山東濟(jì)寧市兗州區(qū)2023-2024學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

山東濟(jì)寧市兗州區(qū)2023-2024學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（x）=Asin（0x+0）（A>0,0〉0,時(shí)<1）的部分圖象如圖所示，則。,0的值分別為（）

71

C.2,

47

2x-y-6<0

目標(biāo)函數(shù)2=依+勿（。>。力>0）的最大值為40,則*+工的最小值是（

2.在-x-y+2>0條件下，）

ab

x+y>2

795

A.-B.-C.-D.2

442

3.已知雙曲線=：..的兩條漸近線與拋物線V=2px,5>0）的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、8,O為坐

a2b'

標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為若，則p=（）.

3

A.1B.-C.2D.3

2

4.數(shù)列｛4｝滿足％+4+2=2%+I(〃￡N[),日.q+42+%=9.%=8,則%=(

2117

A.—B.9C.—D.7

22

2x+y-2<0

5.已知滿足不等式組卜-2>-1<0,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是（）

%>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

4z

6.已知復(fù)數(shù)2=不'則Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

7.復(fù)數(shù)百（i為虛數(shù)單位）的共趣復(fù)數(shù)是

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

8.已知數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為4=2〃+2,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記口為數(shù)陣從左至右的〃歹！J,

n

從上到下的“行共I個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列丁的前2020項(xiàng)和為（)

1011201920201010

AR

A.JL>.u.

2020202020212021

9.已知三棱錐￡>-ABC的體積為2,ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且三棱錐￡>-ABC的外接球的球心。恰好

是CD中點(diǎn)，則球。的表面積為（）

52〃40〃25萬(wàn)

B.C.——D.24〃

333

10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第1天長(zhǎng)高3尺，蕪草第1天長(zhǎng)高1尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草

每天長(zhǎng)高前一天的2倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）

（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：1g3?0.4771,1g2?0.3010）

A.2B.3C.4D.5

11.已知集合4={%[=3（2—,},集合8=〈尤;<2Y4>,則AB=（）

A.{x|x>-2}B.{止2cx<2}C.{止24尤<2}D.{小<2}

12.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱ABC=4用￡中，。為8局的中點(diǎn)，R在AC上，且。尸，AG，則下述結(jié)論:

①AG，BC；②AF=RG；③平面D4G，平面AC。A：④異面直線AG與所成角為60°其中正確命題的

個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(%)=2爐'(e)lnx——,則函數(shù)/(%)的極大值為.

e

14.若［?一之］的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和是.

15.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護(hù)士到

湖北4、3兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士，其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地，共有種選

派方法.

16.已知復(fù)數(shù)z=(l+2i)(a+i),其中i是虛數(shù)單位.若z的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)。的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列也｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前幾項(xiàng)和分別為3,7；,且乙=2%=2,

b2s3-54,a2+T2-W.

(1)求數(shù)列｛a,J,｛2｝的通項(xiàng)公式;

(2)求+%Z?2+々3&++anbn；

Sm+Tm+\

(3)是否存在正整數(shù)加，使得恰好是數(shù)列｛a“｝或｛〃｝中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的加的值；若不

SmF

存在，說(shuō)明理由.

x=a+2t

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為口為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半

Iy=T

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為爐=.

3+sin3

(1)若a=—2,求曲線C與/的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過(guò)曲線。上任意一點(diǎn)尸作與/夾角為45。的直線，交/于點(diǎn)4,且|PA|的最大值為廂，求”的值.

19.(12分)已知非零實(shí)數(shù)a1滿足a<6.

(1)求證：a3-b3<Icrb-lalr;

(2)是否存在實(shí)數(shù)力,使得1_1恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)彳的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

ab

22

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓c：二+==1(?！?］〉0)的短軸長(zhǎng)為2,直線/與橢圓C相交

(Tb2

1IT

于A3兩點(diǎn)，線段43的中點(diǎn)為當(dāng)以與。連線的斜率為時(shí)，直線/的傾斜角為一

24

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若|A@=2,P是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：

21.(12分)函數(shù)/(x)=tzx-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的集合M；

(2)當(dāng)aeM時(shí)，判斷了(X)圖象與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：出2y0.69,尸“77)

22.(10分)已知拋物線一爐=2瞥(p>o)的焦點(diǎn)為尸，尸是拋物線「上一點(diǎn)，且在第一象限，滿足pp=(2,273)

(1)求拋物線「的方程；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線「于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)5(3,-6)和M的直線與拋物線「交于

另一點(diǎn)L,問(wèn)直線NL是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期T,根據(jù)周期公式求出。，求出A,根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)￡，1,求出9,即可求

得答案

【詳解】

q0皿EA-rk3T117T7C3?

