圖形的相似章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（蘇科版）（解析版） 九年級(jí)下冊(cè)

專題6.9圖形的相似章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】 1【題型2由平行判斷成比例的線段】 1【題型3黃金分割】 1【題型4證明兩三角形相似】 2【題型5證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】 2【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 2【題型7相似與翻折】 2【題型8利用相似求坐標(biāo)】 2【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】 2【題型10相似三角形的應(yīng)用】 3【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】【例1】（2023秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）已知a+bc=b+ca=c+ab，求a+bb+cc+aabc的值．【答案】8或?1【分析】觀察(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b與(a+b)(b+c)(c+a)abc發(fā)現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出(a+b)c【詳解】設(shè)a+b則a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb(a+b)+(b+c)+(c+a)=kc+ka+kb2(a+b+c)=k(a+b+c)即(a+b+c)(k?2)=0所以a+b+c=0或k=2當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b=?c,a+bc=?1,同理所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=(a+b)c當(dāng)k=2時(shí)，(a+b)所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=故答案為8或-1【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)a+bc【變式1-1】（2023秋·安徽六安·九年級(jí)校考期中）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a3=b4=【答案】△ABC三邊的長為6，8，10【分析】設(shè)a3=b4=c5=k，則a=3k，【詳解】解：設(shè)a3=b4=c5∵a+b+c=24，∴3k+4k+5k=24，解得：k=2，∴a=3k=6，b=4k=8，c=5k=10，∴△ABC三邊的長為6，8，10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知線段a、b滿足a:b=1:2，且a+2b=10(1)求a、b的值；(2)若線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，求c的值．【答案】(1)a=2,b=4(2)c=2【分析】（1）利用a:b=1:2，可設(shè)a=k,b=2k，則k+4k=10，然后解出k的值即可得到a、b的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到c2=ab，即【詳解】（1）∵a:b=1:2∴設(shè)a=k,b=2k，∵a+2b=10，∴k+4k=10，∴k=2，∴a=2,b=4（2）∵c是a、b的比例中項(xiàng)，∴c∵c是線段，c>0，∴c=22【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d(即ad=bc)，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意利用代數(shù)的方法解決較為簡便．【變式1-3】（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正數(shù).（1）若ab=2，cd=2，則bad（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,【答案】（1）=；=；（2）ba+b=dc+d【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，（2）設(shè)ab=t，則cd=t，得到a=bt，（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化簡后解方程即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵ab=2，∴a=2b，c=2d，∴ba=d故答案為：==；（2）ba+b=d設(shè)ab=t，則∴a=bt，c=dt，∴ba+bdc+d∴ba+b=d（3）∵ac∴a=ct，b=dt.∵2a+ca?c∴2t+1t?1解得：t=12經(jīng)檢驗(yàn)：t=12【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及解分式方程.設(shè)參法是解答本題的關(guān)鍵.【題型2平行判斷成比例的線段的運(yùn)用】【例2】（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接BM并延長交AC于點(diǎn)

A．320 B．29 C．16【答案】A【分析】過點(diǎn)F作FG∥BN交AC于點(diǎn)G,可證EN=GN．同理，可得AEEC=ADDB=13，EC=3AE，AEEC=BFFC=13；由【詳解】解：過點(diǎn)F作FG∥BN交AC于點(diǎn)∴EN∴EN=GN．∵DE∥∴AEEC∴EC=3AE．∵EF∥AB，∴AEEC∵FG∥∴BFFC∴GC=3NG．設(shè)EN=NG=a，則GC=3a，∴EC=EN+NG+GC=5a∴EC=3AE=5a．∴AE=5∴AC=AE+EC=5∴ENAC故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)校考期中）如圖，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF=2，

