2024屆山東省青島市青大附中數(shù)學八年級第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆山東省青島市青大附中數(shù)學八年級第二學期期末聯(lián)考試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.用一條直線m將如圖1的直角鐵皮分成面積相等的兩部分.圖2、圖3分別是甲、乙兩同學給出的作法，對于

兩人的作法判斷正確的是()

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

2.如圖，EF過ABC。對角線的交點。，交AD于E,交BC于F,若,ABC。的周長為36,OE=3,則四邊

形A班后的周長為()

A.24B.26C.28D.20

3.下列各式從左到右的變形為分解因式的是()

A.m2-m-6=(m+2)(m-3)

B.(m+2)(m-3)=m2-m-6

C.X2+8X-9=(x+3)(x-3)+8x

D.x2+l=x(x+-)

x

4.若分式七口的值等于0,則x的取值是().

x+1

A.x=—lB.xw-lC.x=3D.X/3

5.下列圖形都是由同樣大小的黑、白圓按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有2個白色圓，第②個圖形中一

共有8個白色圓，第③個圖形中一共有16個白色圓，按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中白色圓的個數(shù)是()

A.96B.86C.68D.52

6.已知點P的坐標為（a,b）（a>0）,點。的坐標為（c,2）,且|〃一。|+，。一8=0,將線段P。向右平移。個單位長

度，其掃過的面積為24,那么a+A+c的值為（）

A.12B.14C.16D.20

7.已知關于工的一元二次方程f+如+3=0有兩個實數(shù)根玉=1，%=〃.則代數(shù)式加+2〃的值為（）

A.10B.2C.-2D.-10

8.如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構成一個四邊形，這個四邊形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.無法判斷

9.函數(shù)的圖象y=（m+l）%幅一2是雙曲線，則m的值是（）

A.-1B.0D.2

10.如圖，△ABC是等邊三角形，點尸是三角形內的任意一點，PD//AB,PE//BC,尸尸〃AC,若△ABC的周長為12,

貝！|PD+PE+PF=（）

A.12B.8C.4D.3

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.關于x的一元二次方程ax2+2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是.

12.已知：VEZi±^EZ+3,則y'=.

x-2

13.菱形的周長為12,它的一個內角為60。，則菱形的較長的對角線長為.

14.在平面直角坐標系的第一象限內，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標軸，A點的坐標為（a,a）.如圖,

3

若曲線y=—（%>0）與此正方形的邊有交點，則a的取值范圍是

x

15.如圖，直線>=—且％+4與x軸、y軸分別交于A,B兩點，C是OB的中點，D是AB上一點，四邊形OEDC

-3

是菱形，則AOAE的面積為.

16.一個多邊形的內角和是它的外角和的5倍，則這個多邊形的邊數(shù)為o

17.化簡：74=_____:

18.如圖，NABC=50,AD垂直平分線段于點DNABC的平分線BE交AD于點E,連結EC,貝!I/AEC

的度數(shù)是________

三、解答題（共66分）

19.（10分）列方程解應用題：

某市今年進行水網(wǎng)升級，1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲g,小麗家去年12月的水費是15元，而

今年5月的水費則是30元.已知小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求該市今年居民用水的價格.

20.（6分）如圖，點。為平面直角坐標系的原點，點A在X軸的正半軸上，正方形Q46C的邊長是3,點。在上,

且AD=1.將AOAD繞著點。逆時針旋轉得到AOCE.

(1)求證：OELOD,

（2）在左軸上找一點P,使得石的值最小，求出點P的坐標.

21.（6分）如圖，已知正方形ABCD中，以BF為底向正方形外側作等腰直角三角形BEF,連接DF,取DF的中點

G,連接EG,CG.

⑴如圖1,當點A與點F重合時，猜想EG與CG的數(shù)量關系為,EG與CG的位置關系為,請證明你的結

論.

⑵如圖2,當點F在AB上（不與點A重合）時，（1）中結論是否仍然成立？請說明理由；如圖3,點F在AB的左

側時，（1）中的結論是否仍然成立？直接做出判斷，不必說明理由.

（3）在圖2中，若BC=4,BF=3,連接EC,求ECG的面積.

22.（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E,F為BC上兩點，且BE=CF,AF=DE

求證：（1）AABF^ADCE；

（2）四邊形ABCD是矩形.

23.（8分）如圖，在AABC中，=90，AB-lcm,BC-9cm,點P從點A開始沿AB邊向點3以lan/s的

速度移動，點。從點3開始沿邊向點C以2s/s的速度移動.

