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規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi)
9.(2023?嘉興、舟山)觀察下面的等式:32-12=8X1,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=8X
4,…
(1)寫(xiě)出192-*2的結(jié)果;
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含〃的等式表示,〃為正整數(shù));
(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí),推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的.
【考點(diǎn)】規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi);有理數(shù)的混合運(yùn)算;列代數(shù)式.
【分析】(1)根據(jù)題目中的例子,可以寫(xiě)出192-172的結(jié)果;
(2)根據(jù)題目中給出的式子,可以得到(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃;
(3)將(2)中等號(hào)左邊的式子利用平方差公式計(jì)算即可.
【解答】解:(1)717=2X9-1,
.?.192-172=8X9=72;
(2)由題意可得,
(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃;
(3),/(2〃+1)2-(2M-1)3
=[(2〃+1)+(2〃-1)][(2〃+1)-(2〃-1)]
=(2〃+1+2〃-1)(2〃+1-2?+1)
=4?X2
=8〃,
(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃正確.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)、有理數(shù)的混合運(yùn)算、列代數(shù)式,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,發(fā)
現(xiàn)式子的變化特點(diǎn).
規(guī)律型:圖形的變化類(lèi)
10.(2023?達(dá)州)如圖,四邊形4BCD是邊長(zhǎng)為|的正方形,曲線(xiàn)。…是由多段90°的圓
心角所對(duì)的弧組成的.其中,萬(wàn)%的圓心為4半徑為ZD;另瓦的圓心為瓦半徑為84;國(guó)的
圓心為C,半徑為C81;0的圓心為。,半徑為。Ci…,反1、4瓦、瓦一瓦、,的圓心依次為
的長(zhǎng)是()
「20237T
X-/?D.2022Tl
24
【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類(lèi);圓心角、弧、弦的關(guān)系.
【分析】由觀察規(guī)律可得七0蒜2023的半徑為2X2023-1=4045,再用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可.
【解答】解:由已知可得,4瓦的半徑為為1,瓦乙的半徑為|,皿的半徑為2,瓦石的半徑為
5
2
???后一段90°的圓心角所對(duì)的弧比相鄰的前一段90°的圓心角所對(duì)的弧的半徑大5
瓦瓦的半徑為3,瓦瓦的半徑為5,瓦瓦的半徑為7...,
?“207^2023的半徑為2X2023-1=4045,
?Mo蒜2023的長(zhǎng)為券x2nX4045=等
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變化類(lèi)問(wèn)題,涉及與圓相關(guān)的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是找到90°的圓心角所
對(duì)的弧的半徑變化規(guī)律.
規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi)
10.(2023?遂寧)烷燒是一類(lèi)由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物,在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤(rùn)滑劑等
原料,也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù).通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(當(dāng)碳
原子數(shù)目超過(guò)10個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示,如十一烷、十二烷…)等,甲烷的化學(xué)式為C%,乙烷
的化學(xué)式為。2風(fēng),丙烷的化學(xué)式為。3必…,其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示,按照此規(guī)律,十二烷的化
【考點(diǎn)】規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi).
【分析】根據(jù)圖形,可以寫(xiě)出。和〃的個(gè)數(shù),然后即可發(fā)現(xiàn)。和〃的變化特點(diǎn),從而可以寫(xiě)出十
二烷的化學(xué)式.
【解答】解:由圖可得,
甲烷的化學(xué)式中的C有1個(gè),〃有2+2Xl=4(個(gè)),
乙烷的化學(xué)式中的C有2個(gè),〃有2+2X2=6(個(gè)),
丙烷的化學(xué)式中的。有3個(gè),〃有2+2X3=8(個(gè)),
???,
十二烷的化學(xué)式中的C有12個(gè),H有2+2X12=26(個(gè)),
即十二烷的化學(xué)式為Cl2H26,
故答案為:Cl2H26.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類(lèi),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,發(fā)現(xiàn)。和H的變化特點(diǎn).
規(guī)律型:圖形的變化類(lèi)
9.(2023?重慶)用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈,第②個(gè)圖案中有
5個(gè)圓圈,第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈,第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈,…,按此規(guī)律排列下去,則第
⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為()
cOOOOO
ooogo°8§°°§88°
①②③④
A.14B.20C.23D.26
【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類(lèi).
【分析】根據(jù)前4個(gè)圖中的個(gè)數(shù)找到規(guī)律,再求解.
【解答】解:第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈,
第②個(gè)圖案中有2+3Xl=5個(gè)圓圈,
第③個(gè)圖案中有2+3X2=8個(gè)圓圈,
第④個(gè)圖案中有2+3X3=11個(gè)圓圈,
…,
則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為:2+3X6=20,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類(lèi),找到變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
10.(2023?重慶)用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個(gè)圖案用了9根木棍,第②
個(gè)圖案用了14根木棍,第③個(gè)圖案用了19根木棍,第④個(gè)圖案用了24根木棍,…,按此規(guī)律排
列下去,則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是()
①②③④
A.39B.44C.49D.54
【考點(diǎn)】規(guī)律型:圖形的變化類(lèi).
