九江市2024年高三二模（第二次高考模擬統(tǒng)一考試）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

秘密★啟用前

九江市2024年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上?

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào),回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.

寫在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.若集合4=國1-2士三4},8={?1，一640}，貝(=

A.[-2,0]B.[0,4]C.[-2,6]D.[4,6]

2.已知z=>4,則z=

1—1

33.33.13.13.

AA.—+—iRB.———iLr.—+—inD.----

22222222

3.若函數(shù)/(4)=In(3+1)在(1,2)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-?,0)B.(-J,0)D.[-1,0)

4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-InternationalCongressofMathematicsEducation)在我國上

海華東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)中“ICME-14”

的下方展示的是八卦中的四卦~3、7、4、4,這是中國古代八進(jìn)制

計(jì)數(shù)符號(hào),換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是3x83+7x8?+4x殷+4x8°=

ICfllE*14

2020,正是會(huì)議計(jì)劃召開的年份,那么八進(jìn)制小J換算成十進(jìn)'三三三四

制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是

A.1B.3C.5D.7

5.在正方體3中，。為四邊形的中心，則下列結(jié)論正確的是

A.40〃gB.AO1B7)

C.平面40B_L平面CODD.若平面AOBn平面C。。=2,則2〃平面BCXD

6.已知(0,-y-),cos(a-^3)=搟,tana?tan/3=則a+0=

乙V

A噂B.；C.?D.空

3463

高考二模數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

7.在平面直角坐標(biāo)系”0,中，已知雙曲線C：4-《=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為r(6,0),P為C

上一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與c的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)。的兩點(diǎn).若1PMi?IHVI=

|■，則C的離心率為

A嚶B.卒C*D.6

434

8.已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)接于球0(圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上).若該圓臺(tái)的上、下底面半徑

分別為1和2,且其表面積為(5+蚯)蛆則球0的體積為

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.射擊作為一項(xiàng)綜合運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時(shí)保持

冷靜和專注.第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊(duì)以1896.6

環(huán)的成績獲得金牌,并創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后

三輪比賽中依次射擊，成績(環(huán))如下：

黃雨婷韓佳予王芝琳

第4輪105.5106.2105.6

第5輪106.5105.7105.3

第6輪105106.1105.1

則下列說法正確的是

A.三輪射擊9項(xiàng)成績極差為1.5

B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪

C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定

D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出

10.已知拋物線C：/=2/(P>。)的焦點(diǎn)為F,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在C上,若定點(diǎn)M(2,用

滿足1Mli=2|。歹則

A.C的準(zhǔn)線方程為“=-2B.APM尸周長的最小值為5

C.直線MF的傾斜角為？D.四邊形0PMF不可能是平行四邊形

11.已知函數(shù)了(”)的定義域?yàn)镽,wRJ(到)+%y=#(y)+雙％),則下列命題正確的是

A.于(%)為奇函數(shù)B.7(x)為R上減函數(shù)

C.若”別)，則由十)+?(%)為定值D.若犬2)=2,則部2%)=2046

高考二模數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分，

12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員數(shù)卿前往5個(gè)鄉(xiāng)村開展“五育”支牧進(jìn)鄉(xiāng)

村黨建活動(dòng)，每個(gè)鄉(xiāng)村才?且只花1人，則甲不派往鄉(xiāng)村4的選派方法有種，

13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理:三角形的寬心、麗心和外心

共線，這條線稱之為三角形的歐拉線，巳知4(0,2),8(4,2),C(%-1),且△ABC為眈7+

y^+EX+Fy=Q內(nèi)接三角形，則△4BC的歐拉線方程為.

14.在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,巳知4也。成等荻數(shù)列N+/=4,則△4BC

面積的最大值是^,(4疝必而?！?)爐=_

四、解答題:本題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步照

15.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/⑷=(2%-a)ln(%-l)+b(a,bcR)在4=2處的切線方程為3%-夕-2=0.

(1)求明b的值;

(2)判斷武%)的單調(diào)性.

