黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)2024屆高三年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z則()

A.復(fù)數(shù)z實(shí)部為1

B.復(fù)數(shù)z虛部為0

C.\z\=41

D.在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

2.已知集合/={-1,0,1,2},集合8={y|y=x2-2x,xeN},則集合8=()

A.{-1,0}B.{-1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,3}

3.已知直線如〃，平面mua,nu/},&□/?=/,mil,則/_L〃是a_L〃的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)函數(shù)〃x)=sin,x[](o>0),已知方程=l在[0,2可上有且僅有2個根，

則。的取值范圍是()

A。齒(_3|]「53、。K「7E11)。七「7巨

5.下列函數(shù)的圖象不可能與直線，=2x+九%eR相切的是()

A./(x)=x2+xB./(x)=x3+ex

C./(x)=lnx+—D./(x)=Vx+2x

6.已知函數(shù)/(%)=2-*(1-優(yōu))(“〉0且4。1)是奇函數(shù)，則。=()

A.1B.V2C.2D.4

7.過正四棱錐P-45cZ)的高PH的中點(diǎn)作平行于底面45C。的截面4片G〃，若四棱

12

錐P-與四棱臺/5CD-的表面積之比為石，則直線尸/與底面/BCD所

試卷第1頁，共6頁

成角的余弦值為()

Vio口屈「乖>V3

zA\.?JJ?L?Un?

5533

8.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，/為直線/：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，8(5,0),以

48為徑的圓。與直線交于另一點(diǎn)。.若麗.麗=0，則/點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.-1B.3C.3或-1D.2

二、多選題

9.已知橢圓C:；+￡=l(0<6<2)的左右焦點(diǎn)分別為片,乙，點(diǎn)尸(3,1)在橢圓內(nèi)部，

點(diǎn)。在橢圓上，則以下說法正確的是()

A.離心率的取值范圍為0,—

B.|。耳。0閶的最小值為4

C.不存在點(diǎn)。，使得辦「詼2=0

D.當(dāng)e=@時，以點(diǎn)尸為中點(diǎn)的橢圓的弦的斜率為1

3

10.下列判斷正確的是()

A.函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，若x<0時，/(x)=-ln(-x),貝曦>0時，

/(x)=-lnx

B.若貝壯的取值范圍是(0,￡|

C.為了得到函數(shù)y=log2A/T1的圖象，可將函數(shù)了=bg2無圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

縮短為原來的：，橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個單位長度

D.設(shè)A滿足x+lnr=2,X2滿足In(l-x)-尤=1,則一+-=1

11.如圖，在正四棱柱中，AA^AAB,點(diǎn)E,F,G分別是BC,CD,CG

的中點(diǎn)，點(diǎn)w是線段4。上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是()

試卷第2頁，共6頁

A.存在M,使得NM〃平面EBG

B.當(dāng)/>1時，存在M,使得CM_L平面EFG

C.存在M,使得平面AffiG〃平面比7G

D.存在2,使得平面A?iC_L平面E尸G

12.已知數(shù)列｛。"｝也=。向+(-1)"。"，則()

A.當(dāng)g=“時，數(shù)列抄2"｝是公差為2的等差數(shù)列

B.當(dāng)。“=〃時，數(shù)列｛〃,｝的前16項(xiàng)和為160

C.當(dāng)"=〃時，數(shù)列｛%｝前16項(xiàng)和等于72

D.當(dāng)時，數(shù)列｛4｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，偶數(shù)項(xiàng)的和大于奇數(shù)項(xiàng)的和

三、填空題

13.若向量a3滿足a=(i,i),問=1,且[在3上的投影向量為工，貝!|

(1+B.

14.已知數(shù)列｛的｝滿足04+07=2,-8,若｛的｝是等差數(shù)列，則；

若｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，則。/+。/0=.

15.如圖，圓。與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)C,8在圓。上，且點(diǎn)C位于第一象限,

點(diǎn)8的坐標(biāo)為住,一|[,Z?1OC=a.若忸C|=1,則Geos?g-sinAosq-3的值

155J2222

為.

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22

16.已知橢圓C:與+與=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)A,左焦點(diǎn)尸，過C的右焦點(diǎn)做x軸的

ab

垂線，p為垂線上一點(diǎn)，當(dāng)橢圓C的離心率為g時，sin/N尸尸最大值為.

