人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)14個(gè)?？家族e(cuò)題型（解析版）

人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)12個(gè)?？家族e(cuò)題型【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】平方根：（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．

（2）求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．

一個(gè)正數(shù)a的正的平方根表示為，負(fù)的平方根表示為（3）平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．

2.算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為a．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作．零的算術(shù)平方根仍舊是零．（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負(fù)數(shù)．

（3）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找．3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問(wèn)題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不等式求解．非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問(wèn)題．4.立方根（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說(shuō)，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．記作：（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．

（3）求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．5．無(wú)理數(shù)（1）定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．

說(shuō)明：無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）會(huì)判斷無(wú)理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π/2是無(wú)理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o(wú)理數(shù)．6.實(shí)數(shù)大小比較（1）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大?。龑?shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?/p>

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而?。?.實(shí)數(shù)的運(yùn)算在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行．

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【典例剖析】【考點(diǎn)1】平方根的定義【例1】若實(shí)數(shù)a﹣2有平方根，那么a可以取的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)解答即可．【解析】∵實(shí)數(shù)a﹣2有平方根，∴a﹣2≥0，∴a≥2，∴D符合題意，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．313是91C．?3是?9的平方根 D．3是9的平方根【答案】D【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可，平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根．【詳解】解：A、3132=100B、0.32=0.09，故0.3不是C、?9沒(méi)有平方根，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D、9=3，32=3，故3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，理解平方根的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·四川德陽(yáng)·七年級(jí)四川省德陽(yáng)中學(xué)校?？计谥校┤?m?5與4m?9是某一個(gè)正數(shù)的平方根，則m的值是（

）．A．73或?1 B．?1 C．73或2【答案】C【分析】依據(jù)平方根的性質(zhì)列出關(guān)于m的方程，可求得m的值．【詳解】解：∵2m?5與4m?9是某一個(gè)正數(shù)的平方根，∴2m?5=4m?9或2m?5+4m?9=0．解得：m=2或m=7故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a－5和－a+1，則這個(gè)正數(shù)是（

）A．4 B．16 C．3 D．9【答案】D【分析】直接根據(jù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a－5和－a+1，∴（2a－5）+（－a+1）=0，解得a=4，∴－a+1=－3，∵?32∴這個(gè)正數(shù)是9．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，記作【考點(diǎn)2】算術(shù)平方根【例2】916A．±34 B．?34 C．3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求解．【解析】916故選：C．【變式訓(xùn)練】4．（河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：?32A．3 B．?3 C．±3 D．3【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可．【詳解】解：?32故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握算術(shù)平方根的定義．5．（福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于15的描述錯(cuò)誤的是（

