2018-2019學(xué)年湖南省湘西州人教A版高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2018-2019學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(本題共12小題)

1.已知全集Q{1,2,3,4,5,6},集合/={2,3,5),8={，,3,6},則([;曲D5

=()

A.{3}B.{1,6}C.{1,3,4,6)D.0

2.點(diǎn)/(1,1,1)關(guān)于坐標(biāo)平面xflz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-1,1,1)B.(-1,-1,1)C.(1,-1,1)D.(1,-1,-1)

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是()

A.y=2"B.y=log2XC.y=-A—

x-1

4.已知圓G:，+/=4,G：(x-3)2+(y-4)?=25交于4,8兩點(diǎn)，則直線N8的方程

為()

A.4x-3y-2=0B.4x-3y+2=0C.3x-4y-2=0D.3x+4y-2=0

5.函數(shù)"x)=3)x/■的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

2x

A.3B.2C.1D.0

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

AqB.MC.D.近

3333

23

7.設(shè)b=(y)3,c=(-1-)2,貝寸仄b、c的大小關(guān)系為()

T

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.aVcVb

8.設(shè)db,c是三條不同的直線，a,3,丫是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

A.若a_L6,b±c,則a〃cB.若a_LB,0±Y,則a〃丫

C.若a_La,a_LB,則a〃BD.若a〃a,a〃B,則a〃B

9.若直線/:4妙3y=0與圓C:f+“-2x-4y+t=0相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

A.(x-1)2+(y-2)2=4B.(x-1)2+(y-2)2=8

C.(x-1)2+(y-2)2=9D.(x-1)2+(y<-2)2=4

10.若。，。分別為A:ajd-4y+5=0,/2:6A+8八25=0上的動(dòng)點(diǎn)，且4〃/z,則|戶。|的最小

值為（）

5

2

11.四面體中，AB=BC=AD=CD=5,/信=故=4&,若四面體4夕少的頂點(diǎn)都在球0

的球面上，則球0的體積是（）

A.?面兀B.41yl兀c.-刖口.36n

362

12.已知，（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=3\Q-x（a為常數(shù)）并且》

（-1）=-1,則？（x）的單調(diào)增區(qū)間是（）

A.（-8,2]和[2,+8）B.（-8,-1]和[1,4-00）

C.[-2,2]D.[-1,1]

二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分.

log2x,x>0

13.已知f(x)=則?(-1))=

X,x40,

14.在正四面體48曲中，題N,。分別為棱四，BC,做的中點(diǎn)，則異面直線椒與/Q所成

角的余弦值為.

15.對(duì)數(shù)式//5-//2+2/a-2/㈱=.

16.矩形4腦中，43=1,AD=M.現(xiàn)將劭沿劭翻折，形成大小為9的二面角4-劭

-C,并且AC=",[2>則cos0=.

三、解答題：本題共6小題，共48分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)全集￡/=尺集合4={x|-1V*<a},8={*卜》3或后1}.

（I）若a=4,求4D統(tǒng)

（II）若/U（[?=A,求a的取值范圍.

18.已知直線/的方程為揚(yáng)-3六3=0.

(I)若直線人與/在y軸上的截距相等，且3的傾斜角是/的傾斜角的兩倍，求直線

/,的一般式方程；

(II)若直線/?過點(diǎn)(百，2),且/?與/垂直求直線/?的斜截式方程.

19.已知函數(shù)f(x)=log,(A+S)(a>0且aW1)的圖象過點(diǎn)(T,0),g(x)=f(x)

+f(-x).

(I)求函數(shù)g(x)的定義域；

(II)寫出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求g(x)的最大值.

20.圓C:*2+/=4與直線/:kx-y-4=0交于4,8兩點(diǎn).

(I)求證：直線/恒過定點(diǎn)；

(II)若求〃的值.

2x__

21?已知函數(shù)P)=T是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其中m是常虬

(I)判斷f(x)的單調(diào)性，并用定義證明；

(II)若對(duì)任意xG[-3,1],有f(tx)+f(2t-1)WO恒成立，求實(shí)數(shù)匕的取值范

圍.

22.正方缽ABCD-A'B'CD'履次為2,并且￡,尸分別是棱41',饗的中點(diǎn).

(I)求證：平面眄'￡!平面即

(II)求直線48,與平面陶'廠所成的角的正弦值.

A

8

參考答案

一、選擇題(本題共12小題)

1.已知全集仁{1,2,3,4,5,6),集合/={2,3,5},B={\,3,6},則(CC8

=()

A.{3}B.{1,6}C.{1,3,4,6}D.0

【分析】先求出[uA={1,4,6),由此能求出([uA)Dff.

解：?.?全集Q{1,2,3,4,5,6),集合/={2,3,5},{1,3,6},

*'?C/={1,4,61,

:.(C/)n5={i,6}.