【分析】根據(jù)圖形可以寫(xiě)出前幾個(gè)圖案需要的小木棒的數(shù)量,即可發(fā)現(xiàn)小木棒數(shù)量的變化規(guī)律,從
而可以解答本題.
【解答】解:由圖可得,圖案①有:4+5=9根小木棒,
圖案②有:4+5X2=14根小木棒,
圖案③有:4+5X3=19根小木棒,
???,
J第〃個(gè)圖案有:(4+5〃)根小木棒,
???第⑧個(gè)圖案有:4+5X8=44根小木棒,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的變化類(lèi)、列代數(shù)式,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解
較
規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi)
8.(2023?聊城)如圖,圖中數(shù)字是從1開(kāi)始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開(kāi)始,把位于同一列
且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來(lái)組成有序數(shù)對(duì):(3,5);(7,10);(13,17);(21,26);(31,
37)…如果單另把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái)研究,就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)
律.請(qǐng)寫(xiě)出第〃個(gè)數(shù)對(duì):(1,/+2〃+2)
37
<-------------
212019181736
227635
238141534
33
249、f2314
25、,1011121332
------------)
v262728293031
【答案](層+〃+1,層+2〃+2).
【分析】根據(jù)題意把每一個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)數(shù)字和第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來(lái),可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)對(duì)
的第一個(gè)數(shù)為〃(“+1)+1,第〃個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)數(shù)為(層+1)+1,于是得到結(jié)論.
【解答】解:每個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)分別為3,7,13,21,31,...,
即1X2+1,2X3+1,3X4+1,4X5+1,5X6+1,...?
則第〃個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)為〃(〃+1)+1,
每個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)數(shù)分別為5,10,17,26,37,
即22+1,32+1,42+1,52+1,...,
則第〃個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)數(shù)為(〃+1)2+1=*+2〃+2,
.,.第〃個(gè)數(shù)對(duì)為(〃2+〃+1,/+2〃+2).
故答案為:(層+〃+1,n~+2n+2).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律,找出數(shù)字的排列規(guī)律,利用拐彎處數(shù)字的差的規(guī)律求得結(jié)果
是解題的關(guān)鍵.
規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi)
10.(2023?岳陽(yáng))觀察下列式子:
I2-1=1X0;22-2=2X1;32-3=3X2;42-4=4X3;52-5=5X4;…
依此規(guī)律,則第〃(〃為正整數(shù))個(gè)等式是〃2〃=〃(〃-1).
【答案】n2-n=n(〃-1).
【分析】觀察等式左邊的特點(diǎn),即第〃個(gè)式子就是〃的平方減去〃;右邊的特點(diǎn)是〃與(〃-1)的
積.
【解答】解:I?-1=1X0;
22-2=2X1;
32-3=3X2;
42-4=4X3;
52-5=5X4;
依此規(guī)律,則第〃(〃為正整數(shù))個(gè)等式是:*-〃=〃(〃-1).
故答案為:/-n=n(〃-1).
【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律,通過(guò)觀察,分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.
11.(2023?隨州)某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題:
設(shè)有編號(hào)為1-100的100盞燈,分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為1-100的100個(gè)開(kāi)關(guān),燈分為“亮”和“不
亮”兩種狀態(tài),每按一次開(kāi)關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài),所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”.現(xiàn)
有100個(gè)人,第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次,第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)
倍的開(kāi)關(guān)按一次,第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次,……,第100個(gè)人把所有編
號(hào)是100的整數(shù)倍的開(kāi)關(guān)按一次?問(wèn)最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞?
幾位同學(xué)對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)了討論:
甲:應(yīng)分析每個(gè)開(kāi)關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律;
乙:1號(hào)開(kāi)關(guān)只被第1個(gè)人按了1次,2號(hào)開(kāi)關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次,3號(hào)開(kāi)關(guān)被第
1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次,……
丙:只有按了奇數(shù)次的開(kāi)關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài).
根據(jù)以上同學(xué)的思維過(guò)程,可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10一盞.
【答案】10.
【分析】分析各號(hào)開(kāi)關(guān)被按的次數(shù),可得出〃號(hào)開(kāi)關(guān)被按的次數(shù)等于〃的約數(shù)的個(gè)數(shù),進(jìn)而可得出
約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù),則〃一定是平方數(shù).結(jié)合100=102,可得出100以?xún)?nèi)共有10個(gè)平方數(shù),即最終
狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞.