）A．面積為15的正方形的邊長(zhǎng) B．15的算術(shù)平方根C．在整數(shù)3和4之間 D．方程x2=15中未知數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)所述分別計(jì)算出結(jié)果，并判斷對(duì)錯(cuò)即可．【詳解】解：A、面積為15的正方形的邊長(zhǎng)為15，故正確，不符合題意；B、15的算術(shù)平方根為15，故正確，不符合題意；C、32=9<15D、x2=15，則故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平方根，算術(shù)平方根的計(jì)算，算術(shù)平方根的取值范圍，能夠數(shù)量掌握算術(shù)平方根的運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．6．（浙江溫州·七年級(jí)樂(lè)清外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）估計(jì)26?2的值應(yīng)在（A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【分析】根據(jù)26【詳解】解：由題意可得，26∵16<∴4<26∴2<26故選B．【點(diǎn)睛】本題考查根數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是將原來(lái)的根數(shù)變形．【考點(diǎn)3】算術(shù)平方根的非負(fù)性【例3】關(guān)于代數(shù)式3?x+4A．x＝0時(shí)最大 B．x＝0時(shí)最小 C．x＝﹣4時(shí)最大 D．x＝﹣4時(shí)最小【分析】由算術(shù)平方根的性質(zhì)可知，x+4是非負(fù)數(shù)，最小是0，這時(shí)3?x+4【解析】當(dāng)x+4=0時(shí)，3?即x+4＝0，解得x＝﹣4．故選：C．【變式訓(xùn)練】7．（福建福州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a，b為實(shí)數(shù)，且a?1+b+2=0A．1 B．?1 C．?2022 D．2022【答案】A【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵a?1∴a?1=0，∴a=1，∴a+b故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，能夠正確的求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．8．（陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知x，y都是實(shí)數(shù)，且x+1+y?4=0，則xy=A．1 B．4 C．?1 D．?4【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性算術(shù)平方根的非負(fù)性，先求x，y的值，再計(jì)算xy的值．【詳解】解：∵x+1+∴x+1=0，y?4=0，解得：x=?1∴xy=?1故選D．【點(diǎn)睛】理解絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵，當(dāng)絕對(duì)值相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．9．（安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a+1252+b?3=0，則A．5 B．?5 C．25 D．?25【答案】B【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性和平方根的非負(fù)性即可解得．【詳解】∵a+1252∴a+125=0，b?3=0∴a=?125，b=3．∴b故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了平方和平方根以及立方根，解題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)性列出等式即可解得．【考點(diǎn)4】立方根【例4】（重慶期末）（?9）2的平方根是x，64的立方根是y，則x+yA．3 B．7 C．3或7 D．1或7【分析】分別求出x、y的值，再代入求出即可．【解析】∵（?9）2∴（?9）2即x＝±3，∵64的立方根是y，∴y＝4，當(dāng)x＝3時(shí)，x+y＝7，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x+y＝1．故選：D．【變式訓(xùn)練】10．（江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)數(shù)的立方為?27，則這個(gè)數(shù)是（）A．?3 B．3 C．±3 D．?9【答案】A【分析】根據(jù)?33【詳解】∵?3∴若一個(gè)數(shù)的立方為?27，則這個(gè)數(shù)是?3；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查立方根的求法，解題的關(guān)鍵是掌握如何求一個(gè)數(shù)的立方根．11．（七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3【答案】C【分析】根據(jù)根號(hào)內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律即可求解，立方根的規(guī)律為，根號(hào)內(nèi)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)3位，其結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)一位，小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)方向保持一致．即把32370變形為3【詳解】解：∵3∵32370故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的應(yīng)用，熟練掌握立方根根號(hào)內(nèi)小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行正確變形是解題的關(guān)鍵．12．（陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)的平方根和立方根都是它的本身，則這個(gè)數(shù)是(

)A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1【答案】A【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0，一個(gè)數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是﹣1或0或1，進(jìn)行解答即可．【詳解】∵02∴一個(gè)數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0，∵03＝0，-13∴一個(gè)數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是﹣1或0或1，∴一個(gè)數(shù)的平方根和立方根都是它本身的數(shù)為0，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根的性質(zhì)，牢記一個(gè)數(shù)的平方根是它的本身的數(shù)是0，一個(gè)數(shù)的立方根是它本身的數(shù)是﹣1或0或1，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5】無(wú)理數(shù)余實(shí)數(shù)【例5】在0，?327，22A．0 B．?327 C．22【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解析】A、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；B、?3C、22D、13故選：C．【變式訓(xùn)練】13．（河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)3?8，?158，2，0，2π，9，1.010010001…A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，找出無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：3?8=?2，則無(wú)理數(shù)有2，2π，1.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1），共3個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)，解答本題的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)．14．（重慶萬(wàn)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在?1,4,0.010010001,π這四個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（A．?1 B．4 C．0.010010001 D．π【答案】D【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：4=2所以無(wú)理數(shù)是π．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)，熟練掌握無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù) B．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)C．帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù) D．無(wú)理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的【答案】A【分析】依據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念回答即可．【詳解】A．無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，故A正確；B．無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；C．帶根號(hào)的數(shù)不都是無(wú)理數(shù)，如4=2D．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的相關(guān)概念，熟練掌握有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】實(shí)數(shù)的性質(zhì)【例6】下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）A．﹣2與(?2)2 B．﹣2與3?8 C．2與（?2）2 【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得一個(gè)數(shù)的相反數(shù)．【解析】A、只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，故A正確；B、是同一個(gè)數(shù)，故B錯(cuò)誤；C、是同一個(gè)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D、是同一個(gè)數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A．【變式訓(xùn)練】16．（湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)?7的相反數(shù)是（

