高考沖刺資源培優(yōu)沖刺06三角函數(shù)與解三角形歸類（含答案解析）

培優(yōu)沖刺06三角函數(shù)圖像性質(zhì)與解三角形歸類TOC\o"1-3"\p""\h\z\u目錄題型一：圖像求解析式··························································································································1題型二：恒等變形與性質(zhì)·····················································································································3題型三：利用對(duì)稱性求零點(diǎn)和············································································································3題型四：能成立與恒成立求參數(shù)·······································································································4題型五：圖形1：四邊形型················································································································5題型六：圖形2：中線型·····················································································································6題型七：圖形3：角平分線型············································································································7題型八：圖形5：三角形高·················································································································8題型九：圖形6：中線與重心型········································································································8題型十：圖形綜合：定比分點(diǎn)型·······································································································9題型十一：范圍與最值1：基礎(chǔ)型····································································································9題型十二：范圍與最值2：邊系數(shù)不對(duì)稱型·················································································10題型十三：范圍與最值3：無邊長(zhǎng)型·······························································································10題型十四：范圍與最值4：比值型····································································································11題型十五：范圍與最值5：角邊互錯(cuò)型···························································································12題型十六：范圍與最值6：角度最值型···························································································12題型十七：范圍與最值7：范圍綜合型···························································································13題型十八：相等角度轉(zhuǎn)化型·················································································································13題型十九：壓軸19題1：三角與數(shù)列結(jié)合型················································································13題型二十：壓軸19題1：三角函數(shù)型新定義················································································14題型一：圖像求解析式形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及性質(zhì)(1)圖像變換：①相位變換：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的規(guī)則是：左加(φ＞0)或右減(φ＜0)|φ|個(gè)單位；②周期變換：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的規(guī)則是：縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小(伸長(zhǎng))為原來的|eq\f(1,ω)|倍；③振幅變換：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的規(guī)則是：橫坐標(biāo)不變，將縱坐標(biāo)縮小(伸長(zhǎng))為原來的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)變換規(guī)則是：先提取后者x的系數(shù)ω，然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|個(gè)單位；(2)基本性質(zhì)：①定義域：解三角函數(shù)不等式用“數(shù)形結(jié)合” ②值域：由內(nèi)向外 ③單調(diào)性：同增異減(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|) ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)對(duì)稱性：換元思想，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．①對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；②對(duì)稱中心：零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；正弦“第一零點(diǎn)”：；正弦“第二零點(diǎn)”：余弦“第一零點(diǎn)”：；余弦“第二零點(diǎn)”：1．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為.

(1)求的解析式；(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，且.