【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論——“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例”，先由EF∥CD，得EFCD=BF【詳解】解：∵△BCD中，EF∥∴EFCD∵EF=2，CD=3，∴23∴DFDB∵AB∥∴EFAB∴AB=3EF=6．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題的關(guān)鍵是從圖形中找準(zhǔn)成比例的線段．【變式2-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，E在BC上，且EC=2BE，則AFFEA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】取CE的中點(diǎn)M，連接DM，根據(jù)三角形中位線定理得DM∥AE，DM=1【解答】解：如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接DM，∵D是AC邊上的中點(diǎn)，∴DM∥AE，DM=∵EC=2BE，∴EFDM∴EF=1∴12∴AE=4EF，∴AFFE故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋·四川成都·九年級(jí)校考期中）如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=3，BC=1，BF分別交AC，DC，DE于P，Q，R，則PQ的長為【答案】1【分析】過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EH=HG=12EG=12，F(xiàn)H=EF2?EH2=112，BF=FH2【詳解】解：過點(diǎn)F作FH⊥BG于點(diǎn)H，∵△ABC，△DCE，△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，∴BC=CE=EG=1，AB=AC=DC=DE=EF=FG=3∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=∠FEG=∠FGE，∵FH⊥BG，∴EH=HG=1∴FH=E∴BH=BC+CE+EH=5∴BF=F∵∠ACB=∠DEC，∴AC∥DE，同理可得：DE∥FG，∴AC∥DE∥FG，∴BPBC∵BC=CE=EG=1，∴BP=PR=RF，∵BP+PR+RF=BF=3，∴BP=PR=RF=1，∵∠BCD=180°?∠DCE，∠BEF=180°?∠FEG，又∵∠DCE=∠FEG，∴∠BCD=∠BEF，∴CD∥EF，∴BQQP∴BQ=QP=1∴PQ=BQ?BP=3故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出BP=1，BQ=3【題型3黃金分割的運(yùn)用】【例3】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ姷囊环N圖形，在如圖所示的正五角星中，點(diǎn)C，D為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB=2，則圖中五邊形CDEFG的周長為（

）A．25?2 B．103 C．10【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，可得AC=BD=5?12AB=5?1，【詳解】解：∵點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，∴AC=BD=5?12∴CD=BD?BC=5∴五邊形CDEFG的周長52故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)．【變式3-1】（2023春·山東威海·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)B作AB的垂線BC，取AB的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑畫弧交射線BC于點(diǎn)D，連接AD，再以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段．

【答案】AF【分析】根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，設(shè)DB=DF=a，則AB=2a，根據(jù)勾股定理得，AD=AB【詳解】解：根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=1設(shè)DB=DF=a，則AB=2a，∴根據(jù)勾股定理得，AD=A∴AF=AD?DF=5∴AF∴以A為圓心，“AF”的長度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)．故答案為：AF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出AFAB【變式3-2】（2023秋·遼寧錦州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見；例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長AB=20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)B進(jìn)入，她至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】30?10【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出AP，【詳解】由題意知AB=20米，BPAP∴AP=20×5∴BP=20?(105?10)故主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走(30?105故答案為：30?105【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┮阎€段AB=2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），

(1)求線段AP的長；(2)以AB為三角形的一邊作△ABQ，使得BQ=AP，連接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的長．【答案】(1)5(2)2【分析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出BP=5（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P到AQ、BQ的距離相等，可得出S△PAQS△PBQ【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），∴AP=5（2）解：∵QP平分∠AQB，∴P到AQ、BQ的距離相等，∴S△PAQ又由（1）AP=BQ=5∵AB=2，∴PB=AB?AP=2?5∴AQ=AP·BQ【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)的定義，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用．【題型4證明兩三角形相似】【例4】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長BE交DF于點(diǎn)G．求證：