A．?7 B．7 C．?7 【答案】B【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有負(fù)號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：實(shí)數(shù)?7的相反數(shù)是7故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，熟記相反數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．17．（福建福州·七年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且a>b，則化簡(jiǎn)A．2b B．?2a C．?2b D．2a【答案】C【分析】先根據(jù)題意得到a+b<0，【詳解】解：由題意得，a<0<b，∴a+b<0，∴a+b=?=?a?b+a?b=?2b，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確根據(jù)題意得到a+b<0，18．（七年級(jí)單元測(cè)試）實(shí)數(shù)﹣2，3，0，﹣5中絕對(duì)值最大的數(shù)是（）A．﹣2 B．3 C．0 D．﹣5【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及正實(shí)數(shù)和0的大小比較即可求解．【詳解】∵?2=2,3=∴所給的幾個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是?5．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法以及絕對(duì)值的性質(zhì)，要熟練掌握．【考點(diǎn)7】實(shí)數(shù)的大小比較【例7】在實(shí)數(shù)38，π3，12，A．38 B．π3 C．12 【分析】找出四個(gè)數(shù)中的無(wú)理數(shù)，比較大小即可．【解析】38=2，π3，12，43中，無(wú)理數(shù)為∵π3≈1.05，3∴π3則最大的無(wú)理數(shù)是12．故選：C．【變式訓(xùn)練】19．（山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)?5，0，?1，2中，最小的實(shí)數(shù)是（

A．?5 B．0 C．?1 【答案】A【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小無(wú)理數(shù)的估值，據(jù)此判斷即可．【詳解】解∶∵?5∴在?5，0，?1，2四個(gè)實(shí)數(shù)中，最小的實(shí)數(shù)是?故選∶A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，掌握“正實(shí)數(shù)>0>負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小是解答此本題的關(guān)鍵．20．（河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列大小關(guān)系正確的是（

）A．2>2 B．23>32 C．【答案】D【分析】根據(jù)平方運(yùn)算，進(jìn)行比較即可解答．【詳解】解∶∵22∴2∴2<2故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；∵23∴2∴23故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；∵72∴72∴7∴?7故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵82∴8∴8<67故選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握平方運(yùn)算比較大小是解題的關(guān)鍵．21．（河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。?7?1【答案】＜【分析】由16<17<25得4<17<5，再利用不等式的基本性質(zhì)可得【詳解】解：∵16<17<25，∴4<17∴3<17故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8】實(shí)數(shù)的估算【例8】設(shè)n為正整數(shù)，且n＜65＜n+1，則A．7 B．8 C．9 D．10【分析】首先根據(jù)64＜65＜81，得出【解析】∵64＜∴8＜65∵n為正整數(shù)，且n＜65＜∴n＝8．故選：B．【變式訓(xùn)練】22．（廣西防城港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知5≤a≤7，4≤b【答案】6，7，8，9【分析】根據(jù)估算無(wú)理數(shù)的大小的方法即可得a+b的整數(shù)部分．【詳解】解：∵5≤a≤7，∴25≤a≤49，16≤b≤36，∴41≤a+b≤85，則a+b的整數(shù)部分可以是6，7，8，9．故答案為：6，7，8，9．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，解決本題的關(guān)鍵是掌握估算的方法．23．（廣東河源·八年級(jí)?？计谀┮阎猘，b兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，a<5+11【答案】17【分析】先判斷3<11<4，可得【詳解】解：∵3<11∴8<5+11∴a=8，b=9，∴a+b=17，故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理數(shù)的估算，掌握“無(wú)理數(shù)的估算方法”是解本題的關(guān)鍵．24．（河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作x．例如3.6=3，[?3]=?2，按此規(guī)定，3【答案】

