第12講求未知角的三角函數值(原卷版+解析)

第12講求未知角的三角函數值方法總結：1.解決此類問題的方法步驟：（1）考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進行搭配（2）等號兩邊同取所求三角函數，并用三角函數和差公式展開（3）利用已知角所在象限和三角函數值求出此角的其他函數值（4）將結果整體代入到運算式即可2.確定所涉及角的范圍：當已知角的一個三角函數值求其他三角函數值時，角的范圍將決定其他三角函數值的正負，所以要先判斷角的范圍，再進行三角函數值的求解。確定角的范圍有以下幾個層次：（1）通過不等式的性質解出該角的范圍（2）通過該角的三角函數值的符號，確定其所在象限（3）利用特殊角將該角圈在一個區(qū)間內（4）通過題目中隱含條件判斷角的范圍典型例題：例1．（2023·廣東韶關·一模）若，則__________.例2．（2023·吉林·雙遼市第一中學高三期末（文））若，則______．例3．（2023·山西太原·高三期末（文））已知為銳角，，則__________.例4．（2023·浙江·高三開學考試）已知函數的部分圖象如圖所示，圖象與軸交于點．(1)求函數的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，例5．（2023·浙江·慈溪中學高三階段練習）已知函數.(1)求的單調遞增區(qū)間及值域；(2)若，，求的值.過關練習：1．（2023·陜西榆林·一模（理））已知，則（

）A．3 B． C． D．2．（2023·四川·模擬預測（理））已知，則（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．5．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測（理））已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則角可以是（

）A． B． C． D．6．（2023·江西上饒·高三階段練習（文））已知sin，則（

）A． B． C． D．7．（2023·福建漳州·一模）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2023·江西九江·一模（文））已知，則的值為（

）.A． B． C． D．9．（2023·江西吉安·高三期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．10．（2023·陜西·武功縣普集高級中學一模（理））已知角終邊上一點，那么（

）A． B． C．1 D．011．（2023·江蘇·蘇州中學高三開學考試）已知，且，則（

）A．5或 B．5或 C．5 D．12．（2023·山西呂梁·一模（文））已知，則（

）A． B． C． D．13．（2023·河南·南陽中學高三階段練習（文））已知α，β均為銳角，且滿足，，則（

）A． B． C． D．14．（2023·山西臨汾·一模（理））已知角的終邊過點，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題15．（2023·黑龍江·鐵力市第一中學校高三開學考試（文））若，則________________.16．（2023·山東·青島二中高三開學考試）______．17．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學校高三期末（理））若，則________．18．（2023·四川省高縣中學校模擬預測（文））已知，則______19．（2023·北京八中高三開學考試）若，，則______.20．（2023·廣東高州·二模）已知銳角的終邊上一點P的坐標為，則_______．21．（2023·河南濮陽·高三開學考試（理））若且，則______．22．（2023·河南焦作·一模（理））計算：___________.23．（2023·河南焦作·一模（文））已知，且，則______．24．（2023·廣東·模擬預測）________．25．（2023·湖南·長沙一中高三階段練習）已知，，則的值為________．第12講求未知角的三角函數值方法總結：1.解決此類問題的方法步驟：（1）考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進行搭配（2）等號兩邊同取所求三角函數，并用三角函數和差公式展開（3）利用已知角所在象限和三角函數值求出此角的其他函數值（4）將結果整體代入到運算式即可2.確定所涉及角的范圍：當已知角的一個三角函數值求其他三角函數值時，角的范圍將決定其他三角函數值的正負，所以要先判斷角的范圍，再進行三角函數值的求解。確定角的范圍有以下幾個層次：（1）通過不等式的性質解出該角的范圍（2）通過該角的三角函數值的符號，確定其所在象限（3）利用特殊角將該角圈在一個區(qū)間內（4）通過題目中隱含條件判斷角的范圍典型例題：例1．（2023·廣東韶關·一模）若，則__________.答案:解析：分析：先求出，利用兩角差的正切公式即可求出.【詳解】因為，所以，所以，所以.故答案為：例2．（2023·吉林·雙遼市第一中學高三期末（文））若，則______．答案:解析：分析：由誘導公式得，進而根據半角公式求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以．故答案為：例3．（2023·山西太原·高三期末（文））已知為銳角，，則__________.答案:##解析：分析：求出，則.【詳解】,，，.故答案為：.例4．（2023·浙江·高三開學考試）已知函數的部分圖象如圖所示，圖象與軸交于點．(1)求函數的最小正周期及，的值；(2)已知，，求的值，答案:(1)最小正周期，，(2)解析：分析：（1）由周期公式可求得最小正周期,根據函數的最大值點可求得，將代入解析式，可求得A.（2）根據角結合已知可求得，再利用兩角差的正弦公式即可求得答案.(1)的最小正周期，∵為最大值，則，，而，故取，∵函數圖象過，∴，(2)，∵，∴，∴，∴，∴.例5．（2023·浙江·慈溪中學高三階段練習）已知函數.(1)求的單調遞增區(qū)間及值域；(2)若，，求的值.答案:(1)單調遞增區(qū)間為，，的值域為(2)解析：分析：（1）利用降冪公式、二倍角的正弦公式及輔助角公式將函數化簡，再根據正弦函數的性質即可得出答案；（2）根據，可得，再根據，結合平方關系求得，再根據利用兩角差的正弦公式即可得解.(1)解：∵∴由，，即，，所以的單調遞增區(qū)間為，，且的值域為；(2)解：∵，∴，∵，則，又因為，所以，所以，則.過關練習：1．（2023·陜西榆林·一模（理））已知，則（