四、解答題

17.已知雙曲線。的實(shí)軸長為4,且與雙曲線《-上=1有公共的焦點(diǎn).

23

(1)求雙曲線。的方程；

⑵已知M(5,0),P是雙曲線C上的任意一點(diǎn)，求忸河|的最小值.

18.如圖，在三棱柱/3C-48cl中，AB1AC,頂點(diǎn)4在底面/3C上的射影恰為點(diǎn)3，

且48="=//=2.

(1)證明：4。1，平面/6月4；

(2)P是線段4。中點(diǎn)，求平面P4B和平面484夾角的余弦值.

19.已知在數(shù)列｛%｝中，4=1,%+%+1=：.

⑴令證明：數(shù)列出｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)5“=%+3%+324+—+3"%”，證明：數(shù)列｛4S“-3"%｝是等差數(shù)列.

20.在△BCD中，/￡>=90。，點(diǎn)”在線段2。上，AD^1,ZACB=a,>2a+3S=180°,

AC=2a,BC=3a,

試卷第4頁，共6頁

D

⑴求。的值；

(2)求AB的值和△BCD的面積.

21.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長.某些

折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為廠；

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)尸；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

現(xiàn)對這些折痕所圍成的圖形進(jìn)行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設(shè)定點(diǎn)尸到

圓心E的距離為4,按上述方法折紙.以點(diǎn)尸,￡所在的直線為x軸，線段E尸中點(diǎn)為原點(diǎn)

建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段ZE交點(diǎn)的軌跡，求折痕圍成的橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記(1)問所得圖形為曲線C,若過點(diǎn)。(1,0)且不與了軸垂直的直線/與橢圓C交于

兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)T&0),使得直線力促,0V斜率之積為定

值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由.

22.已知-iWaWl,函數(shù)/(x)=e'尤2-asinx-1,g(x)=/(%)+

(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)廠(x)是“X)的導(dǎo)數(shù).證明:

⑴/(x)在R上單調(diào)遞增;

試卷第5頁，共6頁

ii)當(dāng)xe-j,|時，若則|/(x)14M.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

【分析】首先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得2=-1,再結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念即可得答案.

1-i1-i1

【詳解】由題意得：2二7二'=-r=T，

所以復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為-1,虛部為0,即A錯誤，B正確；

目=1,故C錯誤，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,0),故D錯誤，

故選：B.

2.D

【分析】由題意計算，直接得出集合B.

【詳解】由題意知，當(dāng)x=-l時，y=x2-2x=3,

當(dāng)尤=0時，y=x2-2x=0,

當(dāng)x=l時，y=x2-2x=-1,

當(dāng)x=2時，y=x2-2x=0,

所以8=卜加=--2x,xe/}={-1,0,3}.

故選：D

3.B

【分析】利用線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】依題意，由機(jī)，/,加當(dāng)〃///時，不能證得從而不能證得

當(dāng)a_1_時，由已知及面面垂直的性質(zhì)知加而"u￡,因此機(jī)_L",

所以加，“是a的必要不充分條件.

故選：B

4.C

【分析】由題意知函數(shù)了=|〃刈圖象與直線y=l在[0,2可上僅有2個交點(diǎn)，由xe[0,2可得

」工8-22皿-四，所以型v2兀。-色<2,解之即可求解.

444242

【詳解】由題意知，VxeR-l<sin[^fflx-^<l,gpVxeR,|/(x)|<l,

又xe[0,2兀],方程|〃x)|=l有且僅有2個實(shí)根，

答案第1頁，共18頁

所以函數(shù)V=圖象與直線y=1在[0,2TI]上僅有2個交點(diǎn),

由xe[0,27t],^--<a)x--<27t?--,

444

7

ur*i%i3TT,—兀57r11一

所以--27ity--<--，8-8

242

即實(shí)數(shù)①的取值范圍為W，?).

oo

故選:c

5.D

【分析】題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)/''卜)=2有解，則直線>=2x+m就可以為該函數(shù)圖象的切線，則

逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可得結(jié)論.

