2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-實際問題與二次函數(shù)之拱橋問題

2024年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：實際問題與二次函數(shù)之拱橋問題

1.竦州大橋橋面上有兩個完全相同的拱形鋼梁，每一個拱形鋼梁可看作拋物線的一部

分，如圖是大橋的側(cè)面示意圖，橋面長240米.點A是橋面的中點，鋼梁最高

點C,。離橋面的高度均為30米.以橋面所在的直線為x軸，過點。且垂直于的

直線為》軸建立平面直角坐標(biāo)系.

⑴求過點。，C,A三點的拋物線表達(dá)式.

(2)“竦州大橋”四個字標(biāo)注在離橋面高度為22.5米的拱形鋼梁的點E處(點E在點C的左

側(cè))，小明從點。動身在橋面上勻速前行，半分鐘后到達(dá)點E正下方的點P處，則小明

通過橋面需多少分鐘？

2.如圖是某懸索橋示意圖，其建筑原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，再以

相等的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量,

主索的幾何形態(tài)近似符合拋物線.己知兩橋塔橋面以上高度AD=3C=12m,間距AB為

40m,主索最低點為點尸，點尸距離橋面尸。為2m.

(1)請你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出主索拋物線的表達(dá)式;

(2)求吊索Eb的長度.

3.如圖，隧道的截面由拋物線和矩形ABC。構(gòu)成，矩形的一邊8C為8加，另一邊

AB為2m,以BC所在的直線為x軸，線段BC垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標(biāo)原點0的距離為6m.

(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)假如該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一輛貨運車的高為4.3加，寬為2.4〃z,問這輛貨運車能

否在一側(cè)行道內(nèi)通過該隧道？

4.如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔外形、大小都相同.正常水位

時，大孔水面寬度A8=20米，頂點M距水面6米(即"0=6米)，小孔頂點N距水面

4.5米(即NC=4.5米).當(dāng)水位上漲剛好沉沒小孔時，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求

(1)大孔拋物線形的解析式；

(2)此時大孔的水面寬度EF.

5.如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線外形，當(dāng)水面的寬度為10m

時，橋洞與水面的最大距離是5m.

(1)建立如圖的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；

(2)一艘貨船寬8m,水面兩側(cè)高度2m,能否平安通過此橋?

6.如圖，一座溫室試驗室的橫截面由拋物線和矩形組成，矩形的長是16m，寬

是4加.依據(jù)圖中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=-Jx2+6x+c表示，CD為一排平

行于地面的加濕管.

.”'m

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂?shù)降孛娴木嚯x.

(2)若加濕管的長度至少是12m,加濕管與拱頂?shù)木嚯x至少是多少米？

(3)若在加濕管上方還要再安裝一排恒溫管(兩排管道相互平行)，且恒溫管與加濕管相距

L25〃z,恒溫管的長度至少是多少米？

7.如圖，是拋物線形溝渠，當(dāng)溝渠水面寬度6m時，水深3m,當(dāng)水面上升1m時，水

面寬度為多少米？

8.如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內(nèi)，與水平橋相交于42兩點，拱橋

最高點C到的距離為9m,AB=36m,D,E為拱橋底部的兩點，DE//AB.

(1)以C為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，求出此時拋物線的解析

式.(忽視自變量取值范圍)

(2)若。E=48m,求E點到直線A8的距離.

9.一座拱型橋，橋下水面寬度A3是20米，拱高8是4米.若水面上升3米至E尸.則

水面寬度即是多少？

(1)如圖①，若把橋拱看作是拋物線的一部分，求班'的長;

(2)如圖②，若把橋拱看作是圓的一部分，求所的長.