(1)△BDG∽△DEG；(2)BG⊥DF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先判斷出∠FDC=∠EBC，再利用角平分線判斷出∠FDC=∠EBC，即可得出結(jié)論；（2）由三角形的內(nèi)角和定理可求∠DGE=∠BCE=90°，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知：△BCE?△DCF，∴∠FDC=∠EBC．∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC，∴∠FDC=∠DBE，∵∠DGE=∠DGB，∴△BDG∽△DEG；（2）證明：∵∠EBC=∠GDE，∠BEC=∠DEG，∴∠DGE=∠BCE=90°．∴BG⊥DF．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的長；(2)求證：△ABC∽△DEF．【答案】(1)CE=15(2)見解析【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF?CF即可求出CE的長；（2）先求出BC的長，得到ABDE=BC【詳解】（1）解：∵DE=15,DF=25,∠E=90°，∴EF=D∴CE=EF?CF=15；（2）證明：∵BF=3，CF=5，∴BC=BF+CF=8，∵ABDE=6∴ABDE∵∠B=∠E=90°，∴△ABC∽△DEF．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋·貴州貴陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，連接BM，作MN⊥BM，且交AB于點(diǎn)（1）求證：ΔBCP~ΔMAN；（2）除（1）中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請(qǐng)將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?【答案】（1）詳見解析；（2）ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；ΔBCD~ΔABC；ΔBDP~ΔBMN.【分析】（1）由∠ACB=90°，CD⊥AB證得∠A=∠BCD，再利用MN⊥BM證得∠AMN=∠CBM，即可得到（2）利用直角與公共角的關(guān)系得到ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；ΔBCD~ΔABC；ΔBDP~ΔBMN.【詳解】（1）∵AB⊥CD,AC⊥BC,∴∠A+∠ACD=∴∠A=∠BCD,又∵NM⊥BM,AC⊥BC,∴∠AMN+∠BMC=∴∠AMN=∠CBM，∴ΔAMN~ΔCBP；（2）∵AB⊥CD,AC⊥BC，∴∠ACB=∠ADC=∠BCD=90°，∵∠A=∠A,∴ΔACD~ΔABC;∵∠ABC=∠CBD,∴ΔBCD~ΔABC;∴ΔACD~ΔBCD；∵M(jìn)N⊥BM,∴∠BMN=∠BDP=90°，又∵∠DBP=∠MBN,∴ΔBDP~ΔBMN.∴共4對(duì)相似三角形：ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；ΔBCD~ΔABC；ΔBDP~ΔBMN.【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定，注意公共角在證明三角形相似中的作用，再由已知條件所給的都是關(guān)于角的條件，因此通過證明兩組角分別相等證明兩個(gè)三角形相似比較簡單.【變式4-3】（2023秋·安徽阜陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處．(1)求證：△ABF∽△FCE；(2)若AB=23，AD=4，求CE(3)當(dāng)點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF【答案】(1)證明見解析(2)2(3)證明見解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明∠BAF=∠EFC，再利用相似三角形的判定得結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．（3）由△ABF∽△FCE，可得ABCF=BFCE=AFEF，結(jié)合F為BC【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠D=∠AFE=90°．∵∠BAF+∠AFB=90°=∠AFB+∠EFC，∴∠BAF=∠EFC．又∵∠B=∠C，∴△ABF∽△FCE．（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB=23，AD=4∴AB=CD=23，AD=BC=4∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴AD=AF=4，DE=EF．在Rt△ABF中，BF=設(shè)CE的長為x，則DE=EF=23∵△ABF∽△FCE，∴BFCE∴CE?AF=BF?EF，即4x=22∴x=2即EC=2（3）∵△ABF∽△FCE，∴ABCF∵F為BC的中點(diǎn)，∴BF=CF，∴ABBF∵∠AFE=∠B=90°，∴△ABF∽△AFE，∴ABAF∴AF【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是直角、矩形的對(duì)邊相等”、“折疊前后的兩個(gè)圖形全等”、“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”及“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵．【題型5證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】【例5】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點(diǎn)F，證明：AB?DF=AC?EF．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)E作EM//AB交BC于點(diǎn)M，可得到△CEM～△CAB，△FEM～△FDB，進(jìn)而有EMAB=CEAC，EMDB【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EM//AB交BC于點(diǎn)M，∵EM//AB，∴△CEM～△CAB，△FEM～△FDB，∴EMAB=CE∴AB?CE=EM?AC,即ABAC∵BD=CE∴EMCE∴ABAC∴AB?DF=AC?EF【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)．【變式5-1】（2023春·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）(1)已知拋物線y=ax(2)