1

?4【分析】估算3和20的大小，進(jìn)而根據(jù)新定義即可求解．【詳解】解：∵1<∴3=1，?5<?20<4∴1?20故答案為：1；?4．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9】利用平方根解方程【例9】求滿足下列各式的未知數(shù)x．（1）（x﹣1）2﹣49＝0；（2）18【分析】（1）根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可得出答案；（2）先把要求的式化成（x﹣2）2＝64，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．【解析】（1）∵（x﹣1）2﹣49＝0，∴（x﹣1）2＝49，∴x﹣1＝±7，∴x1＝8，x2＝﹣6．（2）∵18∴18∴（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x1＝10，x2＝﹣6．【變式訓(xùn)練】25．（江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）求下列各式中的x：(1)9x(2)x+13【答案】(1)x=±(2)x＝2【分析】（1）先將方程轉(zhuǎn)化為一邊是含未知數(shù)的平方式，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的形式，再將含未知數(shù)的平方式的系數(shù)化為1，最后左右同時(shí)開平方即可．（2）直接開立方將方程變?yōu)橐辉淮畏匠毯笤偾蠼猓驹斀狻浚?）解：因?yàn)?x所以9x所以x2所以x=±2（2）解：因?yàn)閤+13所以x+1=3，所以x=2．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根、立方根的定義解方程，掌握平方根、立方根的定義是解題的關(guān)鍵．注意開平方時(shí)一定不要漏掉負(fù)的平方根．26．（山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）計(jì)算：?1（2）求x的值：9x+1【答案】（1）?1；（2）x=13或【分析】（1）根據(jù)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，求一個(gè)數(shù)的立方根計(jì)算即可；（2）根據(jù)平方根的定義解方程即可求解．【詳解】解：（1）?=?1+3?3=?1；（2）9x+1整理得x+12則x+1=±4解得：x=13或【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，求一個(gè)數(shù)的立方根，利用平方根解方程，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．27．（全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）【變式1】解方程：(1)25x(2)2x+1【答案】(1)x=75(2)x=4或x=?6【分析】（1）先將方程整理為x2（2）先將方程整理為x+12【詳解】（1）25x25xx2x=75或（2）2x+12x+1x+12x+1=5或x+1=?5，x=4或x=?6．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)10】平方根的性質(zhì)【例10】已知2x﹣y的平方根為±3，﹣4是3x+y的一個(gè)平方根，求x﹣y的平方根．【分析】根據(jù)平方根的意義可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，進(jìn)而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根．【解析】∵2x﹣y的平方根為±3，∴2x﹣y＝9，又∵﹣4是3x+y的一個(gè)平方根，∴3x+y＝16，∴x＝5，y＝1，因此x﹣y＝5﹣1＝4，所以4的平方根為±2，答：x﹣y的平方根為±2．【變式訓(xùn)練】28．（湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根分別是2a?1和(1)求a和x的值；(2)求4x【答案】(1)a=?1(2)平方根為±33【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)即可求出a的值，再將a的值代入2a?1即可求出（2）將（1）中的結(jié)果代入求解即可．【詳解】（1）解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，∴2a?1+?a+2=0，解得∴x=2a?1（2）解：∵4x+9a=4×9+9×?1∴4x+9a的平方根為±33【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根和立方根，掌握一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．29．（全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：9的平方根是3和x+5，y是13的整數(shù)部分．(1)求x+y的值；(2)求x2【答案】(1)?5(2)73【分析】（1）先根據(jù)平方根的意義可得3+x+5=0，從而求出x的值，再估算出13的值的范圍，從而求出y的值，然后代入式中進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）把x，y的值代入式中求出x2【詳解】（1）解：∵9的平方根是3和x+5，∴3+x+5=0，解得：x=?8，∵9<13<16，∴3<13∵y是13的整數(shù)部分，∴y=3，∴x+y=?8+3=?5，∴x+y的值為?5；（2）當(dāng)x=?8，y=3時(shí)，x2∴x2+【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，平方根，熟練掌握估算無(wú)理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．