（1）如果點尸，。分別從點A,3同時出發(fā)，那么幾秒后，AP3Q的面積等于6°加2?

（2）如果點P,。分別從點A,3同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于7。"？

24.（8分）在ABC中，/ABC=90，BD為AC邊上的中線，過點C作CELBD于點E,過點A作BD的平行線,

交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG,DF.

（1）求證：BD=DF；

（2）求證：四邊形BDFG為菱形;

（3）若AG=5,CF=J7,求四邊形BDFG的周長.

25.（10分）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、DE分別平分NBAD、ZADC,E點在BC上.

（1）求證：BC=2AB；

（2）若AB=3cm,NB=60°,一動點F以lcm/s的速度從A點出發(fā)，沿線段AD運動，CF交DE于G,當CF〃AE

時：

①求點F的運動時間t的值；②求線段AG的長度.

26.（10分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上任意一點，ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分

線CF于點F.求證：AE=EF.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、C

【解題分析】

根據(jù)圖形中所畫出的虛線，可以利用圖形中的長方形、梯形的面積比較得出直線兩旁的面積的大小關系.

【題目詳解】

如圖：圖形2中，直線m經過了大長方形和小長方形的對角線的交點，所以兩旁的圖形的面積都是大長方形和小長方

形面積的一半，所以這條直線把這個圖形分成了面積相等的兩部分，即甲做法正確；

圖形3中，經過大正方形和圖形外不添補的長方形的對角線的交點，直線兩旁的面積都是大正方形面積的一半-添補的

長方形面積的一半，所以這條直線把這個圖形分成了面積相等的兩部分，即乙做法正確.

故選C.

【題目點撥】

此題主要考查了中心對稱，根據(jù)圖形中的割補情況，抓住經過對角線的交點的直線都能把長方形分成面積相等的兩部

分這一特點，即可解決問題.

2、A

【解題分析】

根據(jù)平行四邊形的性質可求出AD+CD的值，易證AAOEg^COF,所以AE=CF,OE=OF=3,根據(jù)

CF+CD+ED+EF=AD+CD+EF即可求出答案.

【題目詳解】

在平行四邊形ABCD中，

2(AB+BC)=36,

/.AB+BC=18,

?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.OA=OC,AD/7BC

.\ZAEF=ZCFE,

在AAOE和ACOF中

ZAEF=ZCFE

<ZAOE=ZCOF

AO=CO

：.AAOE^ACOF,

/.AE=CF,OE=OF=3,

，EF=6

/.AB+BF+FE+EA

=AB+BF+CF+EF

=AB+BC+EF

=18+6

=24

故選：A.

【題目點撥】

本題考查平行四邊形的性質，解題的關鍵是熟練運用平行四邊形的性質，本題屬于中等題型.

3、A

【解題分析】

根據(jù)因式分解的概念逐項判斷即可.

【題目詳解】

A、等式從左邊到右邊，把多項式化成了兩個整式積的形式，符合因式分解的定義，故A正確;

B、等式從左邊到右邊屬于整式的乘法，故B不正確；

C、等式的右邊最后計算的是和，不符合因式分解的定義，故C不正確；

D、在等式的右邊不是整式，故D不正確；

故選A.

4、C

【解題分析】

分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

【題目詳解】

Y—3

?.?分式一上的值等于1,

X+1

,*.x-2=l,x+lRL

解得：x=2.

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查的是分式值為零的條件，掌握分式值為零的條件是解題的關鍵.

5、C

【解題分析】

根據(jù)題意得出第n個圖形中白色圓個數(shù)為n(n+1)+2(n-1),據(jù)此可得.

【題目詳解】

解：???第①個圖形中白色圓個數(shù)2=1X2+2XO,

第②個圖形中白色圓個數(shù)8=2X3+2X1,

第③個圖形中白色圓個數(shù)16=3X4+2X2,

二第⑦個圖形中白色圓個數(shù)為7X8+2X6=68,

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)題意得出第n個圖形中白色圓個數(shù)為n(n+1)+2(n-1).

6、C

【解題分析】

有非負數(shù)的性質得到a=c,b=8,P(a,8),PQ〃y軸，由于其掃過的圖形是矩形可求得。，代入即可求得結論.

【題目詳解】

解：|a—c|+J6一8=0,

a=c,b=8,

P(a,8),PQ〃y軸,

/.PQ=8-2=6,

???將線段PQ向右平移a個單位長度，其掃過的圖形是邊長為a和6的矩形，

6a=24,

:.a=4,

:.c=4,

a+b+c=4+8+4=16；

故選：c.