【詳解】若導(dǎo)函數(shù)_f(x)=2有解，則直線y=2x+加就可以為該函數(shù)圖象的切線.

對于選項(xiàng)A,令/'(x)=2x+l=2,解得x=g,滿足條件；

對于選項(xiàng)B,因?yàn)?'(尤)=3/+/在(0,+司上單調(diào)遞增，且廣⑼=1<2,廣⑵=12+，>2,

所以方程/'(司=3/+d=2有解，滿足條件；

對于選項(xiàng)C,令/''(尤卜:+方？，解得x=l,滿足條件；

對于選項(xiàng)D,r(x)=^=+2>2,不滿足條件.

故選：D.

6.D

【分析】根據(jù)/(-1)=-八1)求出。，然后驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)?(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(一1)=一1⑴，即2(1-/)=一2-乂1一°),解得。=1(舍去)或a=4,

則/(尤)=2-，(1-2")=2、21

因?yàn)?(-x)=2-2T=-(2-、-2)_〃x),

所以a=4時，/(x)為奇函數(shù).

故選：D

7.A

答案第2頁，共18頁

【分析】根據(jù)題意知4,Bi，G，2分別為尸/,PB,PC,尸。的中點(diǎn)，設(shè)正方形/BCD

的邊長為。，PA=b,然后表示四棱錐尸-4BC。與四棱臺48co的表面積，由表

12

面積之比為打，得到。，6的關(guān)系，確定線面角，求解即可.

【詳解】!?

n

依題意過正四棱錐尸-48CD的高的中點(diǎn)作平行于底面48C。的截面44GA,

則4，呂，G，2分別為p/,PB,PC,p。的中點(diǎn),

設(shè)正方形48co的邊長為。，PA=b,

所以正方形ABCD的面積為/,正方形4AGA的面積為:〃，

正四棱錐的側(cè)面積為4x」q

2

四棱臺4BCD-4片G。的側(cè)面積為

四棱臺"Cl的表面積為/+3+1”523

——ClH------CI

42

解得b=a,

2

由尸H_L平面/BCD,所以為直線產(chǎn)/與底面/8C。所成角,

所以cosNP/*=誓，又AH=￡,PA=b=且a,

PA22

所以cosZPAH=翅。.

5

故選：A.

答案第3頁，共18頁

8.B

【分析】由已知得3。，/,求得2。的方程，進(jìn)而得。(1,2),設(shè)/(a,2a),則等,a

從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.

【詳解】如圖，由已知得則％=彳，所以8。的方程為y=-g(x-5).

解得。(1,2).

二,2-

設(shè)N(a,2a),a>0,則從而AB=(5,-2Q),CD=

2

所以益.麗=(5i).三22a(2i)=0,解得°=3或.=_1.

又。>0,所以。=3,即點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為3.

故選：B.

9.AC

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸(也」)在橢圓內(nèi)部求6的范圍，然后可得離心率范圍，可判斷A；利用橢

圓定義和基本不等式判斷B；當(dāng)點(diǎn)。為短軸端點(diǎn)時4鑿最大，然后利用余弦定理判斷

/耳”的最大值，然后可判斷C；利用點(diǎn)差法求解即可判斷D.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(也」)在橢圓內(nèi)部，所以|+￡<1,得〃>2,

因?yàn)閑=￡=Jl—[=J1-",所以0<e<』^,A正確；

因?yàn)辄c(diǎn)。在橢圓上，所以|。用+|。閶=2a=4,

所以|。耳卜|0閭/幽土日]=4,當(dāng)且僅當(dāng)制=|。閭時等號成立,

12J

答案第4頁，共18頁

所以，|0耳HORI有最大值4,B錯誤;

由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)。為短軸端點(diǎn)時/片。工最大,

a+a2c

此時，cos/耳QF,=""~()=I_23，

122a2

因?yàn)?所以cos/々Q￡=1-2/>0,

2一

即/與鑿的最大值為銳角，故不存在點(diǎn)。，使得5vm2=0,C正確;

當(dāng)e="時，有色=立，得,=也，所以〃=1

32333

易知，當(dāng)點(diǎn)尸為弦中點(diǎn)時斜率存在，記直線斜率為比與橢圓的交點(diǎn)為/(』,"),Ba?)?)，

22

國M

一+

鏟=1

4(%-%)(%+%)￡2

22由點(diǎn)差法得

天%(x-x)(x+x)43

一+2121

4正=1

y

又k=。必心+為產(chǎn)2屈%+%=2,

x2一/

所以也發(fā)=一2,即左=一述，D錯誤.

