2024年初中數(shù)學(xué)升學(xué)考試復(fù)習(xí)-規(guī)律型

規(guī)律型：數(shù)字的變化類

9.(2023?嘉興、舟山)觀察下面的等式：32-12=8X1,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=8X

4,…

(1)寫出192-*2的結(jié)果;

(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論(用含〃的等式表示，〃為正整數(shù))；

(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運算；列代數(shù)式.

【分析】(1)根據(jù)題目中的例子，可以寫出192-172的結(jié)果；

(2)根據(jù)題目中給出的式子，可以得到(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃；

(3)將(2)中等號左邊的式子利用平方差公式計算即可.

【解答】解：(1)717=2X9-1,

.?.192-172=8X9=72；

(2)由題意可得，

(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃；

(3),/(2〃+1)2-(2M-1)3

=[(2〃+1)+(2〃-1)][(2〃+1)-(2〃-1)]

=(2〃+1+2〃-1)(2〃+1-2?+1)

=4?X2

=8〃，

(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃正確.

【點評】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)

現(xiàn)式子的變化特點.

規(guī)律型：圖形的變化類

10.（2023?達(dá)州）如圖，四邊形4BCD是邊長為|的正方形，曲線。…是由多段90°的圓

心角所對的弧組成的.其中，萬%的圓心為4半徑為ZD；另瓦的圓心為瓦半徑為84；國的

圓心為C,半徑為C81；0的圓心為。，半徑為。Ci…，反1、4瓦、瓦一瓦、,的圓心依次為

的長是（）

「20237T

X-/?D.2022Tl

24

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類;圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】由觀察規(guī)律可得七0蒜2023的半徑為2X2023-1=4045,再用弧長公式列式計算即可.

【解答】解：由已知可得，4瓦的半徑為為1,瓦乙的半徑為|,皿的半徑為2,瓦石的半徑為

5

2

???后一段90°的圓心角所對的弧比相鄰的前一段90°的圓心角所對的弧的半徑大5

瓦瓦的半徑為3,瓦瓦的半徑為5,瓦瓦的半徑為7...,

?“207^2023的半徑為2X2023-1=4045,

?Mo蒜2023的長為券x2nX4045=等

故選：A.

【點評】本題考查圖形的變化類問題，涉及與圓相關(guān)的計算，解題的關(guān)鍵是找到90°的圓心角所

對的弧的半徑變化規(guī)律.

規(guī)律型：數(shù)字的變化類

10.（2023?遂寧）烷燒是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等

原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護.通常用碳原子的個數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（當(dāng)碳

原子數(shù)目超過10個時即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化學(xué)式為C%,乙烷

的化學(xué)式為。2風(fēng)，丙烷的化學(xué)式為。3必…，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【分析】根據(jù)圖形，可以寫出。和〃的個數(shù)，然后即可發(fā)現(xiàn)。和〃的變化特點，從而可以寫出十

二烷的化學(xué)式.

【解答】解：由圖可得，

甲烷的化學(xué)式中的C有1個，〃有2+2Xl=4（個），

乙烷的化學(xué)式中的C有2個，〃有2+2X2=6（個），

丙烷的化學(xué)式中的。有3個，〃有2+2X3=8（個），

???，

十二烷的化學(xué)式中的C有12個，H有2+2X12=26（個），

即十二烷的化學(xué)式為Cl2H26,

故答案為：Cl2H26.

【點評】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)。和H的變化特點.

規(guī)律型：圖形的變化類

9.（2023?重慶）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有

5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第

⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（）

cOOOOO

ooogo°8§°°§88°

①②③④

A.14B.20C.23D.26

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【分析】根據(jù)前4個圖中的個數(shù)找到規(guī)律，再求解.

【解答】解：第①個圖案中有2個圓圈，

第②個圖案中有2+3Xl=5個圓圈，

第③個圖案中有2+3X2=8個圓圈，

第④個圖案中有2+3X3=11個圓圈，

…,

則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為：2+3X6=20,

故選：B.

【點評】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，找到變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?重慶）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②

個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)律排

列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（）

①②③④

A.39B.44C.49D.54

【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.