由函數(shù)圖象可知：—=—

41264

T=兀，

:.(o=ZA=1

函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(鄉(xiāng),1〕

/.l=sin^2x—+^?j,

I1^1I<-?>則ErI"=xn

故選。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是y=Asin(@x+0)的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周

期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果

2、B

【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.

【詳解】

如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：

當(dāng)x=8,〉=10時(shí)，z=8a+10Z?有最大值為40,即z=8a+10A=40,故4a+5〃=20.

1__25b4〃1（25+2而5）=；.

25+——+——>

20ab

當(dāng)理4a104

—,即時(shí)等號(hào)成立.

ab33

故選：B.

本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

3、C

【解析】

試題分析：拋物線丁2=2〃%,(〃>0)的準(zhǔn)線為％=—5,雙曲線的離心率為2,則/=與=1+彳=4,

2aa

SMOB=；X/PX

丁收漸近線方程為尸土氐’求出交點(diǎn)4—g苧)，B(.%

—=p2=S')則P=2；選C

24

考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程;

4、A

【解析】

先由題意可得數(shù)列僅“｝為等差數(shù)列，再根據(jù)4+出+%=9,2=8,可求出公差，即可求出火?

【詳解】

數(shù)列｛4｝滿足%+a,.=2?！?"eN*),貝！|數(shù)歹(J｛4｝為等差數(shù)列,

6Zj+a2+。3=9,。彳~~8,

34+3d=9,〃]+3d=8,

d=一,

2

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，計(jì)算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區(qū)域如圖：

y

D(0,-1),C(0,2),忸必=岑，忸C|=6所以陰影部分面積%。=婀卜的+冬逐=}

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

6、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,由此求得z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】

4/(1—z)/、/、

依題意z=/1\J=2，(_，)=2+2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(2,2),在第一象限.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

分析：化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)z,由共甄復(fù)數(shù)的定義可得.

22(l+z)

詳解：化簡(jiǎn)可得2=1二=八

1—z—z)(l+1)

；.Z的共輸復(fù)數(shù)為1-i.

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，涉及共朝復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為q,可得q=q+4+i+...+a“+i_j="("+2i+l),繼而可求解

,n1

d=G+。2+…+C"=2〃~(〃+1),表示一=丁;^—,裂項(xiàng)相消即可求解?

bn2n(n+1)

【詳解】

由題意，設(shè)每一行的和為。

故1%.+%+...+"=&+?)〃=心+2”

2

因此：bn=q+(72+.?.+g-〃[(〃+3)+(〃+5)+...+(〃+2〃+1)]=2n(n+l)

〃]1J1、

bn2n(n+1)2nn+1

5111111、1、1010

2020222320202021220212021

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9、A

【解析】

根據(jù)。是CD中點(diǎn)這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.

【詳解】

解：設(shè)。點(diǎn)到平面ABC的距離為〃,因?yàn)椤Ｊ荂D中點(diǎn),

所以。到平面ABC的距離為-,

2

三棱錐D-ABC的體積；S

V=/z=--—x2x2xsin60°-/z=2,解得力=2.百,

32

作OO'，平面ABC,垂足。為A6c的外心，所以CO'=2叵，且。。'=

3

所以在RtCOO中，OC=J"+002=Jy,此為球的半徑,

oA1352加

S=4萬(wàn)尺2=4萬(wàn)——=----

33

故選：A.

D

【點(diǎn)睛】

本題考查球的表面積，考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.

10、C

【解析】

3,

2"-1

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得:2x解出即可得出.