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別是BC，AB邊上的點(diǎn)，且∠ADE=∠C．求證：BD·CD=BE·AC【答案】（1）y=?3x【分析】1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）由AB=AC可得∠B=∠C，由已知條件∠ADE=∠C可證∠BDE=∠CAD，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證△BDE∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得，4a+12+c=?1??6∴拋物線的解析式為y=?3x（2）證明：∵AB=AC

∴∠B=∠C∵∠ADB=∠C+∠DAC

∠ADE=∠C．

∠ADB=∠ADE+∠BDE∴∠DAC=∠BDE∴△BDE∽△CAD

∴AC∴BD·CD=BE·AC.故答案為（1）y=?3x【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握并熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．【變式5-2】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是邊AB上一點(diǎn)，CE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，且求證：(1)△ABD～△FCB；(2)BD?BE=AD?CE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由BE2=EF?EC可證△BEF～△CEB，得到∠EBF=∠ECB，再由AD∥BC（2）由△BEF～△CEB得到BFBC=BECE，△ABD～△FCB得到ABFC【詳解】（1）∵BE∴BE∵∠BEF=∠CEB，∴△BEF～△CEB∴∠EBF=∠ECB∵AD∥∴∠ADB=∠DCB∴△ABD～△FCB；（2）∵△BEF～△CEB，∴BF∵△ABD～△FCB，∴AB∴BF∴BE∴BE?BD=AD?CE．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于D，過B作BE∥CD交AC的延長線于點(diǎn)E.求證：ADDB【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根據(jù)平行線的性質(zhì)及BC=CE可得出結(jié)論．【詳解】解：證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．∴BC=CE．∵BE∥CD，∴ADDB又∵BC=CE，∴ADDB【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)和角平分線定理、平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理和平行線的性質(zhì)．【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例6】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（b，0）（b＞1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為b4，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP兩種情況分別求解即可.【詳解】∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為b4∴點(diǎn)P在直線y＝b4①當(dāng)△PAO≌△PAB時(shí)，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，則P(1，12②∵當(dāng)△PAO∽△BAP時(shí)，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB?OA，∴b216＝∴(b﹣8)2＝48，解得b＝8±43，∴P(1，2+3)或(1，2﹣3)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)，故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確地分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列五幅圖均是由邊長為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長度即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意得：AC=1∴AC∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為BCAC第1個(gè)圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個(gè)圖形中三角形與△ABC相似；第2個(gè)圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個(gè)圖形中三角形不與△ABC相似；第3個(gè)圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形不是直角三角形，故第3個(gè)圖形中三角形不與△ABC相似；第4個(gè)圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個(gè)圖形中三角形與△ABC相似；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·九年級(jí)單元測試）如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是AC上一點(diǎn)，AD=2cm，點(diǎn)P從C出發(fā)沿C→B→A方向，以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A處，線段DP將△ABC分成兩部分，可以使其中一部分與△ABCA．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理“有兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，按點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，一次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)∠DPC=∠A時(shí)，△ABC∽△PDC，②當(dāng)∠PDC=∠A時(shí)，△ABC∽△DPC，③當(dāng)∠APD=∠B時(shí)，△ABC∽△APD，④當(dāng)∠APD=∠C時(shí)，△ABC∽△ADP，綜上：一共有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“有兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似”．