(1)求與的值；(2)若斜率為的直線與曲線相切，求切點(diǎn)坐標(biāo).題型二：恒等變形與性質(zhì)利用二倍角和降冪公式等進(jìn)1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆開2.“重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”進(jìn)行恒等變形1.（2024·北京順義·二模）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)已知時(shí)，單調(diào)遞增，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求m的最大值.條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.2．（2024·山東聊城·一模）在梯形中，，設(shè)，，已知.(1)求；(2)若，，，求.3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知是斜三角形．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．題型三：利用對(duì)稱性求零點(diǎn)和1．（22-23高三·山西忻州·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，和是的兩個(gè)零點(diǎn)，求的值和的取值范圍．2．（22-23高三·上海楊浦·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的最小正周期為π，且直線是其圖像的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)的解析式，并指出該函數(shù)的振幅、頻率、圓頻率和初始相位；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到新的函數(shù)，已知函數(shù)(λ為常數(shù)且λ∈R)在開區(qū)間(0，nπ)(n∈N且n≥1)內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)λ和n的值.3．（23-24高三上·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.題型四：能成立與恒成立求參數(shù)一般地，已知函數(shù)，（1）相等關(guān)系記的值域?yàn)锳,的值域?yàn)锽,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；（2）不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．1．（2023·山東濟(jì)寧·二模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在上的值域?yàn)?，求的取值范圍?．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2022·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型五：圖形1：四邊形型四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對(duì)角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對(duì)角互補(bǔ)這個(gè)隱形條件四邊形面積最值型，一般用某一條對(duì)角線，把四邊形分為兩個(gè)三角形，有公共邊的兩個(gè)三角形個(gè)再各自用余弦定理，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．2．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)求的取值范圍．3．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，，，.(1)求的面積；(2)求線段的長(zhǎng)度.題型六：圖形2：中線型.中線的處理方法1.向量法：2.余弦定理法（補(bǔ)角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)?，所以所以?②式即可3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形中線分割的倆三角形面積相等1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求；(2)若面積為，求邊上中線的長(zhǎng)．2．（2024·北京東城·一模）在中，.(1)求；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的值.3．（2024·四川瀘州·三模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且的面積為.(1)求的值；(2)若是邊的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng).題型七：圖形3：角平分線型角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分）：三角形角平分線的處理方法：1．（23-24高三·浙江杭州·）在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角；(2)若是的角平分線，且，，求的面積2．（23-24高三山東·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足(1)求；(2)的角平分線與交于點(diǎn)，求的最小值.3．（23-24高三黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長(zhǎng)．題型八：圖形5：三角形高三角形高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如2.三角函數(shù)法：1.（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，三角形三邊上的高之比為.(1)求的值；(2)若為邊上一點(diǎn)，，，求的長(zhǎng).2.（江蘇省南通市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，.(1)求；(2)若邊AB上的高為1，求的面積.3.（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足．(1)當(dāng)A為何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，最大值是多少？(2)若等于邊AC上的高h(yuǎn)，求的值．題型九：圖形6：中線與重心型1.（2022春·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．(1)求C的大小；(2)若G是的重心，求面積的最大值．2.（2023春·河北秦皇島·高三?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.3.（2023秋·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝6，．(1)求A的大??；(2)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，___________，求△ABC的面積．請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使△ABC存在，并解決問題．①M(fèi)為△ABC的外心，AM＝4；②M為△ABC的重心，；③M為△ABC的內(nèi)心，．(注：三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心，三角形的三條中線的交點(diǎn)稱為重心，三角形的三條角平分線的交點(diǎn)稱為內(nèi)心)題型十：圖形綜合：定比分點(diǎn)型1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若點(diǎn)在線段上，且滿足，求面積的最大值．2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角、、的對(duì)邊分別是．(1)求角的大??；(2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．3.（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．題型十一：范圍與最值1：基礎(chǔ)型在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.1.（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下面的問題．①，②，③．(1)求角的大??；(2)若外接圓的面積為，求的最大值．2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，且．(1)求B的大小；(2)求面積的最大值．3.．（2024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)證明：；(2)若，求當(dāng)面積最大時(shí)的值.題型十二：范圍與最值2：邊系數(shù)不對(duì)稱型解三角形：最值范圍可以用余弦定理+均值不等式來求解?？梢岳谜叶ɡ恚Y(jié)合角與角所對(duì)應(yīng)的邊，轉(zhuǎn)化為角的形式，再進(jìn)行三角恒等邊形，化一，求解最值與范圍，要注意三角形是否有“銳角、鈍角”三角形的角度范圍限制1.（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求角，并計(jì)算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．2．（2024·山西呂梁·一模）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．3．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．題型十三：范圍與最值3：無邊長(zhǎng)型有角無邊型1.一個(gè)角為定值，則另外倆角和為定值，所以可以消角。2.注意銳角三角形，或者鈍角三角形對(duì)角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對(duì)每個(gè)角都要用不等式范圍求解。3.有角無邊型，如果出現(xiàn)邊，多為邊的比值齊次式型，一般可以用正弦定地來邊化角轉(zhuǎn)化1．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．3．（2024·遼寧·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．題型十四：范圍與最值4：比值型最值范圍：分式比值型化邊為角型通過正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式對(duì)單變量（單角）求最值。角化變型：主要用余弦定理，然后再借助均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化1．（2024·山西朔州·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．2．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，滿足.(1)求角；(2)求的取值范圍.3．（23-24高三上·山東棗莊·）在中，角所對(duì)的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.題型十五：范圍與最值5：角邊互錯(cuò)型正弦定理轉(zhuǎn)化，要以有長(zhǎng)度的邊為主轉(zhuǎn)化，消邊化角求最值范圍1.（2023·江西·校聯(lián)考二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足(1)設(shè)，，過B作BD垂直AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，求的值；(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍．3.（2022·湖南·湘潭一中高三階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．題型十六：范圍與最值6：角度最值型銳鈍角限制型注意銳角三角形，或者鈍角三角形對(duì)角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對(duì)每個(gè)角都要用不等式范圍求解1.（22-23高三浙江寧波·階段練習(xí)）記銳角的內(nèi)角為，已知.(1)求角的最大值；(2)在銳角中，當(dāng)角為角A的最大值時(shí)，求的取值范圍.2.（2021·黑龍江大慶·一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的最大值．（2）若?。?）中最大值，，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的值．3.（20-21高三·河南南陽(yáng)·）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的最大值；（2）當(dāng)角最大時(shí)，若，求的面積.題型十七：范圍與最值7：范圍綜合型1.（23-24三·浙江·模擬）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足(1)求角的值；(2)若且，求的取值范圍．2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大??；(2)若，且為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍；(3)若，且外接圓的半徑為2，圓心為O，P為圓O上的一動(dòng)點(diǎn)，試求的取值范圍．3．（22-23高三遼寧鞍山·期中）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且_________．(1)求A；(2)若，求線段AD長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．題型十八：相等角度轉(zhuǎn)化型1．（23-24高三·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求的取值范圍．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別為角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)若，，，求的值；(2)若，求的值．題型十九：壓軸19題1：三角與數(shù)列結(jié)合型1．（2024·上海青浦·二模）若無窮數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱是周期為的周期數(shù)列．(1)若（其中正整數(shù)m為常數(shù)，），判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(2)若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；(3)設(shè)是無窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．2．（2024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為．(1)試求，，，的值；(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p，q；②計(jì)算，歐拉函數(shù)；③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；④其中稱為公鑰，稱為私鑰．已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2024·上?！ざ＃┕潭?xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：；②兩角和公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；(2)當(dāng)時(shí)，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；(3)無窮數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.題型二十：壓軸19題1：三角函數(shù)型新定義對(duì)新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)：（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn)（2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.1．（2024·安徽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；(3)向量（稱為行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設(shè)是一個(gè)二階矩陣，，是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：．2．（23-24高三江蘇常州·）三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件時(shí)，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角．如圖，在中，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為．(1)若．求證：①（為的面積）；②為等邊三角形．(2)若，求證：．3．（23-24高三廣東廣州·）對(duì)于函數(shù)及實(shí)數(shù)m，若存在，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)．(1)若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；(2)已知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿足；①在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1；②對(duì)任意，有．求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．