62-1

【詳解】

n-1

由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為4=|也=lx2〃T

據(jù)題意得：2x解得2?=12,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11、C

【解析】

求出集合的等價(jià)條件，利用交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：???4={小<2},3=卜卜2Vx<2},

/.Ar\B=^x\-2<x<2},

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過(guò)直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷歹是AG的中點(diǎn)推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線AG與8所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2,對(duì)于①連結(jié)A8],則A2]=AG=2&,出產(chǎn)90。即AQ與AG不垂直，又BC//BG，

二①不正確；

對(duì)于②，連結(jié)AD,DC1,在AA￡>G中，AD=DCl=^5,而。尸，AC1，，歹是AG的中點(diǎn)，所以AF=口￡,..?②

正確；

對(duì)于③由②可知，在AADG中，。尸=6，連結(jié)。尸，易知。尸=夜，而在口的^口中，8=百，..DF2+CF2=CD2,

即DF_LCF,又DE，ACl，.?.JDF，面ACGA，二平面。AG，平面ACGa，?^?③正確；

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面A^iG上過(guò)A點(diǎn)垂直于AG的直線為X軸，AG所在的直線為y軸，AA所在的直線為z軸,

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；

A(0,0,0),4(疝1,0),G(0,2,0),4(0,0,2),C(0,2,2),D(^,l,l)；

AG=(0,2,-2),cr)=(A/3,-i,-i)；

異面直線AG與CD所成角為。，cose=旨：=0,故。=90。.④不正確.

IAC1||CD|

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力

以及邏輯推理能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2In2

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)賦值，求得/'(e),再對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，求得極大值.

【詳解】

廣⑴/火,)」，故尸(e)=

xeee

ix71

解得r(e)=—,〃x)=2E——,r(x)=——

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函數(shù)在(O,2e)單調(diào)遞增，在(2e,+o>)單調(diào)遞減，

故f(x)的極大值為〃2e)=2In2e-2=2In2

故答案為：2hi2.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值的求解，難點(diǎn)是要通過(guò)賦值，求出未知量/'(e).

14、1

【解析】

由題意得出展開(kāi)式中共有11項(xiàng)，〃=10；再令x=l求得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和.

【詳解】

由17[

的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

所以展開(kāi)式中共有11項(xiàng)，所以〃=10；

令x=l,可求得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和是:

(1-2)10=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15、24

【解析】

先求出每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)，再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.

【詳解】

解：每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有C；C；=40,

若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有=16,

則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有40-16=24.

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用間接法求排列組合問(wèn)題，正難則反，是基礎(chǔ)題.

16、-3

【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)?的值.

【詳解】

解：z=(l+2z)(a+z)=(a-2)+(l+2a)z的實(shí)部與虛部相等，

所以a-2=l+2a,計(jì)算得出。=—3.

故答案為：-3

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

n1

17、(1)an=2n-l,bn=2-3-;(2)=2(n-l)-3"+2；(3)存在，1.

【解析】

(1)利用基本量法直接計(jì)算即可；

(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；

(3)?+勺=(eN*,令療I1：3：=L,LeN*可得(L-D(加=?-翦,1＜，,3,討論即可.

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為4,

因?yàn)?=2%=2,b2s3-54,%+5=11,

f3

r2g(3+3d)=54rg(l+d)=9rq=3q=-

所以「』cc「，即：c。，解得:c，或2(舍去).

l+d+2+2g=lld+2g=8d-2d5

所以=2n-l,bn=2-3'T.

2n1

(2)Mn=axb｛+a2b2+/&+…。也=1X2+3X2X3+5X2X3+—F(2n-l)x2x3~,

2n-1W

3Mn=1X2X3+3X2X3++(2n-3)x2x3+(2n-1)x2x3,

所以-2〃“=2+4(3+32+,+3"T)_QDX2X3〃，

=2+4>3（；―；）_（4“_2）義3"=_4-（4“_4>3'

所以/“=2（〃一l>3"+2.

(3)由(1)可得S〃=",

所以與+&=癡—1+3,向

Sm+Tm/—1+3-

因?yàn)槭畮菙?shù)列｛」“｝或也｝中的一項(xiàng)，所以二［“=SeN*,

。加十。機(jī)一1+3

所以(L-D(m2-1)=(3-L)r,因?yàn)榧?—10,3恒>0,

所以1<43,又LeN*,則L=2或L=3.