）A．3 B． C． D．答案:B解析：分析：利用誘導公式將化簡，可得的值，再利用兩角和的正切公式求得答案.【詳解】由題意,

可得，則，故,故選：B2．（2023·四川·模擬預測（理））已知，則（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：應該對已知條件展開，考慮條件和結果之間的內部關系，使用2倍角公式即可.【詳解】，則，即，所以,故選：B.3．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知，，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：利用二倍角公式，化簡為，即可求解.【詳解】，，，當時，，解得：（舍）或.故選：D4．（2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：根據已知條件結合正切的和角公式求得，結合同角三角函數關系，求得，再利用正弦和余弦的倍角公式，代值計算即可.【詳解】因為，故可得，解得，因為，又，故可得，又.故選：C.5．（2023·新疆烏魯木齊·模擬預測（理））已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則角可以是（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：先判定角終邊所在象限，再通過角的三角函數值確定角.【詳解】則又，則角終邊在第二象限則角可以是故選：D6．（2023·江西上饒·高三階段練習（文））已知sin，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：三角函數的恒等變換要注意條件與結果之間的關系，由此而產生解題思路.【詳解】∵，；∴，，∴=；故選：D.7．（2023·福建漳州·一模）已知，則（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：利用正余弦的二倍角公式對已知式子化簡可求得答案【詳解】由，得，所以，故選：C8．（2023·江西九江·一模（文））已知，則的值為（

）.A． B． C． D．答案:A解析：分析：結合誘導公式與二倍角公式即可求出結果.【詳解】.故選：A.9．（2023·江西吉安·高三期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用誘導公式得到，兩邊同時平方即可得到，再由求出，最后利用誘導公式及二倍角公式計算可得；【詳解】解：因為，得，所以，，所以，又，所以，，因此，因此．故選：A．10．（2023·陜西·武功縣普集高級中學一模（理））已知角終邊上一點，那么（

）A． B． C．1 D．0答案:A解析：分析：根據三角函數的定義求得,再利用二倍角公式求得，接著求得，最后利用兩角和的余弦公式求得答案.【詳解】，，所以角終邊上一點，即，,故，所以，所以，，所以，故選：A.11．（2023·江蘇·蘇州中學高三開學考試）已知，且，則（

）A．5或 B．5或 C．5 D．答案:C解析：分析：由條件結合二倍角正切公式可求，再由同角關系將所求表達式化簡為含正切的代數式，由此可求其值.【詳解】∵

，∴

，即，又∴

，∴

，故選：C.12．（2023·山西呂梁·一模（文））已知，則（

）A． B． C． D．答案:A解析：分析：利用二倍角公式直接進行求解即可.【詳解】，故選A13．（2023·河南·南陽中學高三階段練習（文））已知α，β均為銳角，且滿足，，則（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：可根據已知條件，先求解出，然后結合使用余弦的和差公式構造出，然后根據條件給的，的范圍排除，即可完成求解.【詳解】，所以，，因為，均為銳角，所以，故故選：D.14．（2023·山西臨汾·一模（理））已知角的終邊過點，則的值為（）A． B． C． D．答案:D解析：分析：結合三角函數的定義、兩角差的正切公式求得正確答案.【詳解】.故選：D二、填空題15．（2023·黑龍江·鐵力市第一中學校高三開學考試（文））若，則________________.答案:解析：分析：由誘導公式求得，再由二倍角公式計算．【詳解】由，得，所以．故答案為：．16．（2023·山東·青島二中高三開學考試）______．答案:1解析：分析：由，利用兩角和的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以．故答案為：117．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學校高三期末（理））若，則________．答案:1解析：分析：根據三角誘導公式與二倍角公式結合弦切互化公式即可求解．【詳解】，，所以．故答案為：118．（2023·四川省高縣中學校模擬預測（文））已知，則______答案:##解析：分析：直接利用二倍角的余弦公式計算可得；【詳解】解：因為，所以故答案為：19．（2023·北京八中高三開學考試）若，，則______.答案:##-0.25解析：分析：切化弦，再利用二倍角正余弦公式化簡計算作答.【詳解】依題意，，因，則，則有，解得，所以.故答案為：20．（2023·廣東高州·二模）已知銳角的終邊上一點P的坐標為，則_______．答案:##解析：分析：由三角函數的定義可得，化簡結合條件可得答案.【詳解】由題意可得又為銳角，所以故答案為：21．（2023·河南濮陽·高三開學考試（理））若且，則______．答案:或##或解析：分析：化簡整理方程，根據特殊角三角函數值即可求解.【詳解】∵∴，∴，，或，或.故答案為：或.22．（2023·河南焦作·一模（理））計算：___________.答案:##解析：分析：先切化弦，再根據二倍角的正弦公式、誘導公式、兩角差的余弦公式化簡即可得解.【詳解】.故答