第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（B能力卷）（解析版）

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（B能力卷）班級______姓名_______考號______單項(xiàng)選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分。每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，由于，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于B，的底數(shù)為10，且，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于C，冪函數(shù)中指數(shù)為3，，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于D，反比例函數(shù)，即，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：D2．對任意實(shí)數(shù)a<1，函數(shù)y＝(1－a)x＋4的圖象必過定點(diǎn)（）A．(0，4) B．(0，1)C．(0，5) D．(1，5)【答案】C【詳解】解：令x＝0得y＝5，即函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(0，5).故選：C.3．已知f(x)＝log3x，則，f，f(2)的大小關(guān)系是（）A．f>f>f(2) B．f<f<f(2)C．f>f(2)>f D．f(2)>f>f【答案】B【詳解】.因?yàn)閒(x)＝log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又因?yàn)?>>，所以f(2)>>故選：B4．若存在滿足()，則a的取值范圍是().A． B． C． D．【答案】A【詳解】由存在滿足可得，存在使得成立，所以小于的最大值.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時有最大值1.所以.故選：A.5．關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說法正確的是（）A．在R上是增函數(shù) B．在R上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】D【詳解】由函數(shù)的解析式知定義域?yàn)?，設(shè)，在上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是減函數(shù)，故選：D.6．設(shè)，則=（）A．3 B．-3 C．1 D．-1【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，故選：C7．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作EFAC，分別交正方形的兩條邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF，設(shè)BP=x，OEF的面積為y，則能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在上時，四邊形是正方形，邊長為2，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時，同理可得：，，故選：B8．已知函數(shù)，若方程有三個不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵函數(shù)，方程有三個不等的實(shí)數(shù)根∴作出函數(shù)和圖象，如圖所示：設(shè)，根據(jù)函數(shù)對稱性可得.令，得，所以，則的取值范圍為.多項(xiàng)選擇題（本大題共4題，每小題5分，共計(jì)20分。每小題列出的四個選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，多選或錯選不得分）9．已知函數(shù)，則（）A． B．的最小值為2C．為偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】BC【詳解】A：，錯誤；B：令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，正確；C：且，為偶函數(shù)，正確；D：由B，若，，則在上遞減，在上遞增，所以在上遞減，上遞增，錯誤；故選：BC.10．對于實(shí)數(shù)x，符號表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．函數(shù)的最大值為1 B．函數(shù)的最小值為0C．方程有無數(shù)個根 D．函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：，對選項(xiàng)A，由圖象得，函數(shù)無最大值，故A不正確；對選項(xiàng)B，由圖知：函數(shù)的最小值為0，故B正確；對選項(xiàng)C，函數(shù)每隔一個單位重復(fù)一次，所以函數(shù)與函數(shù)有無數(shù)個交點(diǎn)，即方程有無數(shù)個根，故C正確；對選項(xiàng)D，圖象可知函數(shù)不是單調(diào)遞增，故D不正確.故選：BC.11．已知函數(shù)，，若存在，使得，則的取值可以是（）A．－4 B．－2 C．2 D．3【答案】AB【詳解】當(dāng)時，，即，則的值域?yàn)?，?dāng)時，，則的值域?yàn)?，若存在，使得，則，若，則或，解得或.所以當(dāng)時，的取值范圍為.故選：AB12．下面說法正確的有（）A．的零點(diǎn)是B．與互為反函數(shù)C．已知，則；D．不是偶函數(shù)【答案】BD【詳解】A.令，所以的零點(diǎn)是，不是，所以錯誤；B.與互為反函數(shù)，所以正確；C.已知，則或，所以錯誤；D.的定義域是，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是偶函數(shù)，所以正確.故選：BD三、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13．已知方程的兩個根為、，則________.【答案】##【詳解】由韋達(dá)定理可得，故.故答案為：.14．函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【詳解】由題意知：，∴，所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故答案為?15．某種藥物在病人血液中的含有量以每時25%的比例衰減.現(xiàn)在醫(yī)生為某個病人注射了2500該藥物，那么h后病人血液中這種藥物的含有量為________.【答案】【詳解】由題可知，一小時后藥物含量為：，兩小時后為，則h后病人血液中這種藥物的含有量為：故答案為：16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則=_______.【答案】【詳解】解：根據(jù)題意，滿足，則，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，又由為奇函數(shù)，則，而，則，又由當(dāng)，時，，則，則有，則，故答案為：．四、解答題（解答題需寫出必要的解題過程或文字說明，共70分）17．設(shè)函數(shù)，其中.（1）函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，開口向上且對稱軸為，，（1）當(dāng)，即或時，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)，即或時，要使在上有唯一的零點(diǎn)，只需，解得或；綜上，或或時在上有唯一的零點(diǎn).（2）由題設(shè)，即或，∴或，可得或.綜上，或時在上有兩個零點(diǎn).18．設(shè)，試研究關(guān)于x的方程在區(qū)間上的解的個數(shù).【詳解】令，開口向上且對稱軸為，，∴當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，而，，故此時在上有一個零點(diǎn)，即原方程有一個解.當(dāng)，即時，顯然，且，，又在上遞減，在上遞增，故此時在上有一個零點(diǎn)，即原方程有一個解.當(dāng)，即時，顯然且，顯然在上無零點(diǎn)，即即原方程無解.當(dāng)，即時，顯然，且，，又在上遞減，在上遞增，故此時在上有一個零點(diǎn)，即原方程有一個解.當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，而，，故此時在上有一個零點(diǎn)，即原方程有一個解.綜上，時原方程在有一個解；時原方程在無解.19．已知函數(shù)，其中且.（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）若，求使成立的x的集合.【詳解】（1）由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以是定義域上的奇函數(shù).（2）由，可得，解得，所以函數(shù)，又由，則，可得，解得，故不等式的解集為.20．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點(diǎn)都在圓周上.已知正十字形的寬和長都分別為x，y（單位：dm）且，若剪去的正十字形部分面積為4平方分米.（1）請用x表示y，并寫出x的取值范圍；（2）現(xiàn)為了節(jié)約紙張，需要所用圓形紙片面積最小.當(dāng)x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值.【詳解】（1）由題意可得：，則：且，即關(guān)于的解析式為，定義域?yàn)椋?）設(shè)正十字形的外接圓的直徑為當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號即時，正十字形外接圓面積：即正十字形外接圓面積的最小值為：，此時21．如圖，已知過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C，D兩點(diǎn).（1）試?yán)孟嗨菩蔚闹R，證明O，C，D三點(diǎn)在同一條直線上；（2）當(dāng)軸時，求A點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）如圖所示：設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、，由題設(shè)知，，．則點(diǎn)、縱坐標(biāo)分別為、．因?yàn)?、在過點(diǎn)的直線上，，，所以，從而，即．因?yàn)辄c(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，，．由于，，而，，所以，即，而，所以，，即有．由此可知，即、、在同一條直線上．（2）由平行于軸知，即得，．代入得．由于知，．考慮解得．于是點(diǎn)的坐標(biāo)為．22．設(shè)函數(shù)（，，），是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).（1）確定k的值；（2）若，函數(shù)，，求的最小值；（3）若，是否存在正整數(shù)，使得對恒成立？若存在，請求出所