專題20 【五年中考+一年模擬】 幾何與圓中檔題-備戰(zhàn)2023年溫州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）

專題20幾何與圓中檔題1．（2022?溫州）如圖，在中，于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn)，連結(jié)，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，，，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：，，是的中點(diǎn)，，，，即，，，，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，．2．（2021?溫州）如圖，在中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：在中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，解得：或（舍去），，，由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，設(shè)，則，，解得：或,（舍去），即，由（1）得：，，．3．（2020?溫州）如圖，，為上兩點(diǎn)，且在直徑兩側(cè)，連接交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，．（1）求證：．（2）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接．當(dāng)點(diǎn)落在直徑上時(shí)，，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1），，為的直徑，，；（2）如圖，連接，，是的直徑，，，，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，，，，，，，，，的半徑為．4．（2019?溫州）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)，，三點(diǎn)的交于另一點(diǎn)，作直徑，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時(shí)，求的直徑長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，是的直徑，，，，是的直徑，，即，，是的直徑，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：由，設(shè)，，，，，，，，，，，，，在中，，，，即的直徑長(zhǎng)為．5．（2018?溫州）如圖，是的邊上一點(diǎn)，連接，作的外接圓，將沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上．（1）求證：．（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，；（2）如圖，過(guò)作于點(diǎn)，，，，，，，．，，，．6．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是劣弧上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：如圖1，連接，是的直徑，弦，，，，點(diǎn)、、、在上，，，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．7．（2022?溫州一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，，平分，（1）求證：．（2）當(dāng)為的中點(diǎn)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4【詳解】（1）證明：四邊形內(nèi)接于，，，，平分，，，，，；（2）解：過(guò)作于，為的中點(diǎn)，，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，，，．8．（2022?平陽(yáng)縣一模）數(shù)學(xué)家龐斯萊發(fā)明過(guò)一種玩具（如圖，這種玩具用七根小棍做成，各結(jié)點(diǎn)均可活動(dòng)，，，且．使用時(shí)，將，釘牢在平板上，使，間的距離等于木棍的長(zhǎng)，繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，．圖2是該玩具轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的一幅示意圖．（1）判斷點(diǎn)，，在同一條直線上嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，（2）當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)．①求證：．②若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4【詳解】（1）解：點(diǎn)，，在同一條直線上，理由如下：，四邊形是菱形，，，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，①證明：四邊形是菱形，，，，是直徑，，，，，，，，，；②解：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，設(shè)，，四邊形是菱形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在中，，，，在中，，，解得，（舍去），，．9．（2022?樂(lè)清市一模）如圖，將矩形按照?qǐng)D1方式剪成4個(gè)直角三角形，再將這4個(gè)直角三角形按照?qǐng)D2方式無(wú)縫拼接成，連結(jié)，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：由題意可得，四邊形為平行四邊形；（2）解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，．10．（2022?甌海區(qū)一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且平分．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，求的長(zhǎng)與的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】證明：（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，，，是的直徑，，，是的直徑，，，，，四邊形是平行四邊形；解：（2），，，，為的直徑，，在中，，，，，是的中位線，，，在中，，是的垂直平分線，，在中，，．11．（2022?瑞安市一模）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以為直徑作交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）證明：．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，，，，，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，平分，，，，設(shè)，，，，，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，，是的直徑，，，，，，，，，的長(zhǎng)為．12．（2022?龍港市一模）如圖，是半圓的直徑，半徑，是延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，，切半圓于點(diǎn)，，，，，，，，，；（2）解：，設(shè)，，，，，，，，（不合題意舍去），，，，過(guò)作于，，，，，．13．（2022?蒼南縣一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，是的切線，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：是的直徑，，，平分，，是的切線，，，，又，，；（2）解：由（1）知：，，，是的切線，，，，平分，，，，即，，，解得（不合題意，舍去）或，即的長(zhǎng)是．14．（2022?溫州模擬）如圖，內(nèi)接于，直徑交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與過(guò)點(diǎn)的切線交于點(diǎn)．已知與互余．（1）求證：．（2）連結(jié)，當(dāng)，，時(shí)，求的半徑和的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接、，如圖：與相切于點(diǎn)，，，，，，，，平分，，，即；（2）解：連接、、、設(shè)、交于點(diǎn)，如圖：，，，由（1）知平分，，，，，，，，即，，的半徑為4，，，，是等邊三角形，，由（1）知于，，，，，在中，，，，，，，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：，，，，即，．15．（2022?溫州模擬）如圖，點(diǎn)，在以為直徑的半圓上，，切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）若，，求直徑的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】證明：（1）如圖，連接，，，，，，，，，，，；（2）是切線，，，，，，，，，，，，．