【題目點撥】

本題主要考查了非負數(shù)的性質，坐標的平移，矩形的性質，能根據(jù)點的坐標判斷出PQ〃y軸，進而求得PQ是解題

的關鍵.

7、B

【解題分析】

先由根與系數(shù)的關系得到關于北〃的方程組，代入直接求值即可.

【題目詳解】

解：因為/+如：+3=0有兩個實數(shù)根占=1,%2=〃，

所以石+工2=一；=-m,=y=3,

l+n=-mfm=-4

所以c，解得：.，

n=3=3

所以m+2〃=-4+2x3=2,

故選B.

【題目點撥】

本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關系，方程組的解法及代數(shù)式的求值，掌握相關的知識點是解題關鍵.

8、B

【解題分析】

作DF_LBC,BE_LCD,先證四邊形ABCD是平行四邊形.再證RtZMBECgRtz^DFC,得，BC=DC,所以，四邊形ABCD

是菱形.

【題目詳解】

如圖，作DFJ_BC,BE_LCD,

由已知可得，AD〃BC,AB〃CD

/.四邊形ABCD是平行四邊形.

在RtABEC和RtADFC中

NBCE=ZDCF

<ZBEC=ZDFC

BE=DF

.'RtABEC義RtADFC,

/.BC=DC

/.四邊形ABCD是菱形.

故選B

【題目點撥】

本題考核知識點：菱形的判定.解題關鍵點：通過全等三角形證一組鄰邊相等.

9、C

【解題分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出關于m的不等式組，求出m的值即可.

【題目詳解】

解：???函數(shù)y=(m+l)x"P-2的圖象是雙曲線，

m+1^0

2，解得m=L

m--2=-l

故選：C.

【題目點撥】

X

本題考查的是反比例函數(shù)的定義，即形如y=7(k為常數(shù)，片0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

k

10、C

【解題分析】

過點P作平行四邊形PGBD,EPHC,進而利用平行四邊形的性質及等邊三角形的性質即可.

【題目詳解】

延長EP、FP分另校AB、BC于G、H,

則由PD〃AB,PE〃BC,PF〃AC,可得,

四邊形PGBD,EPHC是平行四邊形，

，PG=BD,PE=HC,

又AABC是等邊三角形，

又有PF〃AC,PD〃AB可得APFG,APDH是等邊三角形，

；.PF=PG=BD,PD=DH,

又AABC的周長為12,

1

/.PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=-xl2=4,

3

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查了平行四邊形的判定及性質以及等邊三角形的判定及性質，等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角

都相等，且都等于60。.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、aVl且arl

【解題分析】

由關于x的一元二次方程ax?+2x+l=l有兩個不相等的實數(shù)根，即可得判別式△>1，繼而可求得a的范圍.

【題目詳解】

2

???關于x的一元二次方程ax+2X+l=l有兩個不相等的實數(shù)根，

/.△=b2-4ac=22-4xaxl=4-4a>l,

解得：a<l,

?方程ax2+2x+l=l是一元二次方程，

；.a的范圍是：aVl且aRL

故答案為：a<l且存1.

【題目點撥】

此題考查了一元二次方程判別式的知識.此題比較簡單，注意掌握一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，即可得△>1.

1

12、一

9

【解題分析】

首先根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式，求出X的值，然后可得y的值，易求結果.

【題目詳解】

X2-4>0

解：由題意得：p-x2>0,

x/2

.\x=-2,

，y=3,

故答案為：—

【題目點撥】

本題考查了二次根式和分式的性質，根據(jù)他們各自的性質求出x,y的值是解題關鍵.

13、3名

【解題分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得ACLBD,BD=2OB,菱形的對角線平分一組對角線可得/ABO=30。，根據(jù)直角

三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AO==AB,再利用勾股定理列式求出OB,即可得解.

【題目詳解】

解：如圖所示：

；.AB=3,AC±BD,BD=2OB,

VZABC=60°,

1

ANABO=—ZABC=30°,

2

.113

??AO=—AB=—x3=—

2229

由勾股定理得，OB=JAB2_OA2

；.BD=2OB=36.

故答案為：3G.

【題目點撥】

本題考查了菱形的性質，直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理，熟記性質是解題的關鍵,

作出圖形更形象直觀.