【變式6-3】（2023秋·安徽宣城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，有如下幾種剪法，其中滿足剪下的陰影三角形與△ABC相似的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求出BC的長，再根據(jù)相似三角形的判定逐個(gè)判斷即可得．【詳解】解：如圖1，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，∵∠A=60°,AB=4，∴AF=1∴CF=AC?AF=6?2=4，∴BC=B∴∠A≠∠B，在△BDE和△BAC中，BDAB=BEAC=12則△BDE與△BAC不相似；如圖2，∵AB=4,AC=6,AD=AB?BD=3,AE=AC?CE=2，∴AD在△ADE和△ACB中，ADAC∴△ADE～△ACB；如圖3和圖4，剪下的陰影三角形均與△ABC有一組公共角∠C，還有一組大小均為60°的相等的角，所以圖3和圖4中，剪下的陰影三角形均與△ABC相似；綜上，滿足剪下的陰影三角形與△ABC相似的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．【題型7相似與翻折】【例7】（2023秋·河南漯河·九年級(jí)漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰赗t△ABC中，BC=5，AC=12，點(diǎn)D，E是線段AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B，C重合）沿DE翻折△ADE使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在直線BC上，當(dāng)DF與Rt△ABC的一條邊垂直的時(shí)候，線段【答案】15625或【分析】設(shè)AD=DF=x，則BD=13?x，分兩種情況討論：DF⊥BC，DF⊥AB，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到比例式，進(jìn)而得出【詳解】∵Rt△ABC中，BC=5，AC=12∴AB=A設(shè)AD=DF=x，則BD=13?x，①如圖，當(dāng)DF⊥BC時(shí)，∠DFB=∠ACB=90°，∴AC∥DF，∴△ABC∽∴DFAC=BD解得x=156②如圖，當(dāng)DF⊥AB時(shí)，∠ACB=∠BDB=90°，而∠ABC=∠FBD，∴△ABC∽∴ACFD=BC解得x=156綜上所述，線段AD的長為15625或156故答案為：15625或156【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列比例式求解．【變式7-1】（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把△ABD沿若BD翻折，得到△A'BD．連接A'C．若A'C=6，∠A．3 B．2 C．3 D．2【答案】B【分析】延長AB，CA'交于點(diǎn)H，連接AA'，過點(diǎn)A'作A'E⊥AH于E，由折疊性質(zhì)可知AB=A'B，AD=A'D=DC，∠ADB=∠BDA'，易證△ABD～△AHC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AD【詳解】如圖，延長AB，CA'交于點(diǎn)H，連接AA'，過點(diǎn)A'∵點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，∴AD=DC，∵把△ABD沿若BD翻折，得到△A∴AB=A'B，AD=∴∠DCA∴∠ADB+∠A∴∠ADB=∠ACA∴BD∥CH，∴△ABD～△AHC，∴ADAC∴CH=2BD，AH=2AB，∵A'C=6，∴CH=8=A∴A'∵AD=A∴∠AA∵∠ACA∴A'∴AA∴在Rt△AAAH=A∴AB=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)性質(zhì)．【變式7-2】（2023春·上海徐匯·九年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┮阎涸谥苯翘菪蜛BCD中，AD∥BC，∠A=90°，△ABD沿直線BD翻折，點(diǎn)A恰好落在腰CD上的點(diǎn)(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：△BCD是等邊三角形；(2)延長BE交線段AD的延長線于點(diǎn)F，連接CF，如果CE2=DE?DC【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)得到DB=BC，通過折疊、等邊對(duì)等角、平行線的性質(zhì)得到∠BDE=∠C=∠ADB=60°，從而證明△BCD是等邊三角形；（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，得到四邊形ABHD是矩形，從而AD=BH，AB=DH，再由折疊得到角之間的關(guān)系從而證明△BCE≌△DCH，得到DC=BC，CE=CH；由AD∥BC得到△FDE∽△BCE，進(jìn)而CEDE=BCDF，結(jié)合已知條件CE2=DE?DC得到DF=CE=CH【詳解】（1）由折疊得：∠ADB=∠BDE，∠A=∠DEB=90°∵點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)∴BE是DC的垂直平分線∴DB=BC∴∠BDE=∠C∴∠BDE=∠C=∠ADB∵AD∴∠ADC+∠C=180°:∠BDE+∠C+∠ADB=180°∴∠BDE=∠C=∠ADB=60°∴△BCD是等邊三角形（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∴∠DHB=∠DHC=90°，∵AD∥BC，∠ABC=180∴四邊形ABHD是矩形，∴AD=BH，AB=DH，由折疊得：∠A=∠DEB=90°，AB=BE，∠BEC=180°?∠DEB=90°∵∠BEC=∠DHC=90°，∠BCE=∠DCH，∴△BCE≌△DCH(AAS∴DC=BC，CE=CH，∵AD∥∴∠DFE=∠EBC，∠FDE=∠ECB，∴△FDE∽△BCE，∴CEDE∵CE∴CE∴BC∴DF=CE，∴CH=DF，∴AD+DF=BH+CH，∴AF=BC，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∵∠A=90°，∴四邊形ABCF是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，矩形的判定．相似三角形的判定與性質(zhì)，圖中角和線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·山西太原·九年級(jí)山西大附中?？计谥校┤鐖D，已知∠ABC=135°，AB=32，BC=6，點(diǎn)P是邊AC上任意一點(diǎn)，連接BP，將△CPB沿PB翻折，得到△C'PB．當(dāng)C'

