線段有條．2[△ABC為直角三角形，因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以BD＝AD＝CD.所以與BD的長相等的線段有2條．]三、解答題9．如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀圖，試畫出原平面圖形△ABC.[解](1)畫法：過C′，B′分別作y′軸的平行線交x′軸于D′，E′；(2)在直角坐標(biāo)系xOy中．在x軸上取二點(diǎn)E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分別過E，D作y軸平行線，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.連接OB，OC，BC即求出