16．（2022?溫州模擬）如圖，在中，，以為直徑作分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連結(jié)，若的面積為20，，求的直徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）和為直徑，．，，．，，，，四邊形為平行四邊形．（2）由平行四邊形得．連結(jié)，，為直徑，．，設(shè)，則，．為直徑，，，為中點(diǎn)，，，，．，，，，的直徑為．17．（2022?溫州模擬）如圖，在菱形中，點(diǎn)，分別在，邊上，且，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：．（2）連結(jié)，，當(dāng)，時(shí)，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，；（2）解：連結(jié)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，是的垂直平分線，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，的值為．18．（2022?永嘉縣模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，，交于點(diǎn)，以4為半徑的交邊于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，；（2）解：作于點(diǎn)，連接，如圖：，，，，，，即，，，在中，，，解得（負(fù)值已舍去），，在中，，，在中，，，答：的長(zhǎng)為．19．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在中，弦垂直平分半徑于，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，連結(jié)交線段于，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知，，三點(diǎn)共線．（1）求證：．（2）若，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，，，如圖所示：弦垂直平分半徑，，，是等邊三角形，，，，，三點(diǎn)共線，為直徑，，，，為等邊三角形，，，．（2）解：點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，的面積．20．（2022?溫州模擬）如圖，是斜邊上的中線，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：四邊形為菱形；（2）若，，求菱形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）48【詳解】（1）證明：是的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，，四邊形是菱形；（2）解：是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，解得：，，，是的中點(diǎn)，．21．（2022?文成縣一模）如圖，在四邊形中，，，過(guò)點(diǎn)作于．（1）求證：．（2）連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：，，，，四邊形是矩形，，，，，，，在和中，，，，；（2）解：，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，由（1）得：，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，即，解得：，，即的長(zhǎng)是．22．（2022?瑞安市二模）如圖，內(nèi)接于，為直徑，的平分線分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的平行線于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形．（2）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，如圖1，為的直徑，，的平分線交于點(diǎn)，，為的切線，，，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，平分，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，四邊形是平行四邊形，，在中，，即，解得：，四邊形的面積．23．（2022?甌海區(qū)模擬）如圖，在中，，以為一邊構(gòu)造，，連結(jié)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）10【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，由（1）可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，則，，即，，，即，解得：，．24．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，，是上的點(diǎn)，，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，．（2）解：為直徑，．．，．又，，，，．，，，，設(shè)．，，，，．25．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．連結(jié)，，．（1）求證：．（2）若是的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：是的直徑，弦，，，四邊形內(nèi)接于，，，；（2）解：是的中點(diǎn)，，，四邊形內(nèi)接于，，，，由（1），得，，，，，是的直徑，弦，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，．26．（2022?蒼南縣二模）如圖，在的內(nèi)接中，，直徑交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，，，是的垂直平分線，，，，，，．；（2）解：，，，，是的直徑，，在，，設(shè)，，，，或（舍去），，的長(zhǎng)為．27．（2022?龍灣區(qū)模擬）如圖，在中，，．點(diǎn)，落在上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，作直徑交于點(diǎn)，切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【詳解】（1）證明：，，，，與相切于點(diǎn)，，，，是的直徑，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：，，，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，在中，，，或（舍去），，四邊形為平行四邊形，，的長(zhǎng)為5．28．（2022?龍港市模擬）如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，使．（1）求證：．（2）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，如圖所示：則，為中點(diǎn)，，在和中，，，，在和中，，，；（2）解：，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：（負(fù)值已舍去），，，，，在中，由勾股定理得：，，，，．29．（2022?樂(lè)清市三模）如圖，內(nèi)接于，是直徑，平分交于點(diǎn)，切于，交于．（1）求證：四邊形為平行四邊形．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，，是的直徑，，，，平分，，，，切于，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：由（1）知：四邊形為平行四邊形，，如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，設(shè)的半徑是，則，，（負(fù)值舍），，，．30．（2022?鹿城區(qū)二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，連結(jié)，，求直徑的長(zhǎng)及四邊形的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直徑的長(zhǎng)為10，四邊形的周長(zhǎng)為【詳解】（1）證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：，，，，，，為的直徑，，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，，為的半徑，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，在中，，，四邊形的周長(zhǎng)為，即直徑的長(zhǎng)為10，四邊形的周長(zhǎng)為．31．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，連接交于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）若，，求矩形