培優(yōu)沖刺06三角函數(shù)圖像性質(zhì)與解三角形歸類TOC\o"1-3"\p""\h\z\u目錄題型一：圖像求解析式··························································································································1題型二：恒等變形與性質(zhì)·····················································································································5題型三：利用對(duì)稱性求零點(diǎn)和············································································································9題型四：能成立與恒成立求參數(shù)·····································································································12題型五：圖形1：四邊形型················································································································15題型六：圖形2：中線型·····················································································································18題型七：圖形3：角平分線型············································································································20題型八：圖形5：三角形高·················································································································23題型九：圖形6：中線與重心型········································································································26題型十：圖形綜合：定比分點(diǎn)型·······································································································29題型十一：范圍與最值1：基礎(chǔ)型····································································································32題型十二：范圍與最值2：邊系數(shù)不對(duì)稱型·················································································34題型十三：范圍與最值3：無邊長(zhǎng)型·······························································································36題型十四：范圍與最值4：比值型····································································································39題型十五：范圍與最值5：角邊互錯(cuò)型···························································································41題型十六：范圍與最值6：角度最值型···························································································43題型十七：范圍與最值7：范圍綜合型···························································································45題型十八：相等角度轉(zhuǎn)化型·················································································································48題型十九：壓軸19題1：三角與數(shù)列結(jié)合型················································································51題型二十：壓軸19題1：三角函數(shù)型新定義················································································55題型一：圖像求解析式形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及性質(zhì)(1)圖像變換：①相位變換：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的規(guī)則是：左加(φ＞0)或右減(φ＜0)|φ|個(gè)單位；②周期變換：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的規(guī)則是：縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小(伸長(zhǎng))為原來的|eq\f(1,ω)|倍；③振幅變換：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的規(guī)則是：橫坐標(biāo)不變，將縱坐標(biāo)縮小(伸長(zhǎng))為原來的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)變換規(guī)則是：先提取后者x的系數(shù)ω，然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|個(gè)單位；(2)基本性質(zhì)：①定義域：解三角函數(shù)不等式用“數(shù)形結(jié)合” ②值域：由內(nèi)向外 ③單調(diào)性：同增異減(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|) ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).(3)對(duì)稱性：換元思想，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．①對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；②對(duì)稱中心：零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；正弦“第一零點(diǎn)”：；正弦“第二零點(diǎn)”：余弦“第一零點(diǎn)”：；余弦“第二零點(diǎn)”：1．（2024·甘肅·一模）如圖，角的始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為到直線的距離為.若將關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系記為.

(1)求的解析式；(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)和【分析】（1）根據(jù)條件得到直線的方程，利于點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可;（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)則得到函數(shù)解析式后，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）可知，又直線的方程為，故根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即.（2）可知，由，得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖象易得和周期，結(jié)合可得結(jié)果；（2）根據(jù)平移和伸縮變換可得，進(jìn)而由整體法即可求解函數(shù)的值域.【詳解】（1）觀察圖象可得，函數(shù)的周期，解得，即，由，得，即，，而，則，所以函數(shù)的解析式是.（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，因此在上的值域?yàn)?3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，且.

