2023-2024學(xué)年廣東梅州第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年廣東梅州第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.在中,是的中點,,點在上且滿足,則等于()A. B. C. D.3.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、4.在中,分別為所對的邊,若函數(shù)有極值點,則的范圍是()A. B.C. D.5.已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上,其底面邊長為4,、、分別為側(cè)棱,,的中點.若在三棱錐內(nèi),且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.6.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實數(shù)的值為()A. B.2 C. D.7.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,則該人年的儲畜費用為()A.元 B.元 C.元 D.元8.設(shè),則,則()A. B. C. D.9.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,則該雙曲線的標準方程為()A. B.C. D.10.已知,則下列說法中正確的是()A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題11.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.12.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有以下四個命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點的充要條件是;③對于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確命題的序號為______.14.若點在直線上,則的值等于______________.15.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.16.(5分)已知為實數(shù),向量,,且,則____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè).若在上恒成立,求實數(shù)的最大值.18.(12分)《山東省高考改革試點方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績計入考生總成績時,將至等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取3人,記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機變量,則,,)19.(12分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.20.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.21.(12分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,證明:.22.(10分)已知橢圓:的離心率為,右焦點為拋物線的焦點.(1)求橢圓的標準方程;(2)為坐標原點,過作兩條射線,分別交橢圓于、兩點,若、斜率之積為,求證:的面積為定值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當、時,成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.2、B【解析】

由M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點.②性質(zhì):或取得最小值③坐標法:P點坐標是三個頂點坐標的平均數(shù).3、A【解析】

設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.4、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個不等實根.考點:1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力,綜合性較強,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根,從而可得.5、D【解析】

如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過作底面的垂線,垂足為,與平面交點記為,連接、.依題意,所以,設(shè)球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,三棱錐體積,球體積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.6、D【解析】

將多項式的乘法式展開,結(jié)合二項式定理展開式通項,即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用,再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,得到年的就醫(yī)費用,然后由年的就醫(yī)費用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元,所以年的就醫(yī)費用元,而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用:故選:A【點睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)換底公式可得,再化簡,比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運算,屬于中檔題.9、C【解析】

由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標準方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計算,考查了學(xué)生的計算能力.10、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假,再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.【詳解】當時,故命題為假命題;記f(x)=ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命題為真命題;∴是假命題故選D【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷,考查全稱命題與特稱命題的真假,考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì),是基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為,再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.12、C【解析】

設(shè)出兩人到達小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①【解析】

由三角形的正弦定理和邊角關(guān)系可判斷①;由零點存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結(jié)合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對稱的特點可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點,比如在存在零點,但是,故②錯誤;③對于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關(guān)于直線對稱,即對稱,故④錯誤.故答案為:①.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點存在定理和對稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當時,則,此時;當時,則,此時,綜上,.故答案為:.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

算法的功能是求的值,根據(jù)輸出的值,分別求出當時和當時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當時,,可得:,或(舍去);當時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點睛】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語句,根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、5【解析】

由,,且,得,解得,則,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)由題意可知在上恒成立,分和兩種情況討論,在時,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立;在時,經(jīng)過分析得出,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立,由此得出,進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】(Ⅰ)函數(shù)的定義域為.當時,.令,解得(舍去),.當時,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ)由題意,可知在上恒成立.(i)若,,,,構(gòu)造函數(shù),,則,,,.又,在上恒成立.所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當時,在上恒成立.(ii)若,構(gòu)造函數(shù),.,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.恒成立,即,,即.由題意,知在上恒成立.在上恒成立.由(Ⅰ)可知,又,當,即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,,不合題意,,即.此時構(gòu)造函數(shù),.,,,,恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,恒成立.綜上,實數(shù)的最大值為【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題,本題的難點在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解,考查推理能力與運算求解能力,屬于難題.18、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率,進而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績在區(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因為物理原始成績,所以.所以物理原始成績在(47,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機抽取1人,其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點睛】(1)解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性.(2)解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機變量服從二項分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當被抽取的總體的容量較大時,抽樣可認為是等可能的,進而可得隨機變量服從二項分布.19、(1)曲線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】

(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因為,所以,所以當,即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.20、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設(shè)AC與BD的交點為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標原點,以過點O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因為平面平面,所以平面,所以,因為,所以平面,所以,因為四邊形是平行四邊形,所以四邊形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)設(shè)與的交點為,因為平面,平面平面于,所以,因為是中點,所以是的中點,因為,取的中點為,連接,則,因為平面平面,所以面,以為坐標原點,以過點且與平行的直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系.不妨設(shè),則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,同理可得平面的法向量,設(shè)平面與平面的夾角為,因為,所以二面角的余弦值

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