233

故選：AC

10.CD

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可求得當(dāng)x>0時其解析式為/(x)=ln%,可知A錯誤；利用對數(shù)

函數(shù)單調(diào)性分類討論參數(shù)。解不等式可得o<?；颉?gt;1,即B錯誤；利用含圖像變換規(guī)

則以及對數(shù)運(yùn)算法則可知C正確；由函數(shù)與方程的思想可得再」-迎是

函數(shù)/(x)=x+lnx-2的兩個零點(diǎn)，由單調(diào)性可得D正確.

【詳解】對于A,若x<0時，/(x)=-ln(-x),

則%>0時，一x<0,/(—x)=—lnx,

又因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-x)=-lnx=-/(x),可得〃x)=lnx,即A

錯誤；

對于B,若k)g*<l,當(dāng)0<a<l時，可知>=log/單調(diào)遞減，所以loga；<l=log/,解得

答案第5頁，共18頁

0<a<—；

2

當(dāng)a>l時，可知了=log.x單調(diào)遞增，所以log“g<l=k)g/,解得所以。>1；

綜上可得0<。<:或。>1,即B錯誤；

對于C,將函數(shù)y=log2X圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的橫坐標(biāo)不變，可得

j=^log2x=log2Vx,

再向右平移1個單位長度可得yulOgzA/H，因此C正確；

對于D,將ln(l-x)-x=l變形可得ln(l-x)+l-x=2,即蒞滿足ln(l-x)+l-x=2,

又A滿足x+Inx=2,可知再,1滿足方程尤+Inx=2,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(無)=x+lnx-2單調(diào)遞增，且〃匹)=〃1-尤2),所以再=1一工2，即玉+工2=1,

D正確.

故選：CD

11.ACD

【分析】建系；A設(shè)面EBG的一個法向量為〃=(x,y,2),由直線和平面EBG同時垂直

于法向量求出質(zhì)B若CM,平面E尸G,則加//人解出力=4=1；C證明平面M(D)BG〃

平面E尸G即可；D設(shè)平面兒叫。的法向量為%=(x,y,z),用五-Jp-72+l=0&/=1即可.

【詳解】以。為原點(diǎn)，。4。C。2分別為》/,2建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)48=2,則/4=22，則，（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,

答案第6頁，共18頁

又點(diǎn)E,F,G分別是BC,CD,C3的中點(diǎn),

所以￡（1,2,0）,尸（0,1,0）,G（0,2,1）,

A：設(shè)平面MG的一個法向量為3=（x/,z）,而二屁二卜1,0"）,

n?EF=-x-y=0一/.

所以｛——?,取z=l,解得〃二（4一4』），

n-EG=-x+Az=0

設(shè)DM二kDA「

-.-4（2,0,22）,\DA1=（2,0,2/）,加二（2左,0,2/@,\MQk,0,214\AMQk-2,0,214,

若AMII平面EFG,貝ljAM±n，

所以/（2左一2）+2/左二0D/（4左一2）二0,

所以當(dāng)左=；或4=0（舍）成立，此時M為4。的中點(diǎn)；故A正確；

B：延用A中的解答，CM（2k-2,21k）,若CM,平面ENG,則百江/方,

貝U-=-4=受，當(dāng)且僅當(dāng)幾=4=1時成立，故B錯誤；

1-11

當(dāng)W與。重合時，因?yàn)镋G//BC、,FG//DC、,EGCFG=G,BC、CDC「C、,且EG,尸Gu面

EFG,BG，DC|U面BOQ,此時平面M（D）8?！ㄆ矫鍱FG,故C正確;

D：延用A中的解答,M（2人,0,2困，則由=（2左,-2,2人），因?yàn)槎?,2,2/）,\西=（2,0,2/）,

設(shè)平面MB。的法向量為五=（x/,z）,

fh-CM=2kx-2y+2kAz=Q

則取z=1,得冽=（-/,0,1）,

m-CB]=2,x+2Az=0

若平面平面EPG,則肅［p-72+l=0&1=1，故D正確;