30．（全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知x=1?2a，y=3a?4．(1)若x的算術(shù)平方根為3，求a的值；(2)如果一個(gè)正數(shù)的平方根分別為x，y，求這個(gè)正數(shù)．【答案】(1)a=?4(2)25【分析】（1）先根據(jù)x的算術(shù)平方根為3，求出x的值，再解關(guān)于a的一元一次方程即可得到a的值；（2）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得x+y=0，將x=1?2a，y=3a?4代入即可求出a=3，再求出x的平方即可．【詳解】（1）解：因?yàn)閤的算術(shù)平方根為3，所以x=3即1?2a=9，所以a=?4．（2）解：根據(jù)題意得：x+y=0，即：1?2a+3a?4=0，所以a=3，所以x=1?2a=1?2×3=1?6=?5，所以這個(gè)正數(shù)為(?5)2【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、平方根的有關(guān)計(jì)算，解一元一次方程等，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．【考點(diǎn)11】實(shí)數(shù)的運(yùn)算【例11】（江都區(qū)期末）計(jì)算：（1）(?1)2（2）|1?3|+（﹣2）2?【分析】（1）直接利用立方根以及算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【解析】（1）原式＝1﹣2+=1（2）原式=3?＝3．【變式訓(xùn)練】31．（重慶江津·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(23(2)3?π+【答案】(1)4(2)π【分析】（1）去括號(hào)、合并同類二次根式即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義、算術(shù)平方根的性質(zhì)、立方根的意義、乘方的意義進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】（1）(2=2=（2）3?π=π?3+5?3+1=π【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值的意義、算術(shù)平方根的性質(zhì)、立方根的意義、乘方的意義及同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．32．（浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)3(2)(?2)2【答案】(1)0(2)2+π【分析】（1）先計(jì)算立方根和平方根，再計(jì)算加法；（2）先計(jì)算平方根和絕對(duì)值，再計(jì)算加減．【詳解】（1）解：3=?4+4=0；（2）解：(?2)=2+π?3.14+3.14=2+π．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用平方根、立方根和絕對(duì)值的混合運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．33．（江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)327(2)3(x+2)【答案】(1)5(2)x1=?4【分析】（1）根據(jù)立方根，絕對(duì)值，平方根，將相應(yīng)的式化簡(jiǎn)，在根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算計(jì)算即可求解；（2）運(yùn)用直接開方法，分類討論即可求解．【詳解】（1）解：3=3+(3?=3+3?=5，（2）解：3(x+2)2=12(x+2)x+2=±當(dāng)x+2=?2時(shí)，x=?4；當(dāng)x+2=2時(shí)，x=0．∴原方程的解為x1=?4，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式，三次根式的化簡(jiǎn)求出，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，直接開方法解一元二次方程，掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，直接開方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)12】實(shí)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題【例12】某網(wǎng)店在2018年的“雙十一”活動(dòng)中對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，優(yōu)惠規(guī)定如下：（1）如果一次性購(gòu)物在400元以內(nèi)，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；（2）如果一次性購(gòu)物超過(guò)400元的，可以先享受“天貓”每滿400元減50元的優(yōu)惠政策（不設(shè)上限）進(jìn)行減扣，然后再給予八折優(yōu)惠．A、程叔叔在該網(wǎng)店購(gòu)買了一臺(tái)標(biāo)價(jià)750元的吸塵器，他應(yīng)付多少元？B、王老師先在該網(wǎng)店為女兒購(gòu)買了一臺(tái)臺(tái)燈，付款198元．后來(lái)想到家里的榨汁機(jī)壞了，又上這家網(wǎng)店花了816元買了一臺(tái)榨汁機(jī)，如果王老師一次性購(gòu)買，只需要付款多少元？