10.如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，矩形的長為12m,寬為4m,依據(jù)如圖所

示建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以表示為y=-]-x2+c

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并計算出拱頂E到地面8C的距離；

（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后，高6m,寬為4m,假如隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，

那么這輛貨車能否平安通過？

（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，假如燈離地面的

高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米？

11.如圖，在一次足球訓(xùn)練中，球員小王從球門前方10m起腳射門，球的運行路線恰是

一條拋物線，當(dāng)球飛行的水平距離是6m時，球到達(dá)最高點，此時球高約3m.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知球門高2.44m,問此球能否射進(jìn)球門？

12.如圖，隧道的截面由拋物線A即和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長BC為8m,寬AB

為2m,以3C所在的直線為x軸，線段8c的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如

圖），y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標(biāo)原點。的距離為6m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）現(xiàn)有一輛貨運卡車，高4.4m,寬2.4m,它能通過該隧道嗎?

13.有一個截面邊緣為拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m,跨度為

10m.把它的截面邊緣的圖形放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中.

（1）直接寫出拋物線的頂點坐標(biāo);

（2）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖，在對稱軸右邊2m處，橋洞離水面的高是多少？

14.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的大路隧道,其高度為8米，寬度OM為16米.現(xiàn)

以。點為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）.

（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）隧道下的大路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道

能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛？請通過計算說明；

（3）施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CD4B,使A.。點在拋物線上.B、

C點在地面。加線上（如圖2所示）.為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、

0c的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下.

圖1圖2

15.小明將他家鄉(xiāng)的拋物線型彩虹橋按比例縮小后，繪制成如下圖所示的示意圖，圖中

的三條拋物線分別表示橋上的三條鋼梁，x軸表示橋面，y軸經(jīng)過中間拋物線的最高點，

左右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱,經(jīng)過測算,右邊拋物線的表達(dá)式為y=-焉(x-30)2+5.

(1)直接寫出左邊拋物線的解析式；

(2)求拋物線彩虹橋的總跨度AB的長；

(3)若三條鋼梁的頂點M、E、N與原點O連成的四邊形OMEN是菱形，你能求出鋼

梁最高點離橋面的高度OE的長嗎？假如能，請寫出過程；假如不能，請說明理由.

16.一隧道內(nèi)設(shè)雙行大路，隧道的高M(jìn)N為6米.下圖是隧道的截面示意圖，并建立如

圖所示的直角坐標(biāo)系，它是由一段拋物線和一個矩形CDEF的三條邊圍成的，矩形的長

DE是8米，寬CD是2米.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)為了保證平安，要求行駛的車輛頂部與隧道頂部至少要有0.5米的距離.若行車

道總寬度PQ(居中，兩邊為人行道)為6米，一輛高3.2米的貨運卡車(設(shè)為長方形)

靠近最右邊行駛能否平安？請寫出推斷過程；

(3)施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABHG,使H、G兩點在拋物線上,

A、B兩點在地面DE上，設(shè)GH長為n米，“腳手架”三根木桿AG、GH、HB的長度之

和為L,當(dāng)n為何值時L最大，最大值為多少？

17.有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面A3的寬為18米，拱頂。離水面A3的距

離為9米，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)一艘貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF.

①假如限定矩形的長。為12米,那么要使船通過拱橋，矩形的高DE不能超過多少米？

②若點、E,尸都在拋物線上，^L=EF+DE+CF,當(dāng)L的值最大時，求矩形CDEb的

高.

18.如圖隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是8m,寬是2m.依據(jù)圖中所

示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=}x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到0B的水平

距離為2m,到地面OA的距離為5m.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面0A的距離；

(2)該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，一輛貨車高4m,寬2.5m,能否平安通過，為什么？

19.利川市南門大橋是上世紀(jì)90年月修建的一座石拱橋，其主橋孔的橫截面是一條拋

物線的一部分，2024年在修理時，施工隊測得主橋孔最高點P到水平線加的高度為

30%寬度為60%如圖所示，現(xiàn)以。點為原點，加所在直線為x軸建立平面直角坐

標(biāo)系.

(1)直接寫出點M及拋物線頂點尸的坐標(biāo)；

(2)求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

(3)施工隊方案在主橋孔內(nèi)搭建矩形“腳手架”ABCD,使4