福建省龍巖市一級達標(biāo)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

福建省龍巖市一級達標(biāo)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某中學(xué)舉行高一廣播體操比賽，共10個隊參賽，為了確定出場順序，學(xué)校制作了10個出場序號簽供大家抽簽，高一（l）班先抽，則他們抽到的出場序號小于4的概率為（）A． B． C． D．2．利用隨機模擬方法可估計無理數(shù)π的數(shù)值，為此設(shè)計右圖所示的程序框圖，其中rand()表示產(chǎn)生區(qū)間(0,1)上的隨機數(shù),P是s與n的比值，執(zhí)行此程序框圖，輸出結(jié)果P的值趨近于()A．π B．π4 C．π23．石臼是人類以各種石材制造的，用以砸、搗、研磨藥材、食品等的生產(chǎn)工具，是由長方體挖去半球所得幾何體，若某石臼的三視圖如圖所示（單位：dm），則其表面積（單位：dm2）為（）A．132+8π B．168+4π C．132+12π D．168+16π4．祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜淼?祖暅原理的內(nèi)容是：“冪勢既同，則積不容異”，“勢”即是高，“冪”是面積.意思是，如果夾在兩平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知，兩個平行平面間有三個幾何體，分別是三棱錐、四棱錐、圓錐（高度都是h），其中：三棱錐的體積為V，四棱錐的底面是邊長為a的正方形，圓錐的底面半徑為r，現(xiàn)用平行于這兩個平面的平面去截三個幾何體，如果得到的三個截面面積總相等，那么，下面關(guān)系式正確的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，5．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減6．已知點在第四象限，則角在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（）A．1 B．2 C．4 D．68．已知點均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．9．在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若的面積為，且，則的周長的取值范圍是A． B．C． D．10．如圖為A、B兩名運動員五次比賽成績的莖葉圖，則他們的平均成績和方差的關(guān)系是（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為____.12．在等差數(shù)列中，，當(dāng)最大時，的值是________.13．已知平面向量，若，則________14．若點，關(guān)于直線l對稱，那么直線l的方程為________.15．某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）.參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230若從該班隨機選l名同學(xué)，則該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率為__________.16．已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線，直線l與、、都垂直，垂足分別是點A、點B和點C（高速線右側(cè)邊緣），直線與、與的距離分別為1米、2千米，點M和點N分別在直線和上，滿足，記.（1）若，求AM的長度；（2）記的面積為，求的表達式，并問為何值時，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范圍.18．已知向量，函數(shù)，且當(dāng)，時，的最小值為.（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求方程在區(qū)間上所有根之和.19．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．20．已知以點為圓心的圓C被直線截得的弦長為．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）求過與圓C相切的直線方程：（3）若Q是直線上的動點，QR，QS分別切圓C于R，S兩點．試問：直線RS是否恒過定點？若是，求出恒過點坐標(biāo)：若不是，說明理由．21．如圖，漁船甲位于島嶼的南偏西方向的處，且與島嶼相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．（1）求漁船甲的速度；（2）求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

古典概率公式得到答案.【詳解】抽到的出場序號小于4的概率：故答案選D【點睛】本題考查了概率的計算，屬于簡單題.2、B【解析】

根據(jù)程序框圖可知由幾何概型計算出x，y任取（0，1）上的數(shù)時落在x2【詳解】解:根據(jù)程序框圖可知P為頻率，它趨近于在邊長為1的正方形中隨機取一點落在扇形內(nèi)的的概率π×故選：B【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，根據(jù)已知中的程序框圖分析出程序的功能，并將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

利用三視圖的直觀圖，畫出幾何體的直觀圖，然后求解表面積即可．【詳解】幾何體的直觀圖如圖：幾何體的表面積為：6×6×2+4×6×4﹣4π+2π×22＝168+4π．故選：B．【點評】本題考查三視圖及求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．4、D【解析】

由祖暅原理可知：三個幾何體的體積相等，根據(jù)椎體體積公式即可求解.【詳解】由祖暅原理可知：三個幾何體的體積相等，則，解得，由，解得，所以.故選：D【點睛】本題考查了椎體的體積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6、B【解析】

根據(jù)第四象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征，再根據(jù)正弦值、正切值的正負性直接求解即可.【詳解】因為點在第四象限，所以有：是第二象限內(nèi)的角.故選：B【點睛】本題考查了正弦值、正切值的正負性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