14、73-l<a<V3

【解題分析】

根據(jù)題意得出C點的坐標（a-1,a-1）,然后分別把A、C的坐標代入求得a的值，即可求得a的取值范圍.

【題目詳解】

解:反比例函數(shù)經過點A和點C.

當反比例函數(shù)經過點A時，即/=3,

解得：a=±V3（負根舍去）；

當反比例函數(shù)經過點C時，即（a-1產=3,

解得：a=l±73（負根舍去），

則6—1至5右.

故答案為：73-l<a<V3.

【題目點撥】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，關鍵是掌握反比例函數(shù)y=8（k為常數(shù)，k/0）的圖象上的點（x,y）

x

的橫縱坐標的積是定值k,即xy=k.

15、273

【解題分析】

根據(jù)直線于坐標軸交點的坐標特點得出,A,B兩點的坐標，得出OB,OA的長，根據(jù)C是OB的中點，從而得出OC的

長，根據(jù)菱形的性質得出DE=OC=2;DE〃OC；設出D點的坐標，進而得出E點的坐標，從而得出EFQF的長，在

RtAOEF中利用勾股定理建立關于x的方程，求解得出x的值，然后根據(jù)三角形的面積公式得出答案.

【題目詳解】

解:把x=0代入y=--x+4得出y=4,

3

.\OB=4;

是OB的中點，

,\OC=2,

???四邊形OEDC是菱形,

.\DE=OC=2;DE#OC,

把y=0代入y=--x+4得出x=4瓜

3

??.A(4A/3,0);

/.OA=4若，

設D(x,-1x+4),

3

?'?E(x,-—x+2),

3

延長DE交OA于點F,

/.EF=------x+2,OF=x,

3

(nY

在Rt^OEF中利用勾股定理得：x2+--x+2=22,

[3J

解得：xi=0(舍)，X2=-^3?

,\EF=1,

SAAOE=-OAEF=2J3.

2

故答案為26.

【題目點撥】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)丫=1?+卜（后0,且k,b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x

b

軸的交點坐標是（?：，0）;與y軸的交點坐標是（0,b）.直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b,也考查

k

了菱形的性質.

16、1

【解題分析】

根據(jù)多邊形的內角和公式（n-2）“80。與外角和定理列出方程，然后求解即可.

【題目詳解】

設這個多邊形是n邊形，

根據(jù)題意得，（n-2）?180。=5'360。，

解得n=l.

故答案為：L

【題目點撥】

本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無關，任何多邊形的外角和都是360。.

17、2

【解題分析】

根據(jù)算術平方根的定義，求數(shù)a的算術平方根，也就是求一個正數(shù)x,使得x2=a,則x就是a的算術平方根，特別地,

規(guī)定0的算術平方根是0.

【題目詳解】

V22=4,/.^4=2.

【題目點撥】

本題考查求算術平方根，熟記定義是關鍵.

18、115°

【解題分析】

試題分析：根據(jù)垂直平分線的性質可得BE=CE,即可得到NEBC=NECB=25。，再根據(jù)三角形外角的性質即可求得

ZAEC=ZEDC+ZECB=115°.

考點：角平分線的性質，垂直平分線的性質，三角形外角的性質

三、解答題（共66分）

19、2.4元/米3

【解題分析】

利用總水費+單價=用水量，結合小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,進而得出等式即可.

【題目詳解】

解：設去年用水的價格每立方米x元，則今年用水價格為每立方米L2x元

由題意列方程得：孚-"=5

1.2xx

解得x=2

經檢驗，x=2是原方程的解

1.2x=2.4(元/立方米)

答：今年居民用水的價格為每立方米2.4元.

【題目點撥】

此題主要考查了分式方程的應用，正確表示出用水量是解題關鍵.

20、(1)見解析；⑵點尸坐標為(2,0)

【解題分析】

(1)根據(jù)直角坐標系的特點證明NCOE+NCO￡>=90。即可；

(2)作點。關于x軸對稱點尸，連接跖交》軸于點P,即為所求，再根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式求出直線EF

的解析式，再求出P點.

【題目詳解】

(1)是由AOAD旋轉而來，

:.ACOE=ZAOD.

又ZAOD+NCOD=90°,

：.ZCOE+/COD=90=ZDOE,

即

(2)如圖所示，作點。關于了軸對稱點/，連接EF交x軸于點P.

\\_,JD

-o'"A~"X

F

???點。和點/關于x軸成軸對稱，

PD=PF.

PD+PE=PF+PE.