故選：B.

2.點(diǎn)/(1,1,1)關(guān)于坐標(biāo)平面xflz■的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-1,1,1)B.(-1,-1,1)C.(1,-1,1)D.(1,-1,-1)

【分析】利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)的x坐標(biāo)、z坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，

即可求出結(jié)果.

解：?.?點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面x次的對(duì)稱點(diǎn)的x坐標(biāo)、z坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，

...點(diǎn)4(1,1,1)關(guān)于坐標(biāo)平面x龍的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,-1,1),

故選：C.

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是()

A.y=2"B.y=Iog2xC.y=，一D.卜x

x-1x

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性，綜合即可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,y=T,為指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于8,y=logzx,為對(duì)數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于。，匕="，其定義域?yàn)閧x|萬看1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，不符合題意；

x-1

對(duì)于。，一，1-X,,其定義域?yàn)閧x|xHO},且，(-X)=-A(x),為奇函數(shù)，符合

x

題意；

故選：D.

4.已知圓G:〃+/=4,C：(x-3)，(y-4)2=25交于，，8兩點(diǎn)，則直線48的方程

為()

A.4x-3y-2=0B.4x-3y+2=0C.3x-4y-2=0D.3A+4y-2=0

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，化簡變形可得相交弦所在直線的方程，即可得

答案.

解：根據(jù)題意，圓G:1+/=4,

G：(%-3)2+(y-4)2=25,x+y-6x-8y=0,

x2+y2-4=0

則有《,解可得：3A+4y-2=0;

x2+y2-6x-8y=0

即直線AB的方程為3A+4X-2=0;

故選：D.

5.函數(shù)f(x)=g)'4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【分析】由函數(shù)f(x)=(1")'J~=0,得(1")",分別作出函數(shù)y==(5)〃與y

2x2x2

=」■的圖象，利用圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

X

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=A)xj",所以由函數(shù)f(公=(-^)X4^-=0,得(―

2x2x2x

分別作出函數(shù)尸3)X與尸」的圖象，如圖：

2x

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有1個(gè)，即函數(shù)"公=(工)*+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè).

2x

故選：C.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

B.嫗C*D.也

333

【分析】判斷幾何體的形狀，畫出直觀圖，然后求解幾何體的體積即可.

解：由題意可知幾何體是四棱錐P-他步，

所以幾何體的體積為：［■X2X2X、/G=2四.

33

故選：A.

23

2

7.設(shè)a=l0gsb=(--)3,c=(--),則3、b、c的大小關(guān)系為()

3

A.aVbVcB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

解：?.?log暮Vlog§=0,：.a<0,

3

V0<(y)-Fp.\0<h<1<c,

??aV6VCf

故選：A.

8.設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,B,丫是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

()

A.若a_L6,bl.c,則a〃cB.若aJ-B,0±Y,則a〃丫

C.若a_La,a_LB,則a〃BD.若a〃a,a〃B,則a〃B

【分析】利用空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，4選項(xiàng)可用線線平行的條件

進(jìn)行判斷；B,〃選項(xiàng)可借用正方體中面面位置關(guān)系判斷，C選項(xiàng)由線面垂直的性質(zhì)判斷

面面平行.

解：/選項(xiàng)不正確，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是平行，相交或

者異面，故力不正確；

8選項(xiàng)不正確，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交或平行，故不正確；

，選項(xiàng)正確，因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行的，故C正確；

。選項(xiàng)不正確，因?yàn)槠叫杏谕恢本€的兩個(gè)平面是平行或相交關(guān)系.

綜上，C選項(xiàng)正確

故選：C.

9.若直線/:4A+3y=0與圓C:?+，-2x-4y+t=0相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-1)z+(y-2)2=4B.(x-1)2+(y-2)2=8

C.(x-1)2+(y-2)2=9D.(z-1)2+(y+2)2=4

【分析】根據(jù)題意，由圓的方程分析可得圓心的坐標(biāo)，結(jié)合直線與圓的方程分析可得r

=產(chǎn)I=2,由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式分析可得答案.

V16+9

解：根據(jù)題意，圓C:x+y-2x-4yH=0,即(x-1)，(y-2)2=5-t,其圓心為G,

2),

若直線/:4A+3y=0與圓C相切，則有r=L=2,

V16+9

則圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1），（y-2）-4;

故選：A.

10.若。，。分別為/,:ax+4/'5=0,A:6A+8尸25=0上的動(dòng)點(diǎn)，且人〃/2,貝必夕。|的最小

值為（）

53

A.—B.2C.—D,1

22

OR

【分析】先由已知直線平行可求a,根據(jù)題意，當(dāng)圖與/,:3A+4八5=0,A:3A+4六仔

=0垂直時(shí)，|夕。|最小,然后根據(jù)平行線間的距離公式可求.