【分析】（1）根據(jù)優(yōu)惠條件，將750元減去50元，再乘以80%即可；（2）求出臺(tái)燈、榨汁機(jī)的標(biāo)價(jià)，再根據(jù)兩種物品的總價(jià)和優(yōu)惠條件進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）（750﹣50）×80%＝700×80%＝560（元），答：他應(yīng)付560元；（2）臺(tái)燈的標(biāo)價(jià)為：198÷90%＝220（元），榨汁機(jī)的標(biāo)價(jià)為：816÷80%+50×2＝1120（元），兩種物品的總價(jià)為：1120+220＝1340（元），因此，合在一起買應(yīng)付：（1340﹣50×3）×80%＝952（元），答：如果王老師一次性購(gòu)買，只需要付款952元．點(diǎn)評(píng)：考查有理數(shù)的運(yùn)算，理解數(shù)量關(guān)系是正確列式的前提，掌握計(jì)算法則是正確計(jì)算的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】34．（浙江衢州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為6和9．(1)小正方形的邊長(zhǎng)為___________，它在___________和___________這兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間．(2)請(qǐng)求出圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)6；2；3(2)3【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根可得小正方形的邊長(zhǎng)，估算6在2和3之間；（2）利用面積計(jì)算公式可得結(jié)論．【詳解】（1）∵小正方形的面積為6，∴小正方形的邊長(zhǎng)為6，∵4<6<9，∴2<6∴它在2和3這兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間．（2）陰影部分的面積為：6×(3?【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和算術(shù)平方根問(wèn)題，得到兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．35．（浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校﹫D1是由27個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為27(1)求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)．(2)圖2是這個(gè)魔方的一個(gè)面，圖中的陰影部分是一個(gè)正方形，求出陰影部分的面積及其邊長(zhǎng)．【答案】(1)3(2)5；5【分析】（1）立方體的體積等于棱長(zhǎng)的3次方，開立方即可得出棱長(zhǎng)；（2）根據(jù)魔方的棱長(zhǎng)為3，所以小立方體的棱長(zhǎng)為1，陰影部分由大正方形的面積減去四個(gè)三角形的面積即可；開平方即可求出邊長(zhǎng)．【詳解】（1）解：3∴這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)是3．（2）∵魔方的棱長(zhǎng)為3，∴小立方體的棱長(zhǎng)為1，∴S∴陰影部分的邊長(zhǎng)是5【點(diǎn)睛】本題考查的是立方根及算術(shù)平方根在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)立方根求出魔方的棱長(zhǎng)．36．（河北衡水·七年級(jí)?？计谀┠呈性谡猩桃Y期間，把已倒閉的油泵廠出租給外地某投資商，該投資商為減少固定資產(chǎn)投資，將原來(lái)400m2的正方形場(chǎng)地改建成315m2的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，且其長(zhǎng)、寬的比為5：3．(1)求原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)；(2)如果把原來(lái)正方形場(chǎng)地的鐵柵欄圍墻全部利用，圍成新場(chǎng)地的長(zhǎng)方形圍墻，那么這些鐵柵欄是否夠用？試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．【答案】(1)80米(2)這些鐵柵欄夠用，見解析【分析】（1）正方形邊長(zhǎng)＝面積的算術(shù)平方根，周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4，由此解答即可；（2）長(zhǎng)、寬的比為5：3，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地寬為3am，則長(zhǎng)為5am，計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬可知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)，同理可得正方形的周長(zhǎng)，比較大小可知是否夠用．【詳解】（1）解：400＝20（m），4×20＝80（m），答：原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為80m．（2）解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地寬為3am，則長(zhǎng)為5am，由題意有：3a×5a＝315，解得：a＝±21∵3a表示長(zhǎng)度，∴a＞0，∴a＝21，∴這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為2（3a+5a）＝16a＝1621（m），∵80＝16×5＝16×25＞1621，∴這些鐵柵欄夠用．