故選：ACD

答案第7頁，共18頁

12.BCD

1〃為奇數(shù)

【分析】由題意可得4=2向,〃為偶數(shù),進(jìn)而得V］，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即

可判斷A；分別求出數(shù)列也,｝前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，即可判斷B；由

an+i+(-1)"%=n得a1M+a2k=2k、a2k-*=2左-1、a2t+2-a2k+l=2k+］,進(jìn)而得

a2k-i+Cl2k+<Z2*+1+a2k+2=*+2,計算即可判斷C；由選項(xiàng)C知。2A=2左T,利用累加法求

出數(shù)列前2k項(xiàng)和中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之差，即可判斷D.

"〃+1—，〃為奇數(shù)

【詳解】由題意知,

。"+1+%,〃為偶數(shù),

1/為奇數(shù)

A：當(dāng)a=〃時，b=所以仇”=4〃+1,

nn2”+1,"為偶數(shù)

數(shù)列也“｝是以4為公差的等差數(shù)列，故A錯誤;

1,"為奇數(shù)

B：當(dāng)g=〃時，b=所以數(shù)列曲,｝前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和為8,

n2"+1,〃為偶數(shù)

偶數(shù)項(xiàng)和為2(2+4+…+16)+8x1=152,則數(shù)列也｝前16項(xiàng)和為160,故B正確;

C：當(dāng)6"="時，。什］+(-1)"%=〃，令力=2后，4eN*得。2川+°2《=2無①，

令”=2左—1,得02R=2后-1②,令〃=2上+1,得。2R+2一。2&+1=%+1③，

①-②，得a2"1+。22=1，①+③，得%-2+%="+1,

所以a2k-\+“2%+。2左+1+。2%+2=妹+2,

所以數(shù)列｛%｝前16項(xiàng)和為40+3+5+7)+8=72,故C正確；

D：由選項(xiàng)C可知a?*-=2后-1>

當(dāng)數(shù)列｛%｝的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，令項(xiàng)數(shù)為"(左eN*),

(a2—%)+一°3)+'"+(°2*—%*-i)=(a2+%+—+a?*)—(q+%++—2(1+2+*“+無)_k=k，>0

即偶數(shù)項(xiàng)和大于奇數(shù)項(xiàng)和，故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：已知?！?1+(-1)"%="，分別令”=2左，n=2k-\,〃=2左+1可得到｛%,｝

答案第8頁，共18頁

中相鄰項(xiàng)和或差的關(guān)系，%+1+。2無=2后，a2k-a2k_x=2k-\,4左+2-%+1=〃+1，進(jìn)一步可得

aa=

到隔項(xiàng)關(guān)系2k+\+2k-\1,a2k+2+a2k=4k+l,若已知前兩項(xiàng)，由此可求出｛6,｝的通項(xiàng)公式,

可惜本題中沒有出現(xiàn)通項(xiàng)問題.

13.0

【分析】由題意，根據(jù)投影向量公式可得3%=-1，計算直接得出結(jié)果.

a-hb-

【詳解】由題意知，Z在B上的投影向量為M.同二4，

由W=l,得Q./)=-1，

所以(a+B)石=a+B=—1+I=0.

故答案為：0

14.-728-7

【分析】答題空1：利用等差數(shù)列性質(zhì)求出生和劭的值，從而得到數(shù)列的公差，然后求出

幻和R0即可求解；答題空2：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出Q4和Q7的值，從而得到數(shù)列的公比，

然后求出ai和aio即可求解.

【詳解】若｛。/是等差數(shù)列，

則。4+。7=。5+。6=2,又a5a6=~8,

所以45和46為一2x-8=0的兩根，

當(dāng)巴=-2,4=4時，公差"==6,

易得，/=_26,<710=28,故qaio=-728；

當(dāng)%=4,4=—2時，公差"=46-“5=-6,

易得，%=28,%o=—26,故〃嗎。二一728；

若｛〃〃｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為夕，

則a5a6=a4a7=~8,

又。4+。7=2,

答案第9頁，共18頁

%=j或%=4

所以。4和。7為X2一2%-8=0的兩根，解得,

。7=4Ctq=一2

當(dāng)&=一2,%=4時，則，"=如二-2,

故q='=1,4o==—8,即q+40=-7；

q

,,”731

當(dāng)為=4,%=—2時，則一=q=~~,

。42

故。1=—^=-8,%0=a7d=］，即q+々o=-7.

q

故答案為：-728；-7.

