高中數(shù)學(xué)第一章相似三角形定理與圓冪定理1.1.1相似三角形判定定理課件新人教B版選修4-

第一章

相似三角形定理與圓冪定理1.1相似三角形相似三角形判定定理1.了解相似三角形的定義,掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法.2.會(huì)證明三角形相似,并能解決有關(guān)問(wèn)題.1.相似三角形(1)定義:如果在兩個(gè)三角形中,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,則這兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).(2)記法:兩個(gè)三角形相似,用符號(hào)“∽”表示,例如△ABC與△A'B'C'相似,記作△ABC∽△A'B'C'.歸納總結(jié)

1.三角形相似與三角形全等不同,全等三角形一定相似,但相似三角形不一定全等.2.相似三角形定義中的“對(duì)應(yīng)邊成比例”是三組對(duì)應(yīng)邊分別成比例.3.相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母必須寫在相應(yīng)的位置上,這一點(diǎn)與全等三角形是一致的.例如△ABC和△DEF相似,若點(diǎn)A與點(diǎn)E對(duì)應(yīng),點(diǎn)B與點(diǎn)F對(duì)應(yīng),點(diǎn)C與點(diǎn)D對(duì)應(yīng),則記為△ABC∽△EFD.【做一做1】

已知△ABC∽△A'B'C',下列選項(xiàng)中的式子,不一定成立的是(

)A.∠B=∠B'B.∠A=∠C'解析:很明顯選項(xiàng)A,C,D均成立.因?yàn)椤螦和∠C'不是對(duì)應(yīng)角,所以∠A=∠C'不一定成立.答案:B2.相似三角形判定定理

知識(shí)拓展判定三角形相似的三種基本圖形(1)平行線型:(2)交錯(cuò)型:(3)旋轉(zhuǎn)型:【做一做2-1】

如圖,在△ABC中,FD∥GE∥BC,則與△AFD相似的三角形有(

)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)解析:∵

FD∥GE∥BC,∴△AFD∽△AGE∽△ABC.故與△AFD相似的三角形有2個(gè).答案:B3.直角三角形相似的判定方法(1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么它們相似.(2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們相似.(3)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.名師點(diǎn)撥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形分別與原三角形相似.在證明直角三角形相似時(shí),要特別注意利用“直角”這一條件.解析:∵∠A=∠A'=90°,∴△ABC和△A'B'C'均是直角三角形.∴∠C'=∠C.又∠B=35°,∴∠C=90°-∠B=90°-35°=55°.∴∠C'=55°.答案:55°同一法證明幾何問(wèn)題剖析當(dāng)直接證明一個(gè)幾何問(wèn)題比較困難時(shí),往往采用間接證明的方法.“同一法”就是一種間接證明的方法.應(yīng)用同一法證明問(wèn)題時(shí),往往先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形,再證明圖形符合命題的已知條件,確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同,從而證明命題成立.例如,如圖,已知PQ,TR為☉O的切線,P,R為切點(diǎn),PQ∥RT.證明PR為☉O的直徑.證明如圖,延長(zhǎng)PO交RT于點(diǎn)R',∵PO⊥PQ,∴PR'⊥PQ.∵PQ∥RT,∴PR'⊥RT,即OR'⊥RT.又TR為☉O的切線,R為切點(diǎn),∴OR⊥RT.∴點(diǎn)R'與點(diǎn)R重合.∴PR為☉O的直徑.由上例可以看出,同一法證明幾何問(wèn)題的步驟:(1)先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形,再推證出所作的圖形符合已知條件;(2)根據(jù)唯一性,證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的;(3)說(shuō)明已知圖形符合結(jié)論.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思判定兩個(gè)三角形相似時(shí),關(guān)鍵是分析已知哪些邊對(duì)應(yīng)成比例,哪些角對(duì)應(yīng)相等,根據(jù)三角形相似的判定定理,還缺少什么條件就應(yīng)尋找相應(yīng)的條件來(lái)推導(dǎo)出結(jié)論.題型一題型二題型三【例2】

如圖,在正方形ABCD中,P是BC上的點(diǎn),且BP=3PC,Q是CD的中點(diǎn).求證:△ADQ∽△QCP.分析由于這兩個(gè)三角形都是直角三角形,且已知條件是線段間的關(guān)系,故考慮證明對(duì)應(yīng)邊成比例,即只需證明題型一題型二題型三反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根據(jù)一般三角形相似的判定方法判定,又有其獨(dú)特的判定方法,在求證、識(shí)別的過(guò)程中,可由已知條件結(jié)合圖形特征,確定合適的方法.題型一題型二題型三分析所要證明的等式中的四條線段AB,AC,CD,BC分別在△ABC和△BCD中,但這兩個(gè)三角形不相似,由題意可得BD=CD,這樣AB,AC,BD,BC分別在△ABC和△ABD中,只需證明這兩個(gè)三角形相似即可.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思證明線段成比例,常把等式中的四條線段分別看成兩個(gè)三角形的兩條邊,再證明這兩個(gè)三角形相似即可,若這四條線段不能分別看成兩個(gè)三角形的兩邊,則利用相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如本題中把CD轉(zhuǎn)化為BD.12341.如圖,在△ABC中,DE∥BC,F是BC上一點(diǎn),AF交DE于點(diǎn)G,則與△ADG相似的是(

)A.△AEGB.△ABFC.△AFCD.△ABC解析:在△ABF中,DG∥BF,則△ADG∽△ABF.答案:B12342.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,DE⊥AB,垂足為點(diǎn)E,則圖中與Rt△ADE相似的三角形個(gè)數(shù)為(

)解析:題圖中Rt△CBA,Rt△CAD,Rt△ABD,Rt△DBE均與Rt△ADE相似,故有4個(gè).答案:D12343.如圖,∠BAC=∠DCB,∠CDB=∠ABC=90°,AC=a,BC=b,則BD=

(用a,b表示).

12344.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分線.求證:AD2=DC·AC.分析有一個(gè)頂角是36°的等腰三角形,則它的底角是72°,而BD是底角的平分線,所以∠CBD=36°,則可推出△ABC∽△BCD,進(jìn)而由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系.1234證明∵∠A=36°,AB=AC