【答案】9105【分析】分兩種情況討論，根據(jù)翻折的性質(zhì)證明△CPB∽△CBA或△APB∽△ABC，過點(diǎn)C作CH⊥AB交AB延長線于點(diǎn)H，結(jié)合勾股定理即可求出【詳解】解：①由翻折可知：∠CPB=∠C∵∠C∴∠CPB=135°，∴∠CPB=∠CBA，∵∠ACB=∠BCP，∴△CPB∽∴CPCB過點(diǎn)C作CH⊥AB交AB延長線于點(diǎn)H，

∴∠CBH=45°，BC=6，∴CH=BH=32∴AH=62在Rt△CAH中，CA=∴CP=C∴AP=9②如圖，

由翻折可知：∠CPB=∠C∵∠C∴∠CPB=45°，∴∠APB=135°，∴∠APB=∠ABC，∵∠A=∠A∴△APB∽∴APAB∴AB∵AB=32，AC=3∴AP=3∴AP的長為9105或故答案為：9105或【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型8利用相似求坐標(biāo)】【例8】（2023秋·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為?4,0、0,4，點(diǎn)C3,n在第一象限內(nèi)，連接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，則n=【答案】14【分析】過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，先證△CDE≌△CDB（ASA），進(jìn)而可得DE＝DB＝4－n，再證△AOE∽△CDE，進(jìn)而可得43【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y軸，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，∴AOCD∴43解得：n=14故答案為：145【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023秋·四川綿陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（4，0）和B點(diǎn)（0，3），點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】（2，0）或（78【分析】設(shè)P（x，0），可表示出AP的長，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵A（4，0）和B點(diǎn)（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC=2.5，設(shè)P（x，0），由題意可知點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，∴AP=4﹣x，∵以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB兩種情況，當(dāng)△APC∽△AOB時(shí)，則APAO=AC∴P（2，0）；當(dāng)△ACP∽△AOB時(shí)，則ACAO=APAB，即∴P（78綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（78故答案為：（2，0）或（78【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．【變式8-2】（2023·江西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,4)，(0,4)，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)D在直線AB上，若DA=1，CP⊥DP于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】(2,0),(2+2【分析】先由已知得出D1(4,1)，D2(4,?1)，然后分類討論【詳解】解：∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,4)∴AB//y軸∵點(diǎn)D在直線AB上，DA=1∴D1如圖：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)D在D1處時(shí)，要使CP⊥DP，即使ΔCOP∴CO即4解得：O∴（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在D2∵C(0,4)，D∴CD2∵CP⊥DP∴點(diǎn)P為以E為圓心，CE長為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)設(shè)P(x,0)，則PE=CE即(2?x)解得：x=2±2∴P2(2?22，0)綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(2?22，0)或(2+22，【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)型問題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓的相關(guān)知識(shí)，本題比較復(fù)雜，難度較大.【變式8-3】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線l1：y=?12x與直線l2：y=kx?2k+1相交于點(diǎn)P，且兩直線的夾角為45°【答案】145,?【分析】根據(jù)直線l2恒經(jīng)過點(diǎn)C【詳解】解：∵直線y=kx?2k+1=kx?2+1，即恒過點(diǎn)當(dāng)k<0時(shí)，過點(diǎn)C作CB⊥x軸交l1于點(diǎn)B，點(diǎn)C作CE⊥y軸交l1于點(diǎn)E，點(diǎn)C作CD⊥l1交l1于點(diǎn)D，過點(diǎn)P'作