答：這些鐵柵欄夠用．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出合適未知數(shù)是基礎(chǔ)，依據(jù)相等關(guān)系列出方程求出各自周長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)13】實(shí)數(shù)的新定義【例13】（安溪縣期中）已知a、b為實(shí)數(shù)，且a、b均不為0，現(xiàn)定義有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）的“真誠(chéng)值”為：d(a，b)=ab2?a，(a＞b)ba2?b，(a＜b)，如數(shù)對(duì)（3，2）的“真誠(chéng)值”為：（1）根據(jù)上述的定義填空：d（﹣3，4）＝，32，d（3，﹣2）＝9；（2）數(shù)對(duì)（a，2）的“真誠(chéng)值”的絕對(duì)值為：|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝8，求a的值．【分析】（1）根據(jù)“真誠(chéng)值”的概念計(jì)算；（2）分d（a，2）＝8、d（a，2）＝﹣8兩種情況，根據(jù)“真誠(chéng)值”的概念計(jì)算．【解析】（1）d（﹣3，4）＝4×（﹣3）2﹣4＝32；d（3，﹣2）＝3×（﹣2）2﹣3＝9，故答案為：32；9．（2）∵|d（a，2）|＝8，∴d（a，2）＝±8，若d（a，2）＝8，當(dāng)a＞2時(shí)，4a﹣a＝8，解得，a=8當(dāng)a＜2時(shí)，2a2﹣2＝8，a2＝5，得a＝±5，∵a＜2，∴a=?5若d（a，2）＝﹣8，當(dāng)a＞2時(shí)，4a﹣a＝﹣8，解得，a=?8綜上所述，當(dāng)|d（a，2）|＝8時(shí)，a=83或【變式訓(xùn)練】37．（山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列式，定義一種新運(yùn)算：1?3=2×1?3=?1；3??1?5?4=2×?6?(1)填空：a?b=______（用含a，b的代數(shù)式表示）．(2)如果a≠b，那么a?b______b?a（填“＝”或“≠”）．(3)如果a??6=?3【答案】(1)2a?b(2)≠(3)?4【分析】（1）由給出的式得出運(yùn)算的方法即可；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算分別求出a?b=和b?a，比較即可；（3）根據(jù)定義新運(yùn)算得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可．【詳解】（1）由題意得：a?b=2a?b（2）由題意得：a?b=2a?b，b?a=2b?a，∴a?b≠b?a（3）∵a?∴2a??62a+6=?6?a．3a=?12．a(chǎn)=?4．【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算的方法以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給式找出規(guī)律，舉例驗(yàn)證，進(jìn)一步得出一般性的結(jié)論.38．（七年級(jí)單元測(cè)試）閱讀以下材料：指數(shù)與對(duì)數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，比如指數(shù)式24=16我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：loga(M?N)=log設(shè)logaM=m，loga∴M?N=am又∵m+n=log∴l(xiāng)oga請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)將指數(shù)式34(2)求證：logaMN=(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算log6【答案】(1)4=(2)證明見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求解．（2）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求證．（3）利用（1）、（2）中的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解．【詳解】（1）解：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系得：4=log故答案為：4=log（2）解：設(shè)logaM=m，loga∴MN=∴l(xiāng)ogaMN=∴l(xiāng)ogaMN=（3）解：原式===2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的知識(shí)解題，理解新定義，找到指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．39．（浙江寧波·七年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，可用a表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如4.1=4(1)則11.8=______；?11.9(2)現(xiàn)對(duì)119進(jìn)行如下操作：119→第一次119=10→第二次10①對(duì)15進(jìn)行1次操作后變?yōu)開_____，對(duì)200進(jìn)行3次操作后變?yōu)開_____；②對(duì)實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m最小可以取到______；③若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．【答案】(1)11；?12(2)