(1)求與的值；(2)若斜率為的直線與曲線相切，求切點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)，(2)或【分析】（1）在中，由射影定理得長(zhǎng)，即個(gè)周期，從而待定，再由求解即可；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線斜率，求解切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)向軸引垂線交于點(diǎn)，由正弦曲線的性質(zhì)知，由射影定理知，而，∴，∴，∴，由，解得.當(dāng)時(shí)，由，且由已知圖象及五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法，得，由，則當(dāng)時(shí)，；所以有，；

（2）由（1）知，設(shè)切點(diǎn)，∴則，∴，則，∴或，且，∴故其切點(diǎn)坐標(biāo)為或.題型二：恒等變形與性質(zhì)利用二倍角和降冪公式等進(jìn)1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆開2.“重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”進(jìn)行恒等變形1.（2024·北京順義·二模）已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)已知時(shí)，單調(diào)遞增，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求m的最大值.條件①：；條件②：；條件③：的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換公式，將代入計(jì)算即可得；（2）若選②，將與計(jì)算出來，即可得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；若選③，借助函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算即可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；不可選①，代入計(jì)算后，結(jié)合三角函數(shù)的值域可知此時(shí)函數(shù)不存在.【詳解】（1）法一：，即可得，又，所以；法二：，所以即得，又，所以；（2），選擇②，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈淖钚≌芷?，，所以由可得，所以，；或法二：因?yàn)?，，所以即，因?yàn)?，所以，；選擇③，，的圖像與直線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即可得，所以，又，所以，法一：令，，解得，即的單增區(qū)間為，又時(shí)，單調(diào)遞增，所以，是的一個(gè)子區(qū)間，所以，，即可得，又，所以，故是的一個(gè)子區(qū)間，所以m的最大值為；法二：因?yàn)?，，所以，因?yàn)樵谏蠁卧?，所以，，即可得，，，所以，所以，可得m的最大值為.不可選擇條件①，理由如下：若，則，即，由，故該方程無解，故函數(shù)不存在，故不可選①.2．（2024·山東聊城·一模）在梯形中，，設(shè)，，已知.(1)求；(2)若，，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助兩角和與差的正弦公式、兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)所給式子可得，結(jié)合圖形可得，即可得；（2）借助正弦定理與余弦定理計(jì)算即可得.【詳解】（1），即，即，即，即，又，故，即，又，故；（2）由，故，由正弦定理可得，即，故，則，由余弦定理可得，即，故.

3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知是斜三角形．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)積化和差與和差化積公式，二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可得證；（2）根據(jù)（1）及兩角和的余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，均值不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，原式得證.（2）由，由二倍角的余弦公式可整理得：．