16.(本小題滿分15分)

2023年10月10日，習(xí)近平總書記來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生

產(chǎn)小型污水處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85,2

號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,同時(shí)響應(yīng)號(hào)召，助力長江生

態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線(3號(hào))生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為

0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引進(jìn)3號(hào)生產(chǎn)線后,1,2號(hào)生產(chǎn)線各

承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù),3號(hào)生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放

在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.

(1)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；

(2)現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時(shí)，需幾臺(tái)同型號(hào)的設(shè)備同時(shí)

工作,現(xiàn)有兩種方?案選擇:方案一汲甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備價(jià)格30000元，可先購進(jìn)2臺(tái)設(shè)

備.若均為優(yōu)品』!|2臺(tái)就可以完成污水處理工作;若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺(tái)相同型號(hào)設(shè)

備才能完成污水處理工作.方案二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺(tái)23000元，需要三臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同

時(shí)工作，才能完成污水處理工作.從購買費(fèi)用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個(gè)方案,并說明理由.

高考二模數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

17.(本小題滿分15分)

如圖,三棱錐P-MC中,BCJ_平面P4C,BC=y§>C=3,PB=6,

點(diǎn)E滿碗=2戲,PE=1.

(1)證明:平面PBEJ■平面ABC；

(2)點(diǎn)0在AB上，且BE_LC。,求直線PA與平面PCD所成角的正

弦值.

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓嗒+*=l(a>6>0)和圓C：/+/=1,C經(jīng)過E的焦點(diǎn)，點(diǎn)A1為E的右頂

點(diǎn)和上頂點(diǎn),C上的點(diǎn)D滿店訪=抨.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線I與C相切于第一象限的點(diǎn)P,與E相交于M,N兩點(diǎn)，線段MV的中點(diǎn)為Q.當(dāng)

IPQI最大時(shí)，求，的方程.

19.(本小題滿分17分)

定義兩個(gè)九維向量生=(%1必,2產(chǎn)。，%“)，勺=(町1，町2,…，町”)的數(shù)量積6?勺外,1+

叼,2虧2+…+(iJeN+),%?%=a；,,記跖/為％的第左個(gè)分量?Wn且keN+).如

三維向量%=(2,1,5),其中勺的第2分量,,2=1.若由兀維向量組成的集合A滿足以下

三個(gè)條件:①集合中含有九個(gè)兀維向量作為元素;②集合中每個(gè)元素的所有分量取0或1；③

集合中任意兩個(gè)元素/，勺，滿足咨=域=T(T為常數(shù))且%?%=1.則稱A為T的完美n維

向量集.

(1)求2的完美3維向量集；

(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

(3)若存在4為T的完美兀維向量集，求證：4的所有元素的第k分量和S*=T.

命題人:周寶李高飛王鋒盧思良馮上旭黃芳楊玉露段訓(xùn)明林健航

高考二模數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

九江市2024年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.若集合4=5|-2WxW4},B={x|x2-6x^0},則AnB=(A)

A.[-2,0]B.[0,4]C.[-2,6]D.[4,6]

解:,.?3={x|xW0或x26},405=[-2,0],故選A.

2+i-

2.已知Z=---,則z=(D)

1-i

D33.c.14i3.

D.-------1D.—1

22222222

的2+i)(l+i)13._13

解：；z=-——-——-=-+-iz=一-i,故選D.

(l-i)(l+i)2222

3.若函數(shù)/(x)=ln(ax+l)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(C)

B.(-1,0)c.[-1,o)

A.(-oo,0)D.[-1,0)

解：由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，zz(x)=ax+l在(1,2)上單調(diào)遞減，.?.avO.由定義域可知，M(X)=OX+1>0

在(1,2)上恒成立，.?.〃(2)，0,綜上—.故選C.

22

4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-InternationalCongressof

MathematicsEducation)在我國上海華東師范大學(xué)舉行.如圖是

本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦

中的四卦——3、7、4、4,這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)，換

算成現(xiàn)代十進(jìn)制是3x8^+7x82+4x81+4x8°=2020，正

是會(huì)議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制數(shù)工^換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是(B)

10個(gè)7

A.1B.3C.5D.7

解:換算后的數(shù)是7x8°+7x8'+…+7x89=m二效=胡°-1,S'.S2^4,-的末位數(shù)字構(gòu)成以4為周期的

1—8

數(shù)列8,4,2,6,8,4,2,6,…，故8%-1的末位數(shù)字是3.故選B.

