論極限理論的微分等于增量的科學錯誤

PAGEPAGE1 論極限理論中微分等于增量的科學錯誤——微積分系列論文12篇之03中的部分內容摘要：證明了極限理論中微分等于增量的科學錯誤．關鍵詞：極限理論；微分；增量；導數(shù)經典微積分理論或標準分析法或極限理論或第二代微積分的世界名著，前蘇聯(lián)著名數(shù)學家、教育家格·馬·菲赫金哥爾茨（ГригорийМихайловичФихтенголъц，公元1888.6.5～1959.6.26）著，吳親仁、陸秀麗譯，高等或人民教育出版社1959年6月第1版的《數(shù)學分析原理》第1卷第1分冊（簡稱為菲書）在第170頁中說：“規(guī)定dxΔx，假若把自變量x的微分與函數(shù)yx的微分看作是同樣的（這同樣也是一種規(guī)定！），那么引用(2)式就可以證明公式(4)[說明：(2)式為dyΔx，公式(4)為dxΔx（其中Δx不必為無窮?。?，詳見菲書第169～170頁]：dxΔx1ΔxΔx．”世界微積分理論的最高權威之一、中國科學院院士張景中先生著，科學出版社2010年5月第1版的中國名著《直來直去的微積分》（簡稱為張書）在第30頁中說：“由于x自己也可以看成是x的函數(shù)，而且顯然有1，所以有dx1hh”，即dx1ΔxΔx（其中Δxh）．菲書、張書的上述證明寫完全后就是：設yx，則xy，故dxdyΔxΔx1ΔxΔx，或dxΔyΔy1ΔyΔyΔx．從上述菲書、張書的證明看出，菲書、張書只是證明了在特殊函數(shù)yx中有dxΔx（Δx不必為無窮?。?，并沒有證明在一般函數(shù)yf(x)中有dxΔx（Δx不必為無窮小）．其實，按照上述菲書、張書的證明邏輯，在一般函數(shù)yf(x)中有dx≠Δx．例如：①設y，則xy2（這正像上述的設yx，則xy一樣），故dx2yΔy2()≠(x2x1)Δx．②設yf(x)，則xg(y)．那么，不論是在函數(shù)yf(x)中還是在函數(shù)xg(y)中，變量x，y都相互對應，互為函數(shù)，地位相同，權力均衡；誰也不比誰更特殊、更突出、更優(yōu)越．所以(Δx)f(Δx)gΔx，(Δy)f(Δy)gΔy，因此Δx，Δy的形成不分先后，Δx，Δy只是相互對應關系，故dyΔx，dxΔyΔy/，dydx[Δx][Δy/]ΔyΔx．因為對于一般函數(shù)yf(x)有Δydyo(Δx)≠dy，所以dx≠Δx．故對于②中的等式dydxΔyΔx，如收稿日期：2012-04-07；修改日期：2012-07-28作者簡介：師教民（1945?），男，河北晉州人，教授．從事數(shù)學、物理、電工、電子的教學與研究．電子郵箱：shijm618@126.com果規(guī)定dxΔx，那么必然有dyΔy，這就與Δydyo(Δx)≠dy相矛盾了．從而進一步敲定了極限理論規(guī)定的dxΔx是錯誤的．由此看來，極限理論規(guī)定dxΔx的錯誤，就像規(guī)定01的錯誤一樣．正是因為按菲書、張書的證明邏輯證明了在一般函數(shù)yf(x)中有dx≠Δx，所以菲書第170頁在括號中說的“這同樣也是一種規(guī)定”又否決了菲書、張書的上述證明，從而使極限理論規(guī)定的dxΔx（Δx不必為無窮?。┯只氐搅苏嬲媲星械摹⒓兗兇獯獾?、實實在在的、沒有證明的“規(guī)定”上來．可是話又說回來，如果僅憑人為的“規(guī)定”就能產生正確的結果的話，那么世界數(shù)學大難題哥德巴赫猜想就不用陳景潤們去舍命證明了，規(guī)定它正確就是了．可能有人說：“你說的函數(shù)yf(x)中的dx和函數(shù)xg(y)中的dx不是同一個，你把它們當成同一個就錯了．同理，你說的函數(shù)yf(x)中的dy和函數(shù)xg(y)中的dy也不是同一個，你把它們當成同一個也就錯了．”