結(jié)合（1）得．由題設(shè)知，則．所以，故，且．

所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)．所以的取值范圍是．題型三：利用對(duì)稱性求零點(diǎn)和1．（22-23高三·山西忻州·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，和是的兩個(gè)零點(diǎn)，求的值和的取值范圍．【答案】(1)(2)；【分析】（1）由倍角公式、和差公式化簡(jiǎn)，由整體法根據(jù)對(duì)稱軸求得，即可由整體法進(jìn)一步求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由整體法確定的值，即可求值.由正弦型函數(shù)圖象及性質(zhì)列不等式可求得的取值范圍.【詳解】（1），∵的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，解得，∵，∴，則，由得.則的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）∵，∴，∵和是的兩個(gè)零點(diǎn)，∴，∴.令，在上恰有兩個(gè)不同的解，∴.∴的取值范圍為.2．（22-23高三·上海楊浦·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的最小正周期為π，且直線是其圖像的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)的解析式，并指出該函數(shù)的振幅、頻率、圓頻率和初始相位；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到新的函數(shù)，已知函數(shù)(λ為常數(shù)且λ∈R)在開區(qū)間(0，nπ)(n∈N且n≥1)內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)λ和n的值.【答案】(1)，振幅為1，頻率為，圓頻率為2，初始相位為(2)λ＝﹣1，n＝1347【分析】（1）由最小正周期求得，由對(duì)稱軸求得得函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)式的物理應(yīng)用求得振幅、頻率、圓頻率和初始相位；（2）求出的表達(dá)式，并變形，令，得關(guān)于的二次方程，確定二次方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，由韋達(dá)定理得出兩個(gè)根的性質(zhì)，然后分類討論結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)確定原方程中根的個(gè)數(shù)，得出結(jié)論．【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，∴f(x)＝sin(2x+φ)，令，得，由于直線為函數(shù)y＝f(x)的一條對(duì)稱軸，所以，得，由于0＜φ＜π，∴k＝﹣1，則，因此，所以振幅為1，頻率為，圓頻率為2，初始相位為；（2）將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sinx，∵F(x)＝f(x)+λ(x)＝cos2x+λsinx＝﹣2sin2x+isinx+1，令F(x)＝0，可得2sin2x﹣λsinx﹣1＝0，令t＝sinx∈，得2t2﹣λt﹣1＝0，Δ＝λ2+8＞0，則關(guān)于t的二次方程2t2﹣λt﹣1＝0必有兩不等實(shí)根t1，t2，則異號(hào).①當(dāng)0＜|t1|＜1且0＜|t2|＜1時(shí)，則方程sinx＝t1和sinx＝t2在區(qū)間(0，nπ)(n∈N*)均有偶數(shù)個(gè)根，從而方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在(0，nπ)(n∈N*)也有偶數(shù)個(gè)根，不合題意；②當(dāng)t1＝1，則，此時(shí)λ＝1，當(dāng)x∈(0，2π)時(shí)，sinx＝t1只有一根，sinx＝t2有兩根，所以，關(guān)于的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在(0，2π)上有三個(gè)根，由于2021＝3×673+2，則方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在(0，1346π)上有3×673＝2019個(gè)根，由于方程sinx＝t1在區(qū)間(1346π，1347π)上只有一個(gè)根，在區(qū)間(1347π，1348π)上無實(shí)解，方程sinx＝t2在區(qū)間(1346π，1347π)上無實(shí)數(shù)解，在區(qū)間(1347π，1348π)上有兩個(gè)根，因此，關(guān)于x的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在區(qū)間(0，1347π)上有2020個(gè)根，在區(qū)間(0，1348π)上有2022個(gè)根，不合題意；③當(dāng)t1＝﹣1時(shí)，則，此時(shí)λ＝﹣1，當(dāng)x∈(0，2π)時(shí)，sinx＝t1只有一根，sinx＝t2有兩根，所以，關(guān)于x的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在(0，2π)上有三個(gè)根，由于2021＝3×673+2，則方程2sin2x﹣λ?sinx﹣1＝0在(0，1346π)上有3×673＝2019個(gè)根，由于方程sinx＝t1在區(qū)間(1346π，1347π)上無實(shí)數(shù)根，在區(qū)間(1347π，1348π)上只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程sinx＝t2在區(qū)間(1346π，1347π)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，在區(qū)間(1347π，1348π)上無實(shí)數(shù)解，因此，關(guān)于x的方程2sin2x﹣λ?sinx﹣1＝0在區(qū)間(0，1347π)上有2021個(gè)根，滿足題意.④若有一根絕對(duì)值大于1，則另一根絕對(duì)值大于0且小于1，有偶數(shù)個(gè)根，不合題意，綜上所述：λ＝﹣1，n＝1347.3．（23-24高三上·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法,求得的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求出即可.【詳解】（1）由題意可得：因?yàn)閳D象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，又，所以，故.令，得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，又，則或，即或.令，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如圖所示：的兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即，有，在上有兩個(gè)不同的根，所以；又的根為，所以方程在內(nèi)所有根的和為.