專(zhuān)題4.13 相交線(xiàn)與平行線(xiàn)（幾何模型2）（知識(shí)講解）-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練（湘教版）

專(zhuān)題4.13相交線(xiàn)與平行線(xiàn)（幾何模型2）（知識(shí)講解）幾何模型：角平分線(xiàn)模型圖一下面分別對(duì)（1）、（2）、（3）三個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明。圖二

圖三圖四1、（2020·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)D，∠CDE=160°，求∠C的度數(shù)【答案】140°【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠CDB的度數(shù)，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義得出∠ADB及∠ABC的度數(shù)，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠C的度數(shù)．解：∵∠CDE=160°，∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟知平行線(xiàn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2020·山東菏澤市·七年級(jí)期末）如圖，，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，．（1）說(shuō)明的理由；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）55°【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和，可證，從而，再證明，即可證明結(jié)論成立；（2）先求∠ADC的度數(shù)，再求∠EDC的度數(shù)，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求的度數(shù)解：（1）∵平分，平分，∴，．∵，∴．∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線(xiàn)平行，同位角相等，②兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．【變式2】（2020·浙江杭州市·七年級(jí)期末）如圖，若要判定紙帶兩條邊線(xiàn)a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來(lái)進(jìn)行探究．（1）如圖1，展開(kāi)后，測(cè)得，則可判定a//b，請(qǐng)寫(xiě)出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線(xiàn)a，b互相平行，折疊后的邊線(xiàn)b與a交于點(diǎn)C，若將紙帶沿（，分別在邊線(xiàn)a，b上）再次折疊，折疊后的邊線(xiàn)b與a交于點(diǎn)，AB//，，求出的長(zhǎng)．【答案】（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)B1在B的左側(cè)時(shí)，如圖2，當(dāng)B1在B的右側(cè)時(shí)，如圖3，分別求出的長(zhǎng)，即可得到答案．解：（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行），故答案是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當(dāng)B1在B的左側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當(dāng)B1在B的右側(cè)時(shí)，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等”是解題的關(guān)鍵．2．（2020·安徽省安慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，已知，，點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分和，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，D．（1）求的度數(shù)（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的比值是否隨之變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，，求此時(shí)的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）不變，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義只要證明∠CBD=∠ABN即可；（2）不變．可以證明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．

（3）想辦法證明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問(wèn)題；解：（1）∵AM∥BN，

∴∠ABN=180°-∠A=120°，

又∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，（2）不變．理由如下：

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，∴∠APB：∠ADB=2：1．（3）∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，

∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，

∴∠ABC=∠ABN=30°，【點(diǎn)撥】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式】（2020·河南周口市·七年級(jí)期中）如圖所示，直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，∠BEF、∠DFE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K．（1）求∠EKF的度數(shù)；（2）如圖（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K1，問(wèn)∠K1與∠K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．（3）在圖（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K3，依此類(lèi)推，……，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠K4的度數(shù)．【答案】（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，證明見(jiàn)解析；（3）∠K4＝5.625°．【分析】（1）過(guò)K作KG∥AB，交EF于G，根據(jù)平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行可得AB∥KG∥CD，從而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，從而求出∠K1，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律即可得出結(jié)論．解：（1）如圖（1），過(guò)K作KG∥AB，交EF于G，∵AB∥CD，∴AB∥KG∥CD，∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，∵EK、FK分別為∠BEF與∠EFD