解：VA:aA+4y+5=0,/2:6A+8尸25=0平行，

:.3=3,

9R

此時(shí)：4:3A+4JH-5=0,/2:3A+4y+-^-=0,

根據(jù)題意，當(dāng)。。與A:3>+4jA5=0,/2:3/4P■孕=0垂直時(shí)，最小,

壟-5

此時(shí)|00|即為兩平行線間的距離21，=旦.

2

故選：C.

11.四面體4腦中，AB=BC=AD=CD=5,AC=BD=4-^2,若四面體4腦的頂點(diǎn)都在球0

的球面上，則球0的體積是（）

A.40〉兀B,里巫C.-刖.36n

362

【分析】由題意將四面體放入長方體中，由長方體的對(duì)角線與外接球的直徑相等可求出

外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的體積.

解：將四面體放入長方體中，AB與CD,AD與BC,47與8。相當(dāng)于一個(gè)長方體的相對(duì)面

222

\+b=5

222

的對(duì)角線，設(shè)長方體的長，寬，高分別是a,b,c,U>jJa+c=5:常+8+3=

b2+c2=（4V2）2

41,設(shè)四面體的外接球的半徑為凡則2/?=席彳二^=/五，呼"，所以人=

4__341A/41

K兀R=-；—,

O0

故選：B.

12.已知，(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，2(x)=a、Q-x(a為常數(shù))并且尸

(-1)=-1,則A(x)的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(-8,2］和［2,+8)B.(-8,-1］和［1,+oo)

C.［-2,2］D.［-1,1］

【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(1)=-f(-1)=1,結(jié)合函數(shù)的解析式

可得a的值，設(shè)t=則y=2t-由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得/'(x)=a?-x

在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案.

解：根據(jù)題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且2(-1)=-1,

則f(1)=-f(-1)=1,則有/'(1)=a-1=1,

解可得a=2,

則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=24_x,

設(shè)亡=｛，則y=2t-F,(t>0),

在(o,+8)上為增函數(shù)，

y=2t-t2=-(t2-2t+1)+1,在(0,1］上為減函數(shù)，在［1,+8)上為增函數(shù)，

故A(x)=a?-x在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，

又由f3是定義在R上的奇函數(shù)，則”x)的遞增區(qū)間為(-8,-1］和［1,+OO)；

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題4分，共16分.

log2x,x>0

13.已知f(x)則"(-1))=1.

x40,

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出f(-1)的值，再求，(2(-1))的值.

log2x,x>0

解：

g)“，x<0,

則r（r（-1））=f（2）=1

故答案為：1.

14.在正四面體48緲中，M,N,P分別為棱典BC,劭的中點(diǎn)，則異面直線做與?!「所成

角的余弦值為返.

一3一

【分析】根據(jù)條件即可得出而得正，AP-1（AB+AD）,并根據(jù)條件可求出

MN=1,AP=A/3?進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出而?屈=1，從而可求出cos<Eii,AP>

的值，進(jìn)而得出異面直線腑與4P所成角的余弦值.

解：如圖，,:M,N,。分別為棱四，BC,劭的中點(diǎn)，

?1??1.''?

???HN=yAC.AP專（AB+AD）,

設(shè)正四面體磔步的棱長為2,貝比：|而|=1，|薪|=愿,

??1'?1??1'???I?

且MN-AP-^AC'(AB+AD)j(AC-AB+AC-AD)

■1x(2X2Xy+2X2Xy)=l,

MN-AP1M

/.cos<MN.而>=

IMN|IAPII'63'

...異面直線制與"所成角的余弦值為返.

3

15.對(duì)數(shù)式//5-42+2/g6-2/咫=1.

【分析】由對(duì)數(shù)加減運(yùn)算，合理安排合并運(yùn)算.

解：原式=（/支+柳）Ug5-柳）+2碑

=5+/g4

=/^10

=1

故答案為：1

16.矩形彳腦中，府=1,AD=M,現(xiàn)將劭沿劭翻折，形成大小為e的二面角彳-故

-C,并且AG=粒,貝4cos9=_——

3

【分析】過4作加?他，交故于〃,過C作CK1.AD,交AD于K,則劭=2,AH=CK=^~,

_______2

HK=2-2X42-（理）2=射AC=AH+ffi+KC?由此能求出cos?.

解：過/作/HL8。，交劭于〃，過。作CKA.AD,交AD于K,

則助=、屈1=2,AH=CK=]><^=返,

HK=2-2X.<I]2_（半）2=射

?',■?'—?.—?

??AC=AH+HK+KC，

，記=（前+而+而）2=AH2+Iffi2+KC2+2AH-KC?

?,.2=/+1+?|'+2X^"X亭"XCOS（兀-8）'

解得cos6=-~.

3

故答案為：—.