題型四：能成立與恒成立求參數(shù)一般地，已知函數(shù)，（1）相等關(guān)系記的值域?yàn)锳,的值域?yàn)锽,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；（2）不等關(guān)系(1)若，，總有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有成立，故．1．（2023·山東濟(jì)寧·二模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在上的值域?yàn)?，求的取值范圍．【答案?1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得出答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱性求出、，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．所以?dāng)，即：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意可知：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．所以．解得：．因?yàn)?，所以．所以．?dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)樗裕獾茫海缘娜≈捣秶鸀椋?．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）先求出的周期，再代點(diǎn)進(jìn)去求出，從而得到的解析式后，進(jìn)而利用整體法即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解不等式即可.【詳解】（1）由圖象可得的最小正周期，∴，又可知，由，解得，，又因?yàn)?，得，?由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）.由得，.∵，∴，作出的部分圖像如下：結(jié)合圖像可知：，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2022·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）的解析式可化簡(jiǎn)為，令，即可解得的單調(diào)遞增區(qū)間（2）對(duì)恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，結(jié)合的范圍可得，從而解得的范圍【詳解】（1）令解之得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）對(duì)任意，都有，∵，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的范圍為．題型五：圖形1：四邊形型四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對(duì)角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對(duì)角互補(bǔ)這個(gè)隱形條件四邊形面積最值型，一般用某一條對(duì)角線，把四邊形分為兩個(gè)三角形，有公共邊的兩個(gè)三角形個(gè)再各自用余弦定理，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題可得，，由幾何關(guān)系求得，由正弦定理可求得，再根據(jù)計(jì)算即可（2）由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)整理得，由四邊形的面積為4得，代入數(shù)據(jù)整理得，即可求得【詳解】（1）在中，∵，∴，，又∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．（2）在△、△中，由余弦定理得，，，從而，由得，，即得，，∴．2．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)先利用余弦定理得到，根據(jù)邊的關(guān)系得到AB⊥DB，進(jìn)而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；(2)設(shè)∠ADB=θ，利用余弦定理分別求出,相加后整理變形得到關(guān)于角的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在△ABD中，因?yàn)?，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此時(shí)Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．（2）設(shè)∠ADB=θ，由題意可知，在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以的取值范圍是?．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，，，.(1)求的面積；(2)求線段的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用三角形的內(nèi)角的范圍及三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及余弦定理，利用正弦定理及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以.又，所以，聯(lián)立，得，，所以的面積為.（2）由（1）知,，由余弦定理，得.設(shè),由正弦定理,得，即，所以.在中，由余弦定理,得，所以.題型六：圖形2：中線型.中線的處理方法1.向量法：2.余弦定理法（補(bǔ)角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)?，所以所以?②式即可3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形中線分割的倆三角形面積相等1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求；(2)若面積為，求邊上中線的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角即可得到角；（2）根據(jù)，得，結(jié)合三角形面積公式即可得到，再由正弦定理得邊c，以及，即可得到答案．【詳解】（1），由正弦定理邊化角得，，，或（舍），又，；（2），，，，，即，解得，由正弦定理，得，設(shè)邊的中點(diǎn)為，連接，如下圖：，即，即，解得．2．（2024·北京東城·一模）在中，.(1)求；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理可得，結(jié)合三角和為及誘導(dǎo)公式可得，即可得答案；（2）在中，由正弦定理可求得，從而可得，在中，利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，，又因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)?，所以；?）解：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，所以,設(shè),在中，由正弦定理可得，即，解得，又因?yàn)?，所以?/p>