5.在正方體MCD—4用GA中，。為四邊形4月GA的中心，則下列結(jié)論正確的是(B)

A.AO//BC,B.AO1BD

平面平面。。

C.AOB1CD.若平面AOBA平面COD=1,貝心〃平面BCiD

解：A選項(xiàng)，連接AR,ADJIBC1,又?「AOAA。1=A,A錯(cuò)誤.

誤.

故選B.

7T51

6.已知a,尸￡(0,一),cos(a-y0)=—,tana?tan/=—,則。+〃=(A)

264

A.-B.-C.-D.—

3463

cosa-cosy0+sina-sin[3=%,cosa?cos尸二一,

解：由已知可得<解得:

sina-sin/?_1

sina-sin/3=—.

cosa-cos/74

?兀、

cos(a+P)=cosacosjff-sina-sinJ3=—,a+e(0,7r),.\a+J3=—.故選A.

y2

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:=1(a>6>0）的右焦點(diǎn)為尸（右,0）,P為C上一點(diǎn),

以O(shè)P為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)。的M,N兩點(diǎn).若1PMl.IPN|=|,則C的離心率為

（B）

A.亞B.巫UD.布

232

22

解:依題意得PMLOW,PNLON,設(shè)尸(x。,%),則殍-4=1,

ab

.|p版|一"%I!的+研』_1尢2__a2b2_a%2_6

/.a2b2=6,Xa2+Z?2=5,

V?左-a2+b2~c2~5~5

a>b>0,/.a=>/3,b=y/2,:.e=,故選B.

3

8.已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)接于球。（圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上）,若該圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1

和2,且其表面積為（5+30）兀，則球。的體積為（C）

32n20后兀

B.5兀

33

解:設(shè)圓臺(tái)母線長為/,上、下底面半徑分別為八和2，則圓臺(tái)側(cè)面積為

S側(cè)=九（6+々）/=Tix（l+2）x/=3幾/,上、下底面面積分別為兀和4兀.

?.?圓臺(tái)表面積為（5+30）兀，.?」=0,圓臺(tái)高/Z=J/2_（Q_4）2=萬斤=1.

設(shè)球。半徑為R,圓臺(tái)軸截面A3CD為等腰梯形，且A3=4,CD=2,高為1.作OM_L45于點(diǎn)M,

R2=4+—

設(shè)0加=%.；屋+。2=2<42,，球心。在圓臺(tái)外部，；［一‘解得x=l,R=逐，，球。

I/?2=l+（l+x）2,

的體積為史叵.故選C.

3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.射擊作為一項(xiàng)綜合運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時(shí)保持冷靜和專注.

第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊(duì)以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，并

創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）

黃雨婷韓佳予王芝琳

第4輪105.5106.2105.6

第5輪106.5105.7105.3

第6輪105106.1105.1

則下列說法正確的是（ABD）

A.三輪射擊9項(xiàng)成績極差為1.5

B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪

C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定

D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出

解:三輪射擊9項(xiàng)成績極差為106.5-105=1.5,A正確；第四輪的總成績?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績?yōu)?/p>

317.5環(huán)，第六輪的總成績?yōu)?16.2環(huán)，B正確；王芝琳的射擊成績最穩(wěn)定，C錯(cuò)誤；黃雨婷的平均成績約

為105.67,韓佳予的平均成績?yōu)?06,王芝琳的平均成績約為105.33,D正確.故選ABD.