當(dāng)L=2時(shí)，有(毋-1)=3"'，即?1二Q=i，令=

\/3m3'"

(m+1)2-1m2-12m2-2m—3

貝！I/(m+l)-/(m)=

T3加+1

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/(I)</(2)；當(dāng)加之2時(shí)，/(m+l)-/(m)<0,

即/(1)</(2)>/(3)>/(4)>....

由〃1)=0"(2)=：,知叵二Q=i無(wú)整數(shù)解.

3T

相2―1+3加+1

當(dāng)L=3時(shí)，有加2一1=o,即存在m=1使得=3是數(shù)列｛4｝中的第2項(xiàng)，

S+T

故存在正整數(shù)m=1,使得手才是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前“項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問(wèn)題，是

一道較為綜合的題.

18、(1)(—2,0),^1,—；(2)a=l或a=—1

【解析】

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線/的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求得曲線C與/的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由直線/的普通方程為x+2y-a=0,故C上任意一點(diǎn)P(2cosa,6sina),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得產(chǎn)到

直線/的距離，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，即可求得答案.

【詳解】

(/1)、212

3Q2+p2sin2^=12.

x=pcos6.、

由<,八，得3/+4/=12,

y=psmtf

22

曲線C的直角坐標(biāo)方程為L(zhǎng)+匕=1.

43

當(dāng)。=—2時(shí)，直線/的普通方程為x+2y+2=0

x+2y+2=0x=l

x=-2

由＜x2y2解得＜或＜3.

——+—=1y=0y=——

[432

從而。與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),

(2)由題意知直線/的普通方程為x+2y-a=0,

x-2cosa

C的參數(shù)方程為（。為參數(shù)）

y=y/3sina

故C上任意一點(diǎn)/3(2851,石51111)至1"的距離為

4sin[a+：

一CL

12cosa+2y/3sina-a|

d=

n

母4sinCCH---

則d6

AJ|PA|=-=\[ld=

sin45

yf2|-4—u|

當(dāng)，之。時(shí)，1PAi的最大值為=所以a=1；

6

當(dāng)。＜0時(shí)，IPAI的最大值為且口

回,所以a=—1.

綜上所述，。=1或。=一1

【點(diǎn)睛】

解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，和點(diǎn)到直線距離公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬

于中檔題.

19、⑴見(jiàn)解析(2)存在，AG[-1,3]

【解析】

(1)利用作差法即可證出.

(2)將不等式通分化簡(jiǎn)可得"+"-24,討論"＞0或。6＞0,分離參數(shù)，利用基本不等式即可求解.

abab

【詳解】

(1”3一/一(2〃%-2加)-6)(/+ab+b2^-2ab^a-b^

=(a-6)("-cib+b2)=(〃-6)

a<b,:.a-b<0

又|―+|/>。

J.a3-Z?3<2a2b-lab1

（2）5a11

>2

.瓦ab

即叱之

abg”ab

口口b2+ab+a2

即----------K——

ab

①當(dāng)"〉。時(shí)，（*）即於今產(chǎn)4+於恒成立

ba八

-+->2.b2=2

abab

（當(dāng)且僅當(dāng)。=%時(shí)取等號(hào)），故4<3

②當(dāng)時(shí)"<。,（*）入勺/=:+卜|恒成立

ba

—I—=一

ab

（當(dāng)且僅當(dāng)〃=-6時(shí)取等號(hào)），故；IN—1

綜上，2e[-l,3]

【點(diǎn)睛】

本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

20、（1）y+/=l；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由短軸長(zhǎng)可知匕=1,設(shè)BO2,%)，由設(shè)而不求法作差即可求得上&=-1?二土乜，將相應(yīng)值

玉一龍2礦%+%

代入即求得a=行，橢圓方程可求；

(2)考慮特殊位置，即直線/與％軸垂直時(shí)候，|。升=1<6成立，當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)出直線/方程>="+相，

與橢圓聯(lián)立，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，弦長(zhǎng)公式，得到加與人的關(guān)系，將|。加廣表示出來(lái)，結(jié)合基本不等式求最值，證

明最后的結(jié)果

【詳解】

解：(1)由已知，得匕=1

(22

工+j

2/2

由“22，兩式相減，得

互+江=1

%一為_(kāi)2尤1+%

-------------b--.--------

2

%a-%+%

根據(jù)已知條件有，

、,，西+々

=一2時(shí),%一%=1

xl-x2

??—=-,即a=V2

a~2

橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+

(2)當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，|。"=1<6，不等式成立.