【分析】由倍角公式和輔助角公式可得瓜。，2羨5卜，7號="5"由題意

JT

ZAOB=--a,再由三角函數(shù)的定義即可求sin//。氏

p用=1,，圓。的半徑為1.

又忸C|=l,.“BOC為等邊三角形.

TT

.Z.AOB=——cc,且。為銳角.

a.aa1.

cos2----sin—cos——-sma-

22222

V31..

=——cosa——sina-sinJaj=sinZAOB.

22

,3

由三角函數(shù)的定義可得，sinZAOB=-.

_3

故答案為t：—.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，倍角公式和輔助角公式，公式的熟練運(yùn)用是解決問題的

關(guān)鍵.

16.-/0.5

2

【分析】如圖，由題意，設(shè)右焦點(diǎn)為片，尸（c,M（加W0）,根據(jù)正弦定理可得

sinZAPF16

144c2Mm，結(jié)合基本不等式計算即可求解.

^^+丁+

mc40

答案第10頁，共18頁

【詳解】如圖，A（-a,O）,F（-c,O）,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為耳,尸耳_Lx軸，則P（c,切）（加wO）,

在△"尸中’由正弦定理'得H=忐匕'即高而二牛需

mmm(a-c)

在△/尸片中，sinZP^F=--,所以sin/4尸尸二

2222

J(a+c)2+加2\lm+4cy/m+(tz+c)

c1

由e=—=一,得〃=5c,

a5

所以

4mc/16m2c2I16

7^2+4c2Vm2+36c2N144c,+/+40加2c2144c?嚴(yán)？“0

所以sin//尸尸的最大值為:.

(2)2

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)雙曲線，由雙曲線的性質(zhì)即可求解;

（2）設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得出外的范圍，利用兩點(diǎn)間距離公式求解.

【詳解】（1）由雙曲線［-9=1的焦點(diǎn)在x軸，坐標(biāo)為（百,0）,（-75,0）,

22

所以可設(shè)雙曲線C的方程為0-彳=1（。>0,6>0）,

ab

由已知2a=4,所以。=2,

答案第11頁，共18頁

22

又因?yàn)殡p曲線。與雙曲線二-2=1有公共的焦點(diǎn)，所以4+/=5,

23

解得b=l,

所以雙曲線。的方程為土-/=1；

4

f

(2)

由^--y2=l,可得％2或％22,

4

設(shè)「(%,%),因?yàn)槭请p曲線。上的任意一點(diǎn)，

2

所以會需=1,則%4-2或%22,

X424

\PM\=1同一5)?；=,一5f+券1=^^-10x0+24=^|(O-)+，

因?yàn)椋-2或％22,

所以當(dāng)％=4時，|尸加|有最小值2.

18.(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)4在底面N8C上的射影恰為點(diǎn)B,得到42J■面N8C,根據(jù)線面垂

直的性質(zhì)得到1AC,結(jié)合工AC和AC//A.C,即可證明；

(2)根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合面面角的計算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)轫旤c(diǎn)4在底面N8C上的射影恰為點(diǎn)3,所以42上面/BC,

因?yàn)镹Cu面4BC,所以48_L/C,

因?yàn)樵谌庵?3C-44G中4c〃4。，所以4§J_4G，

因?yàn)?31/C,所以/8_L4G，

又因?yàn)?2,4Bu面AlBp\AB=B,

所以4G，面Z8g4

答案第12頁，共18頁

(2)在平面內(nèi)，過點(diǎn)B作AE■〃/C,則8￡_L4B,

因?yàn)?2_1面48<7,BE,4Bu面4BC,

所以,

以8為原點(diǎn)，而，萬，怒為x,%z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則/（0,-2,0）心（0,2,2）6（2,0,2）,4（0,0,2）,