【分析】根據(jù)圖形可以寫出前幾個圖案需要的小木棒的數(shù)量，即可發(fā)現(xiàn)小木棒數(shù)量的變化規(guī)律，從

而可以解答本題.

【解答】解：由圖可得，圖案①有：4+5=9根小木棒,

圖案②有：4+5X2=14根小木棒,

圖案③有：4+5X3=19根小木棒，

???，

J第〃個圖案有：(4+5〃)根小木棒，

???第⑧個圖案有：4+5X8=44根小木棒，

故選：B.

【點評】本題考查圖形的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

較

規(guī)律型：數(shù)字的變化類

8.(2023?聊城)如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣.從3開始，把位于同一列

且在拐角處的兩個數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,

37)…如果單另把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)

律.請寫出第〃個數(shù)對：(1,/+2〃+2)

37

<-------------

212019181736

227635

238141534

33

249、f2314

25、,1011121332

------------）

v262728293031

【答案］（層+〃+1,層+2〃+2）.

【分析】根據(jù)題意把每一個數(shù)對中的第一個數(shù)字和第二個數(shù)字按順序排列起來，可發(fā)現(xiàn)第n個數(shù)對

的第一個數(shù)為〃(“+1)+1,第〃個數(shù)對的第二個數(shù)為(層+1)+1,于是得到結(jié)論.

【解答】解：每個數(shù)對的第一個數(shù)分別為3,7,13,21,31,...,

即1X2+1,2X3+1,3X4+1,4X5+1,5X6+1,...?

則第〃個數(shù)對的第一個數(shù)為〃（〃+1）+1,

每個數(shù)對的第二個數(shù)分別為5,10,17,26,37,

即22+1,32+1,42+1,52+1,...,

則第〃個數(shù)對的第二個數(shù)為（〃+1）2+1=*+2〃+2,

.,.第〃個數(shù)對為（〃2+〃+1,/+2〃+2）.

故答案為：（層+〃+1,n~+2n+2）.

【點評】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字的排列規(guī)律，利用拐彎處數(shù)字的差的規(guī)律求得結(jié)果

是解題的關(guān)鍵.

規(guī)律型：數(shù)字的變化類

10.（2023?岳陽）觀察下列式子：

I2-1=1X0；22-2=2X1；32-3=3X2；42-4=4X3；52-5=5X4；…

依此規(guī)律，則第〃（〃為正整數(shù)）個等式是〃2〃=〃（〃-1）.

【答案】n2-n=n（〃-1）.

【分析】觀察等式左邊的特點，即第〃個式子就是〃的平方減去〃；右邊的特點是〃與（〃-1）的

積.

【解答】解：I?-1=1X0；

22-2=2X1；

32-3=3X2；

42-4=4X3；

52-5=5X4；

依此規(guī)律，則第〃(〃為正整數(shù))個等式是：*-〃=〃(〃-1).

故答案為：/-n=n(〃-1).

【點評】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

11.(2023?隨州)某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：

設(shè)有編號為1-100的100盞燈，分別對應(yīng)著編號為1-100的100個開關(guān)，燈分為“亮”和“不

亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對應(yīng)編號的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”.現(xiàn)

有100個人，第1個人把所有編號是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個人把所有編號是2的整數(shù)

倍的開關(guān)按一次，第3個人把所有編號是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個人把所有編

號是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次?問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？

幾位同學(xué)對該問題展開了討論：

甲：應(yīng)分析每個開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律；

乙：1號開關(guān)只被第1個人按了1次，2號開關(guān)被第1個人和第2個人共按了2次，3號開關(guān)被第

1個人和第3個人共按了2次，……

丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài).

根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10一盞.

【答案】10.

【分析】分析各號開關(guān)被按的次數(shù)，可得出〃號開關(guān)被按的次數(shù)等于〃的約數(shù)的個數(shù)，進(jìn)而可得出

約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，則〃一定是平方數(shù).結(jié)合100=102,可得出100以內(nèi)共有10個平方數(shù)，即最終

狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞.