10.已知拋物線。：/=2。乂（0>0）的焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在C上，若定點(diǎn)M（2,g）滿足

\MF\=2\OF\,則（BD）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2B.RPMF周長的最小值為5

C.直線的傾斜角為烏D.四邊形0PMp不可能是平行四邊形

解：：|明=?。?-#+3,|。川=§,由跖|=2卯|,得3P2+8p—28=0,解得p=2.C的方程為

丁=以，準(zhǔn)線方程為x=T,A錯(cuò)誤;過點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足為H,由拋物線定義知仍刊=|尸印,

△PMF周長為忸"I+|p尸I+|MF|=|尸〃|+忸冏+2,當(dāng)M,P,H三點(diǎn)共線時(shí)，忸間+忸冏取得最小值3,

.?.△PMF周長的最小值為5,B正確；,.,%//=漁二2=括，.?.直線M戶的傾斜角為巴，C錯(cuò)誤；過點(diǎn)”

MF2-13

作OF的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,可得尸的坐標(biāo)為號(hào),若)，此時(shí)忸閭=2-'=今引?？?，四邊形OPMF

不是平行四邊形，D正確.

故選BD.

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,Vx,yeR,/(孫)+孫=j/(y)+W(x),則下列命題正確的是(ACD)

A./(%)為奇函數(shù)B./(%)為R上減函數(shù)

11io

C.若XH0,則3(—)+—/(>)為定值D.若/(2)=2,則Z/(2，=2046

xx仁1

解：令x=y=l,得1=；令工=y=—1,得/㈠=4:令y=-1，得/■(㈤T寸㈠―/的，

即/(—x)=—/(x),二"X)為奇函數(shù)，A正確;

由/(—1)=—1,/(1)=1,知/(x)不可能為R上減函數(shù)，B錯(cuò)誤；

令y=_L,得/⑴+1=4(工)+!/(乃，即V(L)+L/(X)=2,C正確；

XXXXX

令3=2,得/(2冗)+2%=。(2)+2=(%),???八2)=2,??./(22=2/(%),故/(2〃)=2〃，

.?.￡/(2,=2+2?+…+2垃=2"2)=2046,D正確.

4=11-2

故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員教師前往5個(gè)鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活

動(dòng),每個(gè)鄉(xiāng)村有且僅有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有不種.

解:CM=96.

13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這

條線稱之為三角形的歐拉線.已知4(0,2),3(4,2),C(a,—1),且△A8C為圓/+/+&+4=0內(nèi)

接三角形，則△ABC的歐拉線方程為y=l.

22+2F=0fE=-4

解：依題意得4'解得〈'故圓心坐標(biāo)為(2,1),即△A3C的外心坐標(biāo)為

42+22+4E+2F=0,[F=-2.

(2,1).又△ABC的重心坐標(biāo)為(號(hào)二,1),故△ABC的歐拉線方程為y=l.

14.在△4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,A,c,已知A,3,C成等差數(shù)列，a2+c2=4,則aABC

面積的最大值是(4sinAsinC+3)/=12.

2

Jr

解：成等差數(shù)列，，2B=A+C,又A+C=7i—3,，臺(tái)二一，

3

-.■a2+c2=4^2ac，..ac^2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=后時(shí)取等號(hào)，

SA,?r=—(zcsinB=^-acW，故△ABC面積的最大值為^^

△*BC2422

由正弦定理得bsinA=asinB=@。，Z?sinC=csinB=—c，

22

(4sinAsinC+3)從=4(》sinA)(bsinC)+3/=4x等ax當(dāng)c+3/=3(ac+b2)，

2222222

由余弦定理得。2-a+c-2accosB-a+c-ac，BPac+&=a+c=4?

(4sinAsinC+3)&2=3x4=12.

(第一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(尤)=(2x-a)ln(x-l)+b(a,beR)在x=2處的切線方程為3x-y-2=0.

(1)求的值；

⑵判斷f(x)的單調(diào)性.