∵C2,0，故B2,?1，在Rt△BEC中，EB=又∵CD⊥l1，∴△EBC∽△ECD，∴BCCD即2CD=2解得CD=455∵兩直線的夾角為45°，即∠CP∵CD⊥l∴∠CP∴DP∴EP∵BC∥AP'，∴△ECB∽△EAP∴BCA即2A故AP∴AE=2AP在Rt△AEP'即125∴AP'∵點(diǎn)A到x軸的距離為1，故點(diǎn)P'到x軸的距離為12點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為2，故點(diǎn)P'到y(tǒng)軸的距離為24即點(diǎn)P'的縱坐標(biāo)為?75，點(diǎn)P故P'當(dāng)k>0時(shí)，過點(diǎn)C作CB⊥x軸交l1于點(diǎn)B，點(diǎn)C作CE⊥y軸交l1于點(diǎn)E，點(diǎn)C作CD⊥l1交l1于點(diǎn)D，過點(diǎn)P'作

∵C2,0，故B2,?1，在Rt△BEC中，EB=又∵CD⊥l1，∴△EBC∽△ECD，∴BCCD=EBEC=解得CD=455∵兩直線的夾角為45°，即∠CP∵CD⊥l∴∠CP∴DP∴EP∵BC∥AP″，∴△ECB∽△EAP∴BCA即2A故AP∴AE=2AP在Rt△AEP″即45∴AP″∵點(diǎn)A到x軸的距離為1，故點(diǎn)P″到x軸的距離為1?點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為2，故點(diǎn)P″到y(tǒng)軸的距離為2?即點(diǎn)P″的縱坐標(biāo)為15，點(diǎn)P″故P″綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為145,?7故答案為：145,?7【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】【例9】（2023秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：

(1)在網(wǎng)格內(nèi)畫出和△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A1B1C1，且(2)分別寫出A1、B1、C1三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A1________；(3)△A【答案】(1)見解析(2)(4，8)或(?4，?8)；(2，2)或(?2，?2)；(8，2)或(?8，?2)(3)18【分析】（1）分兩種情況：原圖形與位似圖形在點(diǎn)O的同側(cè)和原圖形與位似圖形在點(diǎn)O的異側(cè)，先作A,B,C三個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對(duì)應(yīng)即可；（2）觀察所作的圖形，寫出A1、B1、（3）觀察圖形可得，B1C1=6，【詳解】（1）解：如圖所示：△A

（2）解：如圖所示：A1（4，8）或（?4，?8）；B1（2，2）或（?2，?2），C1（8，2）或（（3）解：觀察圖形可得，B1C1=6，∴△A1B【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的作圖和相關(guān)計(jì)算，正確分類是解題的關(guān)鍵.【變式9-1】（2023秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．（1）畫出位似中心O；（2）求出△ABC與△A′B′C′的相似比．【答案】（1）見解析；（2）1：2．【分析】△ABC與△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似中心O是每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連直線的交點(diǎn)，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．則△ABC與△A′B′C′的相似比為對(duì)應(yīng)邊之比．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)O即為所求；（2）∵頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，B′C′=25，BC=5，∴BC：B′C′=1：2∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1：2．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比就是對(duì)應(yīng)邊的比．【變式9-2】（2023秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)O是格點(diǎn)，△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線交點(diǎn)上），且點(diǎn)A1是點(diǎn)A以點(diǎn)O

