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文檔簡介
2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古平煤高級中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.142.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.33.設(shè),點(diǎn),,,,設(shè)對一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.4.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.25.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.546.某公園新購進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排,要求郁金香不在兩邊,任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種A. B. C. D.7.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.8.年初,湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延,各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應(yīng),全國人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù),則下列中表述錯誤的是()A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢B.隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C.月日至月日新增確診人數(shù)波動最大D.我國新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值9.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)11.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.12.若,則“”是“的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上任一點(diǎn),且的最小值為,則該雙曲線的離心率是__________.15.不等式對于定義域內(nèi)的任意恒成立,則的取值范圍為__________.16.在的二項(xiàng)展開式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項(xiàng)的值等于_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列和滿足,,,,.(Ⅰ)求與;(Ⅱ)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,若對,恒成立,求正整數(shù)的值.18.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為、,過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(異于、兩點(diǎn)),當(dāng)直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點(diǎn)為;試問的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請說明理由.19.(12分)在中,角的對邊分別為,且,.(1)求的值;(2)若求的面積.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,,,,,為的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn).(1)證明:面面;(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角余弦值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.22.(10分)改革開放年,我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識,某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人,進(jìn)行問卷測評,所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強(qiáng).求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識強(qiáng)的概率;已知交通安全意識強(qiáng)的樣本中男女比例為,完成下列列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān);安全意識強(qiáng)安全意識不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人,再從人中隨機(jī)選取人對未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求至少有人得分低于分的概率.附:其中
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡單題.3、A【解析】
先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.4、D【解析】
在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5、C【解析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.6、B【解析】
間接法求解,兩盆錦紫蘇不相鄰,被另3盆隔開有,扣除郁金香在兩邊有,即可求出結(jié)論.【詳解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有種,然后將盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有,扣除郁金香在兩邊,排盆虞美人、盆郁金香有種,再將盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有,所以共有種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理,不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、A【解析】
若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,分別畫出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設(shè),∴,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,函數(shù)恒過點(diǎn),分別畫出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實(shí)數(shù)m的最大值為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、D【解析】
根據(jù)新增確診曲線的走勢可判斷A選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤;根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢可判斷C選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于A選項(xiàng),由圖象可知,月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢,A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),由圖象可知,隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù),B選項(xiàng)正確;對于C選項(xiàng),由圖象可知,月日至月日新增確診人數(shù)波動最大,C選項(xiàng)正確;對于D選項(xiàng),在月日及以前,我國新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù),我國新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值,D選項(xiàng)錯誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.10、D【解析】
將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯誤;,錯誤;,錯誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,由圖可知,.12、B【解析】
求得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計(jì)算能力,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】由已知,,所以,又,所以切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,要注意在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別,是一道容易題.14、【解析】
根據(jù)雙曲線方程,設(shè)及,將代入雙曲線方程并化簡可得,由題意的最小值為,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡,即可求得的值,進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),,則,即,∵,,,當(dāng)時(shí),等號成立,∴,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用,由平面向量數(shù)量積的最值求離心率,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)題意,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為只對于內(nèi)的任意恒成立,令,則只需在定義域內(nèi)即可,利用放縮法,得出,化簡后得出,即可得出的取值范圍.【詳解】解:已知對于定義域內(nèi)的任意恒成立,即對于內(nèi)的任意恒成立,令,則只需在定義域內(nèi)即可,,,當(dāng)時(shí)取等號,由可知,,當(dāng)時(shí)取等號,,當(dāng)有解時(shí),令,則,在上單調(diào)遞增,又,,使得,,則,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值,解決恒成立問題求參數(shù)值,涉及分離參數(shù)法和放縮法,考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.16、【解析】
利用展開式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T5=C·3=15,故填15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)易得為等比數(shù)列,再利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解的通項(xiàng)公式即可.(Ⅱ)由題可知要求的最小值,再分析的正負(fù)即可得隨的增大而增大再判定可知即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?故是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故.又當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),…①…②①-②有,即.當(dāng)時(shí)也滿足.故為常數(shù)列,所以.即.故,(Ⅱ)因?yàn)閷?恒成立.故只需求的最小值即可.設(shè),則,又,又當(dāng)時(shí),時(shí).當(dāng)時(shí),因?yàn)?故.綜上可知.故隨著的增大而增大,故,故【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解通項(xiàng)公式的方法,同時(shí)也考查了根據(jù)數(shù)列的增減性判斷最值的問題,需要根據(jù)題意求解的通項(xiàng),并根據(jù)二項(xiàng)式定理分析其正負(fù),從而得到最小項(xiàng).屬于難題.18、(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡,求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19、(1)3(2)78【解析】試題分析:(1)由兩角和差公式得到,由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到,進(jìn)而求得數(shù)值;(2)由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到,再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析:(1)在中,由,得為銳角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面積.20、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)要證明面面,只需證明面即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為,,軸建系,分別計(jì)算出面法向量,面的法向量,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】證明:(1)因?yàn)榈酌鏋檎叫?,所以又因?yàn)椋?,滿足,所以又,面,面,,所以面.又因?yàn)槊妫?,面?(2)由(1)知,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為,,軸建系如圖所示,則,,,,則,.所以,,,,設(shè)面法向量為,則由得,令得,,即;同理,設(shè)面的法向量為,則由得,令得,,即,所以,設(shè)二面角的大小為,則所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),是一道中檔題.21、(1)或(2)最小值為.【解析】
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