在中，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.3．（2024·四川瀘州·三模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且的面積為.(1)求的值；(2)若是邊的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）借助余弦定理與面積公式，結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系即可得；（2）借助余弦定理與面積公式，結(jié)合題目條件可得、，再結(jié)合向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】（1）由余弦定理可得，即，由面積公式可得，即，則；（2）由余弦定理可得，又，故，即，由面積公式可得，即，即有，即，故，由是邊的中點(diǎn)，故，故，即.題型七：圖形3：角平分線型角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分）：三角形角平分線的處理方法：1．（23-24高三·浙江杭州·）在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角；(2)若是的角平分線，且，，求的面積【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得，求出，得到答案；（2）由余弦定理得，由三角形面積公式得到，聯(lián)立可得，結(jié)合三角形面積公式求出答案.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ恚?，得：，又，，故，即，又?（2）在中，由余弦定理得：①，即，故，又，得：，化簡(jiǎn)得：②，聯(lián)立①②得：，負(fù)值舍去，所以.2．（23-24高三山東·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足(1)求；(2)的角平分線與交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式正弦定理倍角公式化簡(jiǎn)已知等式，即可求解；（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.【詳解】（1）由得：，由正弦定理得：，倍角公式得，由，有，所以，得，所以.（2）由，得，即，得，，當(dāng)且僅當(dāng)即

時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為.3．（23-24高三黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可求出.（2）利用余弦定理及已知求出，然后利用三角形面積公式列方程求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，解得，又，所以.（2）由及余弦定理得，又，解得，由得，即，則，所以.題型八：圖形5：三角形高三角形高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如2.三角函數(shù)法：1.（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，三角形三邊上的高之比為.(1)求的值；(2)若為邊上一點(diǎn)，，，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】由于，則三邊，，上的高之比為，根據(jù)，得出，并利用余弦定理求出的值；利用中的值求出的值，進(jìn)而利用正弦定理求出的長(zhǎng).【詳解】（1）解：由于，則三邊，，上的高之比為.又因?yàn)椋瑒t.設(shè)，則，，.在中，由余弦定理得.（2）解：將代入，得，又，則.在中，由正弦定理得，則.2.（江蘇省南通市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，.(1)求；(2)若邊AB上的高為1，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得到，結(jié)合得到，，然后利用三角形內(nèi)角和和和差公式得到，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本公式求即可；（2）方法一：根據(jù)和邊上的高為1得到，然后根據(jù)得到，，再利用和差公式和內(nèi)角和得到，最后利用三角形面積公式求面積即可；方法二：過點(diǎn)C向AB作垂線，垂足為H，分別在和中利用三角函數(shù)和勾股定理得到，，然后利用三角形面積公式求面積即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?在中，，所以，所以，所以，所以，所以.（2）方法一：因?yàn)?，，所?因?yàn)檫吷系母?，所?因?yàn)?，，所以，，在中，，所?在中，由正弦定理，所以.所以的面積.方法二：過點(diǎn)C向AB作垂線，垂足為H.在中，，，所以，.在中，，，所以，所以，所以的面積.3.（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足．(1)當(dāng)A為何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，最大值是多少？(2)若等于邊AC上的高h(yuǎn)，求的值．【答案】(1)時(shí)，取得最大值，最大值為2；(2).【分析】（1）由余弦定理求出，對(duì)恒等變形得到，利用整體法求解出最大值；（2）先利用三角形面積公式和正弦定理得到，再使用和差化積等得到，解方程求出：或，舍去不合要求的解，求出答案.【詳解】（1）由得：，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為2；（2）由（1）知：，由三角形面積公式得：，從而，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，由和差化積得：，因?yàn)?，所以，故，解得：或，因?yàn)?，所?題型九：圖形6：中線與重心型1.（2022春·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．(1)求C的大?。?2)若G是的重心，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，然后根據(jù)同角平方和的關(guān)系以及正弦定理的邊角互化得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求角.（2）根據(jù)余弦定理以及均值不等式可得，根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理，得因?yàn)椋?/p>