(1)畫出△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A(2)△A1B(3)△A1B【答案】(1)見解析(2)3:1(3)9:1【分析】（1）直接利用A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置結(jié)合位似中心得出B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn);（2）利用所畫圖形，結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心的距離得出位似比；（3）得出三角形面積即可得出答案.【詳解】（1）解：如圖所示，△A

（2）解：∵由圖可知，OAO∴△A1B1C（3）解：∵S△A1∴△A1B1C【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換以及勾股定理，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.【變式9-3】（2023秋·吉林長春·九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀﹫D①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖．(1)在圖①中確定格點(diǎn)D，使以A、(2)在圖②中確定格點(diǎn)D，使以A、(3)在圖③中△ABC的AC、BC邊上分別確定點(diǎn)D、E，使得△CDE與△CAB位似，位似中心為點(diǎn)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，以BC為對(duì)稱軸，畫△ABC關(guān)于BC對(duì)稱的△DBC，則四邊形ABDC是軸對(duì)稱圖形；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)作平行四邊形ABDC即可求解；（3）找到D,E使得CE=1【詳解】（1）如圖所示，以BC為對(duì)稱軸，畫△ABC關(guān)于BC對(duì)稱的△DBC，四邊形ABDC即為所求；（2）如圖所示，四邊形ABDC即為所求；（3）如圖所示，D,E即為所求，找到格點(diǎn)E,F，連接EF，交AC于點(diǎn)D，則CE=1=1∵AF∴△AFD∽△CED∴CDAD∴CE=1又∵∠DCE=∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE與△CAB位似，位似中心為點(diǎn)C，位似比為1:3．【點(diǎn)睛】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，位似圖形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型10相似三角形的應(yīng)用】【例10】（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)校考期中）位于陜西省北部神木縣紅堿淖景區(qū)的大門口，樹立著一座精致的王昭君雕像．在當(dāng)?shù)厝丝磥恚?dāng)年王昭君就是走過神木大地，去完成和親使命的．她因?yàn)檫h(yuǎn)離家鄉(xiāng)而傷心落淚，淚水也因此化作了一顆“沙漠明珠”——紅堿淖．某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測量這座雕像（如圖1）的高度，如圖2，小明先在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD，這時(shí)地面上的點(diǎn)E，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)D，雕像的頂端B正好在同一直線上，測得EC=3米；小明再從點(diǎn)E出發(fā)沿著EG方向前進(jìn)9米，到達(dá)點(diǎn)F．在點(diǎn)F處放置一平面鏡，小剛站在G處時(shí)，恰好在平面鏡中看到雕像的頂端B的像，此時(shí)測得小剛的眼睛到地面的距離GH為1.5米，GF=3米．已知點(diǎn)G、F、E、C與雕像的底端A在同一直線上，AB⊥AG，CD⊥AG，GH⊥AG，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算該雕像的高度AB．（平面鏡大小忽略不計(jì)）

【答案】18米．【分析】由AB⊥AG和CD⊥AG，可以證得AB∥CD，即可證得△ECD∽△EAB，從而等到AB與AE之間的等量關(guān)系式，由光的反射的性質(zhì)可以得出∠AFB=∠GFH，再結(jié)合AB⊥AG和GH⊥AG，可以證得【詳解】解：∵EF=9，∴AF=EA+9，∵AB⊥AG，CD⊥AG，∴AB∥∴△ECD∽∴CDAB∵EC=3，CD=2，∴EA=3∵AB⊥AG，GH⊥AG，∴∠BAF=∠HGF=90°，又∵∠BFA=∠HFG，∴△BFA∽∴AFGF=AB∴32解得：AB=18，∴該雕像的高度AB為18米．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題．【變式10-