解：⑴r(x)=21n(x-l)+2二.....1分

x-1

由題意，/⑵=3,/(2)=4.....3分(每寫對(duì)一個(gè)得1分)

4-a=3且〃=4,即a=l,b=4.....5分(每寫對(duì)一個(gè)得1分)

9r-1

⑵由(1)知/(x)=21na-l)+-----(%>1)......6分

x-1

_1719r—

gU)=f'M=21n(x-1)+^―-,貝l」g(x)=----_-y=-~~.....7分

x-1x-1(x-1)(x-1)

當(dāng)時(shí)，g,(x)＜。；當(dāng)xe(|,+oo)時(shí)，g,(x)＞?！?分誨寫對(duì)一個(gè)得1分)

/(x)在(1,31)上單調(diào)遞減,在(3-,+oo)上單調(diào)遞增.....10分

3

y,(x)^/,(-)-4-21n2＞0......12分

/(X)在(l,+oo)上單調(diào)遞增.....13分

16.(本小題滿分15分)

2023年10月10日，習(xí)近平總書記來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水

處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85,2號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)

品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時(shí)響應(yīng)號(hào)召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更

環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線(3號(hào))生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為

良品.引進(jìn)3號(hào)生產(chǎn)線后，1,2號(hào)生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號(hào)生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三

條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.

(1)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；

（2）現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理,處理污水時(shí)，需幾臺(tái)同型號(hào)的設(shè)備同時(shí)工作.現(xiàn)有兩

種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備價(jià)格30000元，可先購進(jìn)2臺(tái)設(shè)備.若均為優(yōu)品，則2

臺(tái)就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺(tái)相同型號(hào)設(shè)備才能完成污水處理工作.方案

二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺(tái)23000元，需要三臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作，才能完成污水處理工作.從購買

費(fèi)用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個(gè)方案，并說明理由.

解：（1）設(shè)事件耳表示“產(chǎn)品來源于第，條生產(chǎn)線"（i=l,2,3）,事件A表示“取得良品”.

由全概率公式，可得尸（A）=尸（4）尸（川旦）+尸（員）尸（川82）+尸（53）尸（川鳥）.....1分

40.2x（1-0.85）]+[0.2x（1-0.8）1+[0.6x（1-0.95）]=（0?1}........5分

（每寫對(duì)一個(gè)得1分）

（2）由（1）可知，選擇甲企業(yè)同時(shí)購得兩臺(tái)優(yōu)品的概率為2=（1一0.1）乂（1一0.1）=0.81..........6分

.?.從甲企業(yè)購買設(shè)備只需要兩臺(tái)設(shè)備的概率為0.81,需要購買第三臺(tái)設(shè)備的概率為0.19.............8分

設(shè)從甲企業(yè)購買設(shè)備費(fèi)用為X,則X的所有可能取值為60000,90000..........10分

X的分布列為

￡（X）=60000x0.81+90000x0.19=65700（元）.....12分

選擇乙企業(yè)購買設(shè)備費(fèi)用為y,貝！|E（y）=3x23000=69000（元）.....14分

應(yīng)該選擇方案一.....15分

17.（本小題滿分15分）尸

如圖，三棱錐尸―ABC中，平面PAC,BC=BAC=3,PR=，A

點(diǎn)E滿足族=2瓦,PE=1.J

（1）證明：平面平面ABC；

（2）點(diǎn)。在AB上，且BE_LCD,求直線PA與平面PC。所成角的正弦值.'D

解：（1）證明：平面PAC,PE=平面PAC,3C,

同理BC_LPC..........1分

又點(diǎn)E滿足徑=2前，AC=3,:.CE=1..........2分

在Rt/XPBC中，PC7PB2-BC?=垃.....3分

在APCE中，-.?PE=CE=\,PC2=PE2+CE2,PE±AC...........4分

又ACC5C=C,AC,=平面ABC,「.PEI平面ABC..........5分

又「E=平面PBE,.?.平面PBEJL平面ABC.........6分

⑵由(1)知PE_L平面ABC,PEq平面PAC,.?.平面PAC_L平面ABC.