故靖=(2,-2,0),所以率=(1,一1,0),所以尸(1,1,2),

所以麗=(1,1,2),在=(0,2,0),

設(shè)平面PAB的法向量加=(xj,z),

則｛一，令z=l,則平面尸48的一個法向量加=(-2,0,1),

m?AB=2y=0

由(1)知：=(1,0,0)是平面4/8的一個法向量，

m-n2245

平面PAB和平面484夾角的余弦值為kos伍萬〉卜

\m\\n\V5xl5

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列定義由，=3"-4利用遞推關(guān)系式0“+%=g化簡可得

臥=-3,即可得證明；

b“

33

(2)解法一：由(1)可得4S.=〃+\-tx(-3)〃，代入表達(dá)式可得

4S"-3"a「(4S"_「3"T%_J=l；解法二：由S”,?！暗年P(guān)系式可得凡-=3'%,,化簡可得

答案第13頁，共18頁

結(jié)論4s=

b3〃%-13l）413〃?！?/p>

【詳解】（1）證明：易知皿=-------什———產(chǎn)=，------=-3,

"3"一％-43”匕一4?%“一彳

13

又4=〃]—=一。0,

44

所以數(shù)列｛〃｝是以:為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列；

（2）證明：解法一：由（1）知，=3"%"-彳1=3》（一3尸，所以一33尸+“1

又3"%3x(-3)"+13,所以4s“一3"g=〃，

所以“22時，4s“一3%「（4%「3"%1）=1,又4s「3%=1,

所以，數(shù)列｛4S“-3%”｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

2x

解法二：由S〃=4+3a2+34---卜3"an,

Si=%+34+32%+…+3〃一2,相減得S”一Si=3~%,

所以4S“_3”_(4S“「3"T%)

=4(凡-九)-3"%+3""一=4.3"-%“-3a+3"%一=31(%+%)=3-1.擊=1,

又4s-3%=1,

所以數(shù)列｛4S“-3"%｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

20.(1)3

(2)48=5,面積為14血

【分析】（1）分別在△BCD和“3C中，利用正弦定理列式求解可得;

（2）在“3C中，利用余弦定理求出48,然后可解.

3

【詳解】（1）因?yàn)?a+38=180。，所以。+/8=90。，①

B

因?yàn)榭?3+//。=90°,所以。=不，

2

答案第14頁，共18頁

在RtABC。中，由正弦定理得2=sinO,②

2a2

3a2a

在&4BC中，由正弦定理得./A,、=，

sm(5+a)sinB

____為____-2"3_2

將①代入得(90。-夕|si"，所以cos^—sin5,解得sin,=]代入②得”3.

(2)由sinO=1，00<5<900,0°<-<45°,得cos”=N^,

23223

所以sinB=2sinOcos0=2x'X’逝,cosB=l-2sin2^-=1-2xp-]=L,

223392319

在“3C中，由余弦定理得/C?=/82+8C2-2N84C-COS8

7

即(24=AB1+(3a)2-2AB-3a-cos5,將a=3代入得36=AB2+S1-2AB-9x-,

化簡得//一i4/8+45=o,解得A8=5,或48=9,

因?yàn)樗訬B<8C=9,所以N3=5

在RMBCD中，由勾股定理得。。2=8。2-8。2=32,所以。=4也，

所以Rt"CO的面積為S=■瓦)CD=14行.

2

￡

x/\\

B

22

21.⑴上+匕=1

95

(2)存在點(diǎn)7(3,0)使得原材和kTN之積為-1.

【分析】(1)建立直角坐標(biāo)系，利用橢圓的定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)出直線/的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率的定義求解.

【詳解】(1)如圖，以EF所在的直線為x軸，E尸的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)M(x,y)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知\MF\+\ME\=\AE\=6>\EF\=4,

.?.點(diǎn)M的軌跡點(diǎn)瓦尸為焦點(diǎn)，長軸2a=1初用+1ME|=6的橢圓，

答案第15頁，共18頁

V2a=6,2c=4fa=3,c=2,

22

：.b2=a2-c2=5,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1,

95

-----F—

(2)設(shè)直線/的方程為x=my+l,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立95

x=my+1

消去工得（5加2+9）歹2+10阿—40=