【解答】解：???1號開關(guān)被按了1次，2號開關(guān)被按了2次，3號開關(guān)被按了2次，4號開關(guān)被按了

3次，5號開關(guān)被按了2次，6號開關(guān)被按了4次，7號開關(guān)被按了2次，8號開關(guān)被按了4次，9

號開關(guān)被按了3次，…，

???〃號開關(guān)被按的次數(shù)等于n的約數(shù)的個數(shù)，

約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，則〃一定是平方數(shù).

V100=102,

.，.100以內(nèi)共有10個平方數(shù)，

...最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞.

故答案為：10.

【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)各號開關(guān)被按的次數(shù)，找出“〃號開關(guān)被按的次

數(shù)等于”的約數(shù)的個數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

規(guī)律型：圖形的變化類

12.（2023?廣元）在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角

形解釋二項和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三

個數(shù)為21.

第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

第六行

【答案】21.

【分析】根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出Q+A）8的展開式中第三項.

【解答】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)（a+b）3的第三項系數(shù)為3=1+2；

（a+b）4的第三項系數(shù)為6=1+2+3；

（a+b）5的第三項系數(shù)為10=1+2+3+4；

不難發(fā)現(xiàn)(a+6)"的第三項系數(shù)為1+2+34---f-(〃-2)+(?-1),

因為第八行為（。+6）7,

Ca+b）7展開式的第三項的系數(shù)是1+2+3+…+6=21,

???第八行從左到右第三個數(shù)為為21.

故答案為：21.

【點評】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解

決問題的能力.

13.（2023?十堰）用火柴棍拼成如圖圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第

②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，…，若按此規(guī)律拼下去，則第〃個圖案需要火柴

棍的根數(shù)為6〃+6.（用含〃的式子表示）

①②③

【答案】6n+6.

【分析】第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12+1=3X4,第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)

為：18+2=3X6,第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24+3=3X8,…，據(jù)此可求得第〃個圖案

所需要的火柴棍的根數(shù).

【解答】解：???第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12+1=3X4,

第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18+2=3X6,

第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24+3=3X8,

???，

.?.第〃個圖案需要火柴棍的根數(shù)為:3（2〃+2）=6n+6.

故答案為：6n+6.

【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規(guī)律.

規(guī)律型：圖形的變化類

5.（2023?山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中有4個

白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個

白色圓片，…依此規(guī)律，第上個圖案中有（2+2〃）個白色圓片（用含〃的代數(shù)式表示）.

托m8W88Wa8-

第1個第2個第3個第4個

【答案】（2+2〃）.

【分析】每增加一個圖案增加2個白色圓片，據(jù)此解答.

【解答】解：第1個圖形中有2+2Xl=4個白色圓片；

第2個圖形中有2+2X2=6個白色圓片；

第3個圖形中有2+2X3=8個白色圓片；

?

第〃個圖形中有（2+2〃）個白色圓片；

故答案為：（2+2〃）.

【點評】本題考查了圖形的變化類問題，找到圖形變化的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

規(guī)律型：圖形的變化類

5.（2023?綏化）在求1+2+3+…+100的值時，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,2+99=101…，從而得到1+2+3+…

+100=101X50=5050.按此方法可解決下面問題.圖（1）有1個三角形，記作ai=l；分別連接

這個三角形三邊中點得到圖（2）,有5個三角形，記作及=5；再分別連接圖（2）中間的小三角

形三邊中點得到圖（3）,有9個三角形，記作43=9；按此方法繼續(xù)下去，則。1+。2+。3+…+。”=2足

【分析】根據(jù)題意可求得?！?4〃-3,從而可求解.

【解答】解：?；圖（1）有1個三角形，記作41=1；

圖（2）有5個三角形，記作02=5=1+4=1+4X1；

圖（3）有9個三角形，記作03=9=1+4+4=1+4X2；

???，

???圖（〃）中三角形的個數(shù)為：念=1+4（〃-1）=4〃-3,

二.。1+。2+。3+…

=1+5+9+,?,+（4/7-3）

=2〃2-n.

故答案為：2n2-n.

【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出念=