3

三、解答題：本題共6小題，共48分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)全集Q/?,集合4={*|-1VxVa},8=[*|*，3或后1}.

（I）若a=4,求/D8;

（II）若/U（[u5）=A,求a的取值范圍.

【分析】（I）a=4時(shí)求出集合4,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可；

（II）可求出。UQ{X|1VXV3},而根據(jù)4U（C口8）=4即可得出（C而QA,從而

可得出a的取值范圍.

解：（I）a=4時(shí)，A={x|-1<x<4],且B={x|x，3或啟1},

：.Ar\B={x\-1<x^1或3WxV4};

（II）[.8={x\1<x<3},

V/4U（C而=A,

：.（C而&A,且/={x|-1VxVa},

.?.a的取值范圍為[3,+8）.

18.已知直線/的方程為百^-3尸3=0.

（I）若直線/,與/在y軸上的截距相等，且T的傾斜角是/的傾斜角的兩倍，求直線

4的一般式方程；

（II）若直線/2過點(diǎn)（百，2）,且/?與/垂直求直線/z的斜截式方程.

【分析】（/）直線/的方程為揚(yáng)■-3尸3=0.令x=0,解得y.可得在y軸上的截距.設(shè)

/的傾斜角為6,利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出傾斜角.

（II）設(shè)與直線/垂直的直線方程為：3/炳/gO.把點(diǎn)（百，2）代入可得m.由

直線人過點(diǎn)（愿，2）,且/?與/垂直的直線方程，進(jìn)而得出結(jié)論.

解：（/）直線/的方程為后一3y+3=0.

令x=0,解得y=1.

在y軸上的截距為：1.

設(shè)/的傾斜角為6,則tan。=返，9G[0,n）.

3

TT

???11的傾斜角是/的傾斜角的兩倍，???11的傾斜角=26=《-.

7Tl

..tan—=73.

直線/1的一般式方程為：

（II）設(shè)與直線/垂直的直線方程為：3/舟gO.

把點(diǎn)（愿，2）代入可得：3'后2心出7=0.

解得m=-5?.

二直線/?過點(diǎn)（百，2）,且A與/垂直的直線方程為：3戶舟-5百=0.

化為：^/sx+y-5=0.

其斜截式方程為：尸-小+5.

19.已知函數(shù)f(x)=log,(A+S)(a>0且a=#1)的圖象過點(diǎn)(-1,0),g(x)=f(x)

+f(-x).

(I)求函數(shù)g(x)的定義域；

(ID寫出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求g(x)的最大值.

【分析】(/)由已知代入可求a,然后結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可求解，

(2)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求解函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間及最大值.

解：(/)f(x)=log.(A+a)(a>0且a*1)的圖象過點(diǎn)(-1,0),

.*.3-1=1即3=2,

(x)=f(x)+f(-x)=log2(A+2)+log2(-A+2),

2

=log2(4-X)

，2+x>0

由題意可得

2-x>0'

即-2VxV2

二函數(shù)g(x)的定義域(-2,2),

(IDg(x)的單調(diào)增區(qū)間(-2,0),單調(diào)遞減區(qū)間(0,2),

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最大值2.

20.圓C:〃+/=4與直線/:4=0交于4,8兩點(diǎn).

(I)求證：直線/恒過定點(diǎn)；

(II)若|/8|=百§,求〃的值.

【分析】(/)直線/:kx-y—k=0,可化為y=k(,x-1),求出即可;

(//)根據(jù)幾何法和點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于〃的方程，解出即可.

解：(/)直線/:kx-y—k=0,可化為y=k(.x-1),

當(dāng)x=1時(shí)，無論4為何值，y=0恒成立，

故恒過定點(diǎn)(1,0);

(//)由圓心到直線的距離*=,22-(1粵L)2=

l-kIM

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離d=,~~二2，

Q土Ji

2x_

21.已知函數(shù)式(x)=e-m是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),其中勿是常數(shù).

X

e

(I)判斷r(x)的單調(diào)性，并用定義證明；

(II)若對(duì)任意xG[-3,1],有/(執(zhí))+f(2t-1)WO恒成立，求實(shí)數(shù)大的取值范

圍.

【分析】(I)f(x)是/?上的增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義直接證明即可；

(II)問題等價(jià)于(/2)長1對(duì)任意xG[-3,1]恒成立，則-—3+2)51,解出即

可.

解：(I)2(x)是/?上的增函數(shù)，證明如下：

由f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)+，(-*)=0,

eX^7+e-X-化為(l-m)

eee

:.m=1,

x

Af(x)=e-e9

X1-X1Xz_X2eX1eXZ1+)

設(shè)MV如fl'Jf(x1)-f(x2)=e-e-e+e=<-)<-7^7?

e

由于尸e*是增函數(shù)，所以丁1〈丁2，