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=Ax+m

y=kx+m得(2左2+I)為2+4板+2祖2—2=0

由<

x2+2y2=2、)

—4km2m2-2

.?…2=k”*J，A=16^2-8m2+8>0

-2kmm4V+1

?M,\0Mf=?m2

2R+I'2/+I??(2r+1廣2

由I陰二VTT"也匹型HZ=2

IIO27k.2-+111

2/+1

化簡(jiǎn),得加2=

2k2+2

4k2+12k2+1

(2如+)2左2+2

4k2+1

(2左2+1)(242+2)

令4父+1=此1，則

4

-3-

/+—+4

t

當(dāng)且僅當(dāng)。=石時(shí)取等號(hào)

?,.|OAf|<74-2V3=73-1

?.,|(9P|<|(9M|+1

.,.|0P|<V3

當(dāng)且僅當(dāng)左2=1二1時(shí)取等號(hào)

4

綜上，|。尸歸也

【點(diǎn)睛】

本題為直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓方程的求法，點(diǎn)差法處理多未知量問(wèn)題，能夠利用一元二次方程的知識(shí)轉(zhuǎn)

化處理復(fù)雜的計(jì)算形式，要求學(xué)生計(jì)算能力過(guò)關(guān)，為較難題

21、(1){1}；(2)2個(gè)，證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)要/(%)-0恒成立，只要/'(X)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看y(x)是否有最小值;

(2)將/(%)圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后構(gòu)造函數(shù)

以尤)=/(%)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)/(X)的定義域?yàn)?T,+8),因?yàn)?'(x)=a-——,

x+1

1。當(dāng)6,0時(shí)，/'(%)<0,/(乃在去€(。,收)上單調(diào)遞減，*e(O,+⑹時(shí)，使得/。)</(0)=0,與條件矛盾;

2。當(dāng)。>0時(shí)，由尸(x)<0,得—l<x<Ll；由尸(x)>。，所以f(x)在JJ—1］上單調(diào)遞減,

aayaJ

在］1,+s］上單調(diào)遞增，即有九Mx)="=l—a+lna,由/(無(wú))-0恒成立，所以1—a+lna.O恒成立,

11—Q

令h(a)=1-a+Ina(a>0),h'(d)=-1+—=-----,

aa

若0<a<1,h'(d)^0,h(a)<h(l)=0；

若a>1,/z'(a)<0,/z(a)</z(l)=0；而a=l時(shí)，/?(a)=0,要使l-a+lna..0恒成立,

故ac{l}.

(2)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題,

當(dāng)。=1時(shí)，圖象與g(x)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下:

由/(x)=g(x),即x-ln(x+l)-sin尤=0,令0(無(wú))=x-ln(x+l)-sinx,

因?yàn)?(0)=0,所以x=0是。(%)=0的一根；<p'(x)=1——-——cosx,

x+1

1°當(dāng)—1<x<0時(shí)，1一一—(0,cosx)0,

X+1

所以“(%)<0,°(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，9(%)>奴0)=0,即以%)=0在(-1,0)上無(wú)實(shí)根;

2。當(dāng)0<x<3時(shí)，=1+sinx>0,

(尤+1)

則。⑴在(。,3)上單調(diào)遞遞增,又"5=1一力〉0#'(0)=—1<0,

,1

所以9(x)=0在(0,3)上有唯一實(shí)根x,xelo,|且滿足

oo1———=cosx0,

%+1

①當(dāng)0<X,天時(shí)，9'(x),,0,9(x)在(0,%］上單調(diào)遞減，此時(shí)9(%)<0(0)=0,0(%)=。在(0,%］上無(wú)實(shí)根；

二1

②當(dāng)x0<x<3時(shí)，0'。)>0,0(%)在(％,3)上單調(diào)遞增，=5—1—ln［W+1=lnj