10.2-常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

10.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法10.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中一種既簡(jiǎn)單又重要的一種類型，若級(jí)數(shù)各項(xiàng)均為非負(fù)，即則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).一般的，對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，有如下結(jié)論：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界.例10.2.1

試判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且部分和即該級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。比較審斂法：設(shè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且那么(1)若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；(2)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散.對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可形象的記為：“若大的收斂，則小的也收斂；若小的發(fā)散，則大的也發(fā)散。”例10.2.2

考察與的斂散性.解（1）因?yàn)榍艺{(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，由級(jí)數(shù)性質(zhì)2知，發(fā)散，故發(fā)散.（2）因?yàn)槎鳳級(jí)數(shù)收斂，故收斂.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法是把某個(gè)已知斂散性的級(jí)數(shù)（如幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)）作為比較標(biāo)準(zhǔn)，項(xiàng)的大小，來(lái)判別給定級(jí)數(shù)的斂散性，通過(guò)比較對(duì)應(yīng)作比較的已知級(jí)數(shù)，到可用如下的達(dá)朗貝爾比值判別法.若有時(shí)不易找到達(dá)朗貝爾比值判別法:設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)且則（1）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散；當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)n!

或等形式時(shí)，可試用比值判別法.例10.2.3

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.解(1)因?yàn)橛杀戎蹬袆e法知,收斂.(2)因?yàn)橛杀戎蹬袆e法知，發(fā)散.10.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法形如的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判定有萊布尼茨判別法.萊布尼茨判別法:若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下列條件：（1）（2）則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.例10.2.4

判別級(jí)數(shù)的斂散性。解因?yàn)榍矣山诲e(cuò)級(jí)數(shù)的判別法知，級(jí)數(shù)收斂.10.2.3絕對(duì)收斂與條件收斂設(shè)有級(jí)數(shù)其中為任意實(shí)數(shù)，稱此級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂性與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性有如下關(guān)系:若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則任意項(xiàng)級(jí)數(shù)也收斂。一般的有:若級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂.例10.2.5判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂.解（1）考察級(jí)數(shù)因?yàn)樗?/p>