上述觀點是錯誤的，理由如下：菲書在它的第170頁中說：“由此得到，于是這一表達式，我們以前把它看作是一個整個符號，現(xiàn)在可以解釋成為一個分數(shù)了．”所以．由可知，里的dx是yf(x)中的dx，由可知，里的dx是xg(y)中的dx，所以xg(y)和yf(x)中的dx是同一個．同理，yf(x)和xg(y)中的dy也是同一個．還可能有人說：“極限理論規(guī)定了函數(shù)yf(x)的自變量的微分dx和增量Δx等同，即dxΔx，但是函數(shù)xg(y)的微分dx和增量Δx不等同,即Δxdxo(Δy)≠dx,dx≠Δx.故你證明的dx≠Δx是xg(y)中的微分dx和增量Δx，而不是yf(x)中的微分dx和增量Δx，故你沒有證明規(guī)定yf(x)中的dxΔx錯誤．”上述觀點是錯誤的，理由可用以下3種情況分別說明：1)我們已用yf(x)和xg(y)的地位相同以及Δx，Δy的形成不分先后證明了：Δx既是yf(x)中的(Δx)f又是xg(y)中的(Δx)g；用(x)證明了dx既是yf(x)中的dx又是xg(y)中的dx.故若xg(y)中的dx≠Δx正確，那么yf(x)中的dx≠Δx也正確，故在yf(x)中規(guī)定dxΔx就錯了，就產生了dx≠Δx和dxΔx矛盾，這個矛盾正是第一代微積分中的dx≠0和dx0的矛盾在第二代微積分中的翻版．從而證明了第二代微積分并未解決dx≠0和dx0的矛盾即并未揭開微積分之謎．2)菲書在第167頁中設函數(shù)yf(x)的增量為Δy，函數(shù)yf(x)的自變量x的相應增量為Δx，A常數(shù)，o(Δx)是在增量Δx→0時比Δx更高級的無窮小量，于是便寫出公式ΔyAΔxo(Δx)，(1)然后再定義微分說：“如果等式(1)成立，則函數(shù)yf(x)就叫做（在給定值xx0處）是可微的，而表達式AΔx就叫做函數(shù)的微分，用符號dy或df(x0)來記它．”因此dyAΔx．據(jù)菲書在第147頁的導數(shù)的定義和在第150頁的導數(shù)的記法及(1)式知，A．故再由dyAΔx得dyΔx．規(guī)定dxΔx，得，所以就成了分數(shù)，故菲書在第170頁中說，“可以解釋成為一個分數(shù)”．由知，分數(shù)的分母dx就是增量Δx→0時的極限，因為函數(shù)yf(x)連續(xù)，故Δx→0時增量Δy→0，故分數(shù)的分子dy就是Δx→0時Δy的極限．因此dxΔx0x，dyΔy0y，即dx0x0，dy0y0．這樣，極限理論定義的dyΔx≠0和規(guī)定的dxΔx≠0就分別與由極限理論的導數(shù)定義推導出的dy0，dx0發(fā)生了矛盾，這個矛盾正是第一代微積分中的微分dx≠0和dx0的矛盾在第二代微積分或極限理論或經典微積分理論或標準分析法中的翻版．從而證明了極限理論仍然存在貝克萊悖論或第二次數(shù)學危機．3)既然2和菲書第165頁的y在x0處的導數(shù)(0)都正確，那么對于函數(shù)yx2的導數(shù)，下式也正確：2x.故由極限理論的微分定義和導數(shù)定義知，，即．故就像2一樣.極限理論把本來等于0x0的dx規(guī)定為不等于0x0的Δx，把本來等于0y0的dy定義為不等于0y0的Δx，就像規(guī)定3為2，定義6為4一樣！這不僅是錯誤，而且是笑話！參考文獻：[1]格·馬·菲赫金哥爾茨[蘇]．數(shù)學分析原理：第1卷第1分冊[M]．吳親仁，陸秀麗譯．北京：高等教育出版社或人民教育出版社，1959：170；169～170；167；147；150；165．[2]張景中．走進教育數(shù)學直來直去的微積分[M]．北京：科學出版社，2010：30．Onthescientificerrorofdifferentialequalstoincrementinthelimittheory——Partofthethirdpartofthe12articlesintheseriesofcalculus