且P,E,E三點在一條直線上的時候。尸+PE最小

即PD+PE取得最小值.

VAD=1,BC=3,

/.F（3,-l）,磯―1,3）,

設直線EF的表達式為y=kx+b(k^O).

E,歹兩點坐標代入得，

3左+Z?=1,

—k+Z?=3.

k=—l

解得7c

0=2.

將，y=-x+2.

丁點P為直線硬與x軸的交點.

???令y=o,即一%+2=。

得％=2

故點P坐標為(2,0)

【題目點撥】

此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式.

21、(1)EG=CG,EG±CG；(2)當點F在AB上(不與點A重合)時，(1)中結論仍然成立，理由見解析，點F

在AB的左側時，(1)中的結論仍然成立；(3)SACKG==苧.

8

【解題分析】

1

(1)過E作EMLAD交AD的延長線于M,證明aAME是等腰直角三角形，得出AM=EM=X—AE=—AB,證出

22

DG=AG=-AD=AM=EM,得出GM=CD,證明△GEMgZkCGD(SAS),得出EG=CG,ZEGM=ZGCD,證出

2

ZCGE=180°-90°=90°,即可得出EG_LCG；

(2)延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH,CE,證明△EFGg^HDG(SAS),得出EF=HD,ZEFG=ZHDG,

證明△CBEdCDH(SAS),得出CE=CH,ZBCE=ZDCH,得出NECH=/BCD=90°,證明△￡?!!是等腰直角

三角形，得出CG=-EH=EG,EG1CG；延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,同理可證CG」EH=EG,

22

EG±CG；

(3)作EM垂直于CB的延長線與M,先求出BM,EM的值，即可根據(jù)勾股定理求出CE的長度，從而求出CG的

長，即可求出面積.

【題目詳解】

解：(1)EG=CG,EG±CG；理由如下：

過E作EM_LAD交AD的延長線于M,如圖1所示:

則NM=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

，AB=AD=CD,NBAD=ND=90°,

/.ZBAM=90",

???ABEF是等腰直角三角形，

歷

；.NBAE=45°,AE=—AB,

2

/.ZMAE=45°,

：.AAME是等腰直角三角形，

AM=EM=—AE=-AB,

22

；G是DF的中點，

1

DG=AG=-AD=AM=EM,

2

.\GM=CD,

在△GEM和ACGD中，

EM=DG

<ZM=ZD=90,

GM=CD

.,.△GEM^ACGD(SAS),

；.EG=CG,ZEGM=ZGCD,

VZGCD+ZDGC=90°,

.?.ZEGM+ZDGC=90°,

.,.ZCGE=180°-90°=90°,

.\EG±CG；

(2)當點F在AB上(不與點A重合)時，(1)中的結論仍然成立，理由如下:

延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,如圖2所示：

?；G是DF的中點，

/.FG=DG,

EG=HG

在aFFG和aIIDG中，<ZEGF=ZHGD,

FG=DG

/.△EFG^AHDG(SAS),

；.EF=HD,ZEFG=ZHDG,

ABEF是等腰直角三角形，

.\EF=BE,ZBFE=ZFBE=45°,

；.BE=DH,

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,ZABC=ZBCD=90°,BC=CD,

.,.ZAFD=ZCDG,

.\ZAFE=ZCDH=135°,

VZCBE=90°+45°=135°,

.\ZCBE=ZCDH,

在和△CDH中，

BE=DH

<ZCBE=ZCDH,

BC=CD

.,.△CBE^ACDH(SAS),

/.CE=CH,ZBCE=ZDCH,

.?.ZECH=ZBCD=90°,

...AECH是等腰直角三角形，

VEG=HG,

1

.\CG=-EH=EG,EG±CG；

2

E

圖2

點F在AB的左側時，(1)中的結論仍然成立，理由如下：

延長EG至H,使HG=EG,連接DH、CH、CE,如圖3所示：

；G是DF的中點，

?\FG=DG,

在4EFG和△HDG中，

EG=HG

<ZEGF=ZHGD,

FG=DG

.,.△EFG^AHDG(SAS),

；.EF=HD,ZEFG=ZHDG,

ABEF是等腰直角三角形，

；.EF=BE,ZBEF=90°,

.\BE=DH,

???四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,ZABC=ZBCD=90°,BC=CD,

；.NBNF=NCDG,

■:ZEFG+ZBNF+ZBEF+ZABE=ZHDG+ZCDG+ZCDH=360°,

:.ZBEF+ZABE=ZCDH,

ZABC+ZABE=ZCDH,即NCBE=NCDH,

在ACBE和△CDH中，

BE=DH

<ZCBE=ZCDH,

BC=CD

/.△CBE^ACDH(SAS),

/.CE=CH,ZBCE=ZDCH,

/.ZECH=ZBCD=90°,

AECH是等腰直角三角形,

VEG=HG,

1

,\CG=-EH=EG,EG1CG；

2

圖3

(3)如下圖所示：作EM垂直于CB的延長線與M,

?.?△BEF為等腰直角三角形，BF=3,

3J2

,BE=^—,ZABE=45°,

2

VEM1BM,AB±CM,

.\ZEBM=45°,

???AEMB為等腰直角三角形,

.3

/.EM=BM=—,

2

VBC=4,

由(2)知，△GEC為等腰直角三角形,

，CG=EG=^i^,

2

.aV65V65165

??^ACEG-----x----x———?

2228

【題目點撥】

本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質等腰直角三角形的判定與性質等知識；熟練

掌握等腰直角三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于壓軸題型.

22、(1)見解析；(2)見解析.

【解題分析】

(1)根據(jù)等量代換得到BE=CF,根據(jù)平行四邊形的性質得AB=DC.利用“SSS”得△ABF也4DCE.

(2)平行四邊形的性質得到兩邊平行，從而/B+NC=180。.利用全等得NB=NC,從而得到一個直角，問題得證.

【題目詳解】

(1),/BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,

；.BF=CE.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB=DC.

在^ABF^DADCE中，

VAB=DC,BF=CE,AF=DE,

/.△ABF^ADCE.

(2)VAABF^ADCE,

AZB=ZC.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB//CD.

.,.ZB+ZC=180°.

:.NB=NC=90。.

二平行四邊形ABCD是矩形.

23、(1)出發(fā)1秒后，AP3Q的面積等于60加2；(2)出發(fā)0秒或2.8秒后，PQ的長度等于7cm.

【解題分析】

(1)設x秒后，AP5Q的面積等于6°加2,根據(jù)路程=速度X時間，即可用x表示出AP、BQ和BP的長，然后根據(jù)

三角形的面積公式列一元二次方程，并解方程即可；

(2)設V秒后，P。的長度等于7。"，根據(jù)路程=速度X時間，即可用y表示出AP、BQ和BP的長，利用勾股定理

列一元二次方程，并解方程即可.

【題目詳解】

解：(1)設x秒后，AP3Q的面積等于60加2，

點P從點A開始沿A3邊向點3以1s/s的速度移動，點。從點3開始沿邊向點C以2cM/s的速度移動

/.AP=x,BQ=2x

:.BP=7-x

則有g(7—x)x2x=6

西=1,々=6(此時2X6=12>BC,故舍去)

答：出發(fā)1秒后，AP3Q的面積等于60加2

(2)設V秒后，PQ的長度等于7c機

?.?點P從點A開始沿A3邊向點3以1勿/s的速度移動，點Q從點3開始沿邊向點C以2c加/s的速度移動

AAP=y,BQ=2y

:.BP=1—y

(7-y)2+(2y)2=72

解得％=0,%=2.8

答：出發(fā)0秒或2.8秒后，PQ的長度等于7cm.

【題目點撥】

此題考查的是一元二次方程的應用，掌握幾何問題中的等量關系和行程問題公式是解決此題的關鍵.

24、(1)證明見解析(2)證明見解析(3)1

【解題分析】

（1）利用平行線的性質得到NCE4=90，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，

（2）利用平行四邊形的判定定理判定四邊形尸G為平行四邊形，再利用（1）得結論即可得證，

（3）設GF=x,則AF=5—%,利用菱形的性質和勾股定理得到C尸、A尸和AC之間的關系，解出x即可.

【題目詳解】

（1）證明：AG//BD,CF±BD,

.-.CF±AG.

又D為AC的中點，

.-.DF=-AC,

2

又BD=-AC,

2

..BD=DF,

（2）證明：BD//GF,BD=FG,

四邊形BDFG為平行四邊形，

又BD=DF,

二四邊形BDFG為菱形，

（3）解：設GF=x,則AF=5—x,AC=2x,

在Rt_AFC中，（2x）2=（">+（5—x）2,

解得：X]=2,X2=-W（舍去），

.?.GF=2,

???菱形BDFG的周長為1.

【題目點撥】

本題考查了菱形的判定與性質直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識，正確掌握這些定義性質