蘇州新區(qū)一中2024屆高一下數(shù)學期末統(tǒng)考試題含解析

蘇州新區(qū)一中2024屆高一下數(shù)學期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）.A． B． C． D．2．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則該人最后一天走的路程為（）.A．24里 B．12里 C．6里. D．3里3．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐P﹣ABCD為陽馬，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E為棱PA的中點，則異面直線AB與CE所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成，在矩形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形細割圓，并使正多邊形的面積無限接近圓的面積，進而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．6．在數(shù)列中,,則數(shù)列的前n項和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1487．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈A．81盞 B．112盞 C．162盞 D．243盞8．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．4559．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，的前項和用表示，若滿足，則當取得最大值時，的值為（）A．16 B．15 C．14 D．1310．某同學5天上學途中所花的時間（單位：分鐘）分別為12，8，10，9，11，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．4 B．2 C．9 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期___________.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是______.13．在平面直角坐標系中，從五個點：中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是_______．14．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于．15．下列命題中：①若，則的最大值為；②當時，；③的最小值為；④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)16．設(shè)向量，，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．設(shè)全集是實數(shù)集，集合，．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求．19．如圖，是菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形，，．（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若，求直線與平面所成角的余弦值．20．已知，，，．（1）求的最小值（2）證明：．21．如圖，在三棱錐中，，分別為棱，上的三等份點，，.（1）求證：平面；（2）若，平面，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：根據(jù)初等函數(shù)的圖象，可得函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．解：由題意，A的底數(shù)大于0小于1、C是圖象在一、三象限的單調(diào)減函數(shù)、D是余弦函數(shù)，，在（0，+∞）上不單調(diào)，B的底數(shù)大于1，在（0，+∞）上單調(diào)增，故在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù),故選B考點：函數(shù)的單調(diào)性點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，掌握初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．2、C【解析】

由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得該人最后一天走的路程．【詳解】解：記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，，故選C．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前項和，是基礎(chǔ)的計算題．3、B【解析】

由異面直線所成角的定義及求法，得到為所求，連接，由為直角三角形，即可求解．【詳解】在四棱錐中，，可得即為異面直線與所成角，連接，則為直角三角形，不妨設(shè)，則，所以,故選B．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的作法及求法，其中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】，所以，故選A。5、C【解析】

設(shè)圓的半徑為，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，問題得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，將內(nèi)接正邊形分成個小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：，此時，即：同理，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：此時所以故選C【點睛】本題主要考查了圓的面積公式及三角形面積公式的應(yīng)用，還考查了正弦的二倍角公式，考查計算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

可得數(shù)列為等差數(shù)列且前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，可得前8或9項和最大，由求和公式計算可得．【詳解】解：∵在數(shù)列中,，

，即數(shù)列為公差為?4的等差數(shù)列，

，

令可得，

∴遞減的等差數(shù)列中前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，

∴數(shù)列的前8或9項和最大，

由求和公式可得

故選：C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．7、D【解析】

從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)可構(gòu)成一個公比為3的等比數(shù)列，其和為1．由等比數(shù)列的知識可得．【詳解】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)依次記為a1,a2,a3故選D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)實際意義構(gòu)造一個等比數(shù)列，把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題．8、C【解析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據(jù)圓的弦長公式l=2r【詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【點睛】求圓的弦長有兩種方法：一是求出直線和圓的交點坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長構(gòu)成的直角三角形中運用勾股定理求解，此時不要忘了求出的是半弦長．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運算、增強解題的直觀性．9、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得到，推出，判斷出當時，；時，；再根據(jù)，判斷出對取正負的影響，進而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，因此，所以，所以，，因此，當時，；時，，因為，所以當時，，當時，，當時，，當時，因為，所以；因為所以，當時，取得最大值.故選：A【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，及其函數(shù)特征即可，屬于常考題型.10、B【解析】

先求平均值，再結(jié)合方差公式求解即可.【詳解】解：由題意可得，由方差公式可得：，故選：B.【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的方差，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)表達式，由此求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】依題意，故函數(shù)的周期.故填：.【點睛】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、4【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，尋找到規(guī)律周期性，確定輸出結(jié)果．【詳解】第1次循環(huán)：，；第2次循環(huán)：，；第3次循環(huán)：，；第4次循環(huán)：，；…；S關(guān)于i以4為周期，最后跳出循環(huán)時，此時.故答案為：4.【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題關(guān)鍵是由程序確定變量變化的規(guī)律：周期性．13、【解析】

分別算出兩點間的距離，共有種，構(gòu)成三角形的條件為任意兩邊之和大于第三邊，所以在這10種中找出滿足條件的即可．【詳解】由兩點之間的距離公式，得：，，，任取三點有：，共10種，能構(gòu)成三角形的有：，共6種，所求概率為：.【點睛】構(gòu)成三角形必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，則n個點共有個線段，找出滿足條件的即可，屬于中等難度題目．14、【解析】試題分析：由題意得，不妨設(shè)棱長為，如圖，在底面內(nèi)的射影為的中心，故，由勾股定理得，過作平面，則為與底面所成角，且，作于中點，所以，所以，所以與底面所成角的正弦值為．考點：直線與平面所成的角．15、①②【解析】

根據(jù)均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【詳解】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立均為負數(shù)時也成立.故答案為①②【點睛】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

利用向量夾角的坐標公式即可計算.【詳解】.【點睛】本題主要考查了向量夾角公式的坐標運算，屬于容易題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進而可得平面平面；（2）先取中點，連結(jié)，，證明平面平面，在平面內(nèi)作于點，則平面.以點為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為四邊形是正方形，所以折起后，且，因為，所以是正三角形，所以.又因為正方形中，為的中點，所以，所以，所以，所以，又因為，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中點，連結(jié)，，則，，又，則平面.又平面，所以平面平面.在平面內(nèi)作于點，則平面.以點為原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系.在中，，，.∴，，故，，，∴，.設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，令，得，，∴.因為平面的法向量為，則，又二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟記面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，屬于?？碱}型.18、（1）或（2）當時，；當時，【解析】

（1）若，則或，解得實數(shù)的取值范圍；（2）若則，結(jié)合交集定義，分類討論可得.【詳解】解：（1）若，則或，即或.所以的取值范圍為或.（2）∵，則且，∴.當時，;當時，.【點睛】本題考查集合的交集運算，元素與元素的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】

（1）取的中點，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；（2）只需證明平面．即可證明平面平面；（3）作于，則為與平面所成角，在中，由余弦定理得即可．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，∵是菱形的對角線，的交點，∴，且，又∵，且，∴，且，從而為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵四邊形為菱形，∴，∵，是的中點，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面；（3）作于，∵平面平面，∴平面，則為與平面所成角，由及四邊形為菱形，得為正三角形，則，，，∴為正三角形，從而，在中，由余弦定理，得，∴與平面所成角的余弦值為．【點睛】本題主要考查了空間線面位置關(guān)系、線面角的計算，屬于中檔題．20、（1）1（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)基本不等式即可求出，（2）利用x2+y2+z2（x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2），再根據(jù)基本不等式