【解答】解:???1號(hào)開(kāi)關(guān)被按了1次,2號(hào)開(kāi)關(guān)被按了2次,3號(hào)開(kāi)關(guān)被按了2次,4號(hào)開(kāi)關(guān)被按了
3次,5號(hào)開(kāi)關(guān)被按了2次,6號(hào)開(kāi)關(guān)被按了4次,7號(hào)開(kāi)關(guān)被按了2次,8號(hào)開(kāi)關(guān)被按了4次,9
號(hào)開(kāi)關(guān)被按了3次,…,
???〃號(hào)開(kāi)關(guān)被按的次數(shù)等于n的約數(shù)的個(gè)數(shù),
約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù),則〃一定是平方數(shù).
V100=102,
.,.100以?xún)?nèi)共有10個(gè)平方數(shù),
...最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞.
故答案為:10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型:數(shù)字的變化類(lèi),根據(jù)各號(hào)開(kāi)關(guān)被按的次數(shù),找出“〃號(hào)開(kāi)關(guān)被按的次
數(shù)等于”的約數(shù)的個(gè)數(shù)”是解題的關(guān)鍵.
規(guī)律型:圖形的變化類(lèi)
12.(2023?廣元)在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》(1261年)一書(shū)中,用如圖的三角
形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律,因此我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“楊輝三角”,根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三
個(gè)數(shù)為21.
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第六行
【答案】21.
【分析】根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出Q+A)8的展開(kāi)式中第三項(xiàng).
【解答】解:找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(a+b)3的第三項(xiàng)系數(shù)為3=1+2;
(a+b)4的第三項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3;
(a+b)5的第三項(xiàng)系數(shù)為10=1+2+3+4;
不難發(fā)現(xiàn)(a+6)"的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+34---f-(〃-2)+(?-1),
因?yàn)榈诎诵袨椋ā?6)7,
Ca+b)7展開(kāi)式的第三項(xiàng)的系數(shù)是1+2+3+…+6=21,
???第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為為21.
故答案為:21.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律,通過(guò)觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解
決問(wèn)題的能力.
13.(2023?十堰)用火柴棍拼成如圖圖案,其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小菱形,第
②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形,…,若按此規(guī)律拼下去,則第〃個(gè)圖案需要火柴
棍的根數(shù)為6〃+6.(用含〃的式子表示)
①②③
【答案】6n+6.
【分析】第①個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為:12+1=3X4,第②個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)
為:18+2=3X6,第③個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為:24+3=3X8,…,據(jù)此可求得第〃個(gè)圖案
所需要的火柴棍的根數(shù).
【解答】解:???第①個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為:12+1=3X4,
第②個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為:18+2=3X6,
第③個(gè)圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為:24+3=3X8,
???,
.?.第〃個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為:3(2〃+2)=6n+6.
故答案為:6n+6.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律,解答的關(guān)鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規(guī)律.
規(guī)律型:圖形的變化類(lèi)
5.(2023?山西)如圖是一組有規(guī)律的圖案,它由若干個(gè)大小相同的圓片組成.第1個(gè)圖案中有4個(gè)
白色圓片,第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片,第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片,第4個(gè)圖案中有10個(gè)
白色圓片,…依此規(guī)律,第上個(gè)圖案中有(2+2〃)個(gè)白色圓片(用含〃的代數(shù)式表示).
托m8W88Wa8-
第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)
【答案】(2+2〃).
【分析】每增加一個(gè)圖案增加2個(gè)白色圓片,據(jù)此解答.
【解答】解:第1個(gè)圖形中有2+2Xl=4個(gè)白色圓片;
第2個(gè)圖形中有2+2X2=6個(gè)白色圓片;
第3個(gè)圖形中有2+2X3=8個(gè)白色圓片;
?
第〃個(gè)圖形中有(2+2〃)個(gè)白色圓片;
故答案為:(2+2〃).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題,找到圖形變化的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.
規(guī)律型:圖形的變化類(lèi)
5.(2023?綏化)在求1+2+3+…+100的值時(shí),發(fā)現(xiàn):1+100=101,2+99=101…,從而得到1+2+3+…
+100=101X50=5050.按此方法可解決下面問(wèn)題.圖(1)有1個(gè)三角形,記作ai=l;分別連接
這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖(2),有5個(gè)三角形,記作及=5;再分別連接圖(2)中間的小三角
形三邊中點(diǎn)得到圖(3),有9個(gè)三角形,記作43=9;按此方法繼續(xù)下去,則。1+。2+。3+…+?!?2足
【分析】根據(jù)題意可求得。〃=4〃-3,從而可求解.
【解答】解:?;圖(1)有1個(gè)三角形,記作41=1;
圖(2)有5個(gè)三角形,記作02=5=1+4=1+4X1;
圖(3)有9個(gè)三角形,記作03=9=1+4+4=1+4X2;
???,
???圖(〃)中三角形的個(gè)數(shù)為:念=1+4(〃-1)=4〃-3,
二.。1+。2+。3+…
=1+5+9+,?,+(4/7-3)
=2〃2-n.
故答案為:2n2-n.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律,解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出念=
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