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二、無界函數(shù)的反常積分一、無窮限（區(qū)間）的反常積分5.5定積分在幾何上的應用表示為一、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義一個整體量;如何應用定積分解決問題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達式這種分析方法成為元素法

(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值面積：二、平面圖形的面積1.1直角坐標之一般情形面積元素：

xoycdyy+dy類似地可得，由區(qū)間[c,d]上的連續(xù)曲線與兩直線與所圍成的平面圖形的面積為面積元素面積：類似地可得，由區(qū)間[c,d]上的兩條連續(xù)曲線與

，（當）

以及兩直線與所圍成的平面圖形的面積為

xoycdyy+dy【解Ⅰ】兩曲線的交點面積元素選x為積分變量【解Ⅱ】選y為積分變量面積元素【問題】積分變量只能選x嗎？【問題】多條曲線圍成的曲面怎么求解？將圖像的面積分割進行處理。分割后每一部分都是前面所學的簡單圖形的面積，分別求其面積，再求和?！窘狻績汕€的交點選x為積分變量于是所求面積【說明】注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．【解】兩曲線的交點如果選x為積分變量的話，分割為兩部分之和若選x為積分變量，則如下故選y為積分變量由此我們看到，積分變量選取適當，則可使計算簡便.例

4求y=sinx，y=cosx，解由上述公式知所圍成的平面圖形的面積.也可以先作出該平面圖形的草圖，如圖，就不必用公式了.則直接可得y=cosxxOy=sinx1y例

5求橢圓x=acost，y=bsint的面積，其中a>0，b>0.

解因為圖形關于x軸、y軸對稱，所以橢圓面積是它在第一象限部分的面積的四倍，把x=acost，y=bsint代入上述積分式中，上、下限也要相應地變換(滿足積分變量t

).由定積分的換元公式得即xyO三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),特別,當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉一周圍成的立體體積時,有例6.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉而轉而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標方程則(利用對稱性)【解】直線OP方程為【解】直線OP方程為例8.

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