所以，所以,因?yàn)?故．（2）由（1）得，所以，得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

連接BG，并延長(zhǎng)BG交AC于D，則D是AC的中點(diǎn)，且，

過G作于F，過B作于E，則，所以．故面積的最大值為2.（2023春·河北秦皇島·高三校考階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)選①：；選②：；選③：.【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑表示三角形面積求得內(nèi)切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計(jì)算出面積；選③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性質(zhì)，即重心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的三個(gè)三角形面積相等，用三角形面積公式求解的面積即可.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，，三角形中，，所以，，則，所以，；（2）選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，在中由余弦定理得，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．選③O為的重心，如圖，分別是各邊上的中點(diǎn)，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性質(zhì)可得，，故.3.（2023秋·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝6，．(1)求A的大?。?2)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，___________，求△ABC的面積．請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使△ABC存在，并解決問題．①M(fèi)為△ABC的外心，AM＝4；②M為△ABC的重心，；③M為△ABC的內(nèi)心，．(注：三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心，三角形的三條中線的交點(diǎn)稱為重心，三角形的三條角平分線的交點(diǎn)稱為內(nèi)心)【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)結(jié)合正弦定理邊化角和三角恒等變換即可求出sin，從而求出A；(2)根據(jù)正弦定理可求△ABC外接圓半徑，由此可判斷不能選擇①.若選②：根據(jù)AM長(zhǎng)度計(jì)算出中線AD長(zhǎng)度，再根據(jù)和余弦定理分別列出關(guān)于b、c的方程即可求出b、c，從而求解三角形面積；若選③：根據(jù)M是內(nèi)心，求出，根據(jù)和余弦定理分別列出關(guān)于b、c的方程，求出bc即可求出三角形面積．【詳解】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴；（2）設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則根據(jù)正弦定理得，，若M為△ABC的外心，則AM為外接圓半徑，，①與此矛盾，故不能選①；若選②：∵為該三角形的重心，則為線段的中點(diǎn)且，又，∴，即，(*)又由余弦定理得，即，(**)聯(lián)立(*)(**)解得，∴；若選③：∵為的內(nèi)心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．題型十：圖形綜合：定比分點(diǎn)型1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若點(diǎn)在線段上，且滿足，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角形內(nèi)角和為與兩角和的正弦公式計(jì)算即可得；（2）可借助余弦定理與基本不等式計(jì)算，或借助向量，結(jié)合數(shù)量積公式與基本不等式計(jì)算.【詳解】（1）由題意得，即，，，，又；（2）解法一：令，則，，，即，①，又，②，聯(lián)立①②，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即，，面積的最大值為.解法二：依題意，，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，面積的最大值為．2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，角、、的對(duì)邊分別是．(1)求角的大?。?2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及誘導(dǎo)公式、恒等變換公式得到的正切值，進(jìn)而求解即可；（2）解法一利用已知條件和向量的知識(shí)得到，進(jìn)而實(shí)數(shù)化得到和的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出和的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可；解法二直接由第一問的結(jié)果結(jié)合余弦定理得出和的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出和的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)楣?，即，即．而，故，又因?yàn)樗裕?，故．?）解法一：由知，兩邊同時(shí)平方得，即，化簡(jiǎn)得．①在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，所以，故，即，②由①②得，由于，得，代入②得．所以的面積為．解法二：在中，由余弦定理可得，整理得，①在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，所以，故，即，②由①②得，由于，得，代入②得，所以的面積為．3.（2024·廣東佛山·二模）在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換得到，再利用三角恒等變換得到，從而利用余弦定理列出關(guān)系式即可得解.（2）在中，確定三邊的長(zhǎng)度關(guān)系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求.【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理知，所以，所以，因?yàn)?，所以，則①，由，則，因?yàn)?，所以，則，在中，由余弦定理知，則②，由①②得，．（2）因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理知同理在中，，因?yàn)?，所以，則，由（1）知，，所以，在中，由余弦定理知，所以．題型十一：范圍與最值1：基礎(chǔ)型在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.1.（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下面的問題．①，②，③．(1)求角的大??；(2)若外接圓的面積為，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，根據(jù)條件、正弦定理以及三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；選②，根據(jù)條件、余弦定理以及三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；選③，根據(jù)條件以及射影定理進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；（2）先根據(jù)題意求出外接圓的半徑，再結(jié)合（1）及正弦定理求出，再根據(jù)余弦定理，基本不等式及三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）選①，由，則根據(jù)正弦定理得，在中，有，則，又，所以，即，又，所以．選②，由，則根據(jù)余弦定理可得，在中，有，所以，即，又，所以．選③，由，在中，根據(jù)射影定理可得，所以，即，又，所以．（2）因?yàn)橥饨訄A的面積為，所以外接圓半徑為，又結(jié)合（1）可知，則根據(jù)正弦定理可得，則根據(jù)余弦定理可得，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積，所以的最大值為．2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，且．(1)求B的大??；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式及倍角公式計(jì)算即可；（2）利用余弦定理、三角形的面積公式及基本不等式計(jì)算即可.【詳解】（1）∵在中，，且，∴，由正弦定理得．∵，，∴．∵，∴．∵，，，∴，∴，∴．（2）由（1）知，且，∴由余弦定理得，整理得．又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．∴，∴面積的最大值為．3.．（2024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)證明：；(2)若，求當(dāng)面積最大時(shí)的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)可得，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得，根據(jù)正弦定理化角為邊可得，再由，結(jié)合正弦定理化角為邊求出，再根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得出答案.【詳解】（1）由已知得，∴，又，且，∴；（2）由（1）可得，由正弦定理可得，∴，.∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，令，則，則，設(shè)，，則，令，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，則.題型十二：范圍與最值2：邊系數(shù)不對(duì)稱型解三角形：最值范圍可以用余弦定理+均值不等式來求解?？梢岳谜叶ɡ恚Y(jié)合角與角所對(duì)應(yīng)的邊，轉(zhuǎn)化為角的形式，再進(jìn)行三角恒等邊形，化一，求解最值與范圍，要注意三角形是否有“銳角、鈍角”三角形的角度范圍限制1.（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求角，并計(jì)算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．【答案】(1)或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)同角的平方關(guān)系可得，求出B，進(jìn)而求出即可；（2）由題意可得，求出C的范圍，根據(jù)正弦定理可得，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算得（），結(jié)合的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由，得，則，又，所以或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）若為銳角三角形，則，有，解得.由正弦定理，得，則，所以，其中，又，所以，則，故當(dāng)時(shí)，取到最大值1，所以的最大值為.2．（2024·山西呂梁·一模）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理將邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換，即可求解；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，求得，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.3．（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡(jiǎn)已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.題型十三：范圍與最值3：無邊長(zhǎng)型有角無邊型1.一個(gè)角為定值，則另外倆角和為定值，所以可以消角。2.注意銳角三角形，或者鈍角三角形對(duì)角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對(duì)每個(gè)角都要用不等式范圍求解。3.有角無邊型，如果出現(xiàn)邊，多為邊的比值齊次式型，一般可以用正弦定地來邊化角轉(zhuǎn)化1．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）用正弦定理邊化角，再利用和差化積公式與誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得，從而用等量關(guān)系即可得證；（2）由（1）知，銳角三角形中，利用角關(guān)系求得角的范圍，再把式子用角的三角函數(shù)來表示并利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而用三角函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】（1）證明：由條件，根據(jù)正弦定理可得，，即，，又中，進(jìn)行化簡(jiǎn)得，所以，即或，即（舍去），所以.（2）若為銳角三角形，根據(jù)（1），則，得，式子，，由得，又易知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，因此.2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的信息結(jié)合正弦定理邊化角，再利用基本不等式求解即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是，解得，在中，，由，得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．3．（2024·遼寧·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件及余弦定理得到，再利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）利用為銳角三角形，得到，再令，將問題轉(zhuǎn)化成求在上的最值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，即，由余?/p>