先由三視圖還原幾何體，再由題中數(shù)據(jù)，結(jié)合棱錐的體積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由三視圖可得，該幾何體為底面是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖所示：由題意可得其體積為：故選B【點睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求幾何體的體積，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及體積公式即可，屬于?？碱}型.8、A【解析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．由此可計算球半徑．【詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．9、C【解析】

首先根據(jù)面積公式和余弦定理可將已知變形為，，然后根據(jù)正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，利用，化簡為，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問題.【詳解】因為的面積為，所以，所以，由余弦定理可得，則，即，所以．由正弦定理可得，所以．因為為銳角三角形，所以，所以，則，即．故的周長的取值范圍是．【點睛】本題考查了正余弦定理和三角形面積公式，以及輔助角公式和三角函數(shù)求取值范圍的問題，屬于中檔題型，本題需認(rèn)真審題，當(dāng)是銳角三角形時，需滿足三個角都是銳角，即.10、D【解析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接計算出平均值與方差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，，所以；又，，所以.故選D【點睛】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將函數(shù)進行化簡為，求出其單調(diào)增區(qū)間再結(jié)合，可得結(jié)論.【詳解】解：，遞增區(qū)間為：，可得，在范圍內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間為。故答案為：.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題。12、6或7【解析】

利用等差數(shù)列的前項和公式，由，可以得到和公差的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最大時，的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，所以，因為，，所以當(dāng)或時，有最大值，因此當(dāng)?shù)闹凳?或7.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式，考查了等差數(shù)列的前項和最大值問題，運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13、1【解析】

根據(jù)即可得出，解出即可．【詳解】∵；∴；解得，故答案為1．【點睛】本題主要考查向量坐標(biāo)的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用直線垂直求出對稱軸斜率，利用中點坐標(biāo)公式求出中點，再由點斜式可得結(jié)果.【詳解】求得，∵點，關(guān)于直線l對稱，∴直線l的斜率1，直線l過AB的中點，∴直線l的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，考查了直線點斜式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

直接利用公式得到答案.【詳解】至少參加上述一個社團的人數(shù)為15故答案為【點睛】本題考查了概率的計算，屬于簡單題.16、【解析】試題分析：因為所以考點：向量數(shù)量積及夾角三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），當(dāng)時，；（3）.【解析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根據(jù)的范圍得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等變換和正弦函數(shù)的值域得出答案.【詳解】（1）由題意可知:，即，，所以；（2），，，，，，，時，取得最大值1，；（3），由題意可知，令，.【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和計算能力，考查對基本知識的掌握，考查分析能力，屬于中檔題.18、（1），；（2）.【解析】

(1)運用向量的數(shù)量積運算和輔助角公式化簡，求解和求其單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)圖像的平移和函數(shù)的對稱軸求解.【詳解】（1）函數(shù)，得.即，由題意得，得所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）由題意，，又，得解得：或即或或故所有根之和為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的值域、單調(diào)性和對稱性，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，根據(jù)，構(gòu)造，利用，兩式相減得到，然后驗證，得到數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）由上一問可知.根據(jù)零點分和討論去絕對值，利用分組轉(zhuǎn)化求數(shù)列的和.試題解析：（Ⅰ）因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得：當(dāng)時，，因為,得到，解得，，所以數(shù)列是首項，公比為5的等比數(shù)列，則；（Ⅱ）由題意知，,易知當(dāng)時，；時，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，……當(dāng)時，又因為不滿足滿足上式，所以.考點：1.已知求；2.分組轉(zhuǎn)化法求和.【方法點睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和方法（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，（2）裂項相消法求和，，等的形式，（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，（4）倒序相加法求和，一般距首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式兩式相加除以2得到數(shù)列求和,（5）或是具有某些規(guī)律求和，（6）本題考查了等差數(shù)列絕對值求和，需討論零點后分兩段求和.20、（1）（2）或（3）直線RS恒過定點【解析】

（1）由弦長可得,進而求解即可；（2）分別討論直線的斜率存在與不存在的情況,再利用圓心到直線距離等于半徑求解即可；（3）由QR,QS分別切圓C于R,S兩點,可知,在以為直徑的圓上,設(shè)為,則可得到以為直徑的圓的方程,與圓聯(lián)立可得,由求解即可【詳解】（1）由題,設(shè)點到直線的距離為,則,則弦長,解得,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（2）當(dāng)切線斜率