以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示........7分

則C(0,0,0),A(0,3,0),5(石,0,0),￡(0,1,0),尸(0,1,1),

PA=(0,2,-l)...............8分

設(shè)M—3/,0),則無=而+拓=(0,3,0)+(",一3?,0)=(后,3-3t,0),

=(-73,1,0)......9分

VBELCD,二麗?詼=0,即—6xV§?+lx(3—3t)+0x0=0,解得t=!，.\。為AB的中點(diǎn),

2

3

,1,0)............10分

設(shè)平面PCD的法向量為/=(x,y,z),而=(亭,|,0),而=(0,1,1),

m-CD=^-x+—y=0,

則422口分

m-CP=y+z=0,

不妨取x=6，則y=T,z-1,/.m=(V3,—1,1).......12分

I______|m-PA3

設(shè)直線與平面所成的角為e,sin=cos<14分

PAPCD01m,PA>1=m—PA=—5

3

故直線PA與平面PCD所成角的正弦值為-.....15分

5

18.（本小題滿分17分）

已知橢圓￡:4+成=1（。>>>0）和圓C：f+y2=i,C經(jīng)過E的焦點(diǎn)，點(diǎn)、A,B為E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),

ab

—,1—?

C上的點(diǎn)D滿足M=

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/與C相切于第一象限的點(diǎn)尸，與E相交于兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為。.當(dāng)|PQ|最大時(shí),

求/的方程.

解：⑴依題意得4（。,0）,3（0力）,由麗=g與，得。（冬,凈）.......1分

代入C的方程/+y2=i中，得駕+號(hào)=1,①........3分

又經(jīng)過E的焦點(diǎn)，r.c=l,即〃一反=1,②........5分

由①②解得。=也，b=l,E的方程為］■+;/=1........6分

(2)解法一：依題意，設(shè)/的方程為y=hc+￡>(%<0,^>0),M(玉,為)，N(x2,y2'),g(x0,y0)

7分

22

,門與C相切,—,網(wǎng)==1,BPfe=k+l9分

y/k2+l

2

V

^2

兩式相減得（々+,）（々一玉）+（為+M）（為_M）=0,即b2=-，......11分

12

出22k

一9

2+丁2=L

y=kx+bf

聯(lián)立方程組1解得飛=-學(xué)-,y0=—^—.....12分

y=——x,°2k2+1°2k2+1

[2k

當(dāng)|尸。|最大時(shí)，|。。|最大.....13分

.|CC|=2kb?」b、/(4P+1>2l(4k2+l)(k2+l)14k4+5/+1

⑷W2k2+l)%2+/一1(2/+1)2Y(2廿+1)2-]14k4+奴2+1

14分

?.?4/+/+422收~^+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)％=-［時(shí)取等號(hào).....15分

.?.|OQ|W=乎，即|。。|的最大值為孚，此時(shí)》=乎.....16分

故/的方程為工+④丁-蟲=0.....17分

解法二：依題意，設(shè)/的方程為x=/ny+〃（/n<0,及>0）,M（xl9yt）,N（x2,y2）?。（%,打），尸（孫為）

.....7分

x=my-\-n,

聯(lián)立方程組/化簡得(m2+2)y2+2mny+n2-2=08分

—+/=1,

.ZR22c八Zmnmn八八

由△A>0,得機(jī)一幾十2>0,%+%=—2—,y0=—9—.....9分

m+2m~+2

聯(lián)立方程組[；=?+n，化簡得(m2+1)/+2mny+n2-l=0......10分

[x2+y2=1,

由A=0,得/一/2=1,......ii分

y3m2+l

.?.|叫=歷小一訃歷西H-2：/+2）=Sr：J2；………14分

'八/（一加）+（）

tn

又?.?（-?!）+（—2），20,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=-應(yīng)時(shí)取等號(hào)，.?.|P0|W」產(chǎn)=立.....15分

當(dāng)|PQ\最大時(shí)，m=-5/2,n=y/i16分

故/的方程為x+0y-Q=0.......17分

19.(本小題滿分17分)

定義兩個(gè)〃維向量Xj,“)，%=(X〃，Xj,2,…，馬")的數(shù)量積%,?/=%%+Xi.2xj,2

+'"+xi,nxj,n(i,jeN+),，記小為小的第女個(gè)分量(女且keN+).如三維向量小

=(2,1,5),其中6的第2分量即2=1.若由〃維向量組成的集合A滿足以下三個(gè)條件：①集合中含有幾個(gè)

〃維向量作為元素；②集合中每個(gè)元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個(gè)元素％，勺，滿足/2=勺2

=T(T為常數(shù))且%?%.=1.則稱A為7的完美〃維向量集.

⑴求