專題5.3-5.4平行線的性質(zhì)平移-七年級數(shù)學下冊完整版講義（教師版）（人教版）

專題平行線的性質(zhì)、平移目標導航目標導航1.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。如圖所示。性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。2.判斷一件事情的語句叫命題。命題由題設和結論兩部分組成，有真命題和假命題之分。如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫真命題；如果題設成立，那么結論不一定成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。3.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。平移性質(zhì):平移前后兩個圖形中①對應點的連線平行（或共線）且相等；②對應線段相等③對應角相等考點精講考點精講考點1:應用平行線的性質(zhì)求角度典例：（2022秋·西藏林芝·七年級校考期中）如圖，點D，E在AC上，點F，G分別在BC，AB上，且，∠1＝∠2．(1)求證：；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證；（2）先求出∠C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解．（1）證明：∵，∴∠1＝∠DBC．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC，∴．（2）∵EF⊥AC，∴∠CEF＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∵，∴∠ADG＝∠C＝40°．方法或規(guī)律點撥本題考查平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022秋·山東濟南·八年級校考期中）在中，若，則的度數(shù)是（

）A．140° B．120° C．100° D．40°【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等，對邊平行即可求解【詳解】如圖：由可知，，，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對邊平行、對角相等是解題的關鍵．2．（2021春·四川資陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，小明從處出發(fā)沿著北偏東方向行走至處，又沿北偏西方向走至處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致（即），則方向的調(diào)整應是（

）A．左轉(zhuǎn)100° B．右轉(zhuǎn)100° C．左轉(zhuǎn)80° D．右轉(zhuǎn)80°【答案】B【分析】從處出發(fā)沿著北偏東方向行走至處，北偏西方向走至處，根據(jù)平行的性質(zhì)可知，把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致（即），則，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，當時，，根據(jù)方向上，點處的平角可知，方向向右轉(zhuǎn)，即可得到，故選：．【點睛】本題主要考查方位角，掌握方位角中方向與偏角的關系，平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022秋·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學階段練習）如圖，直線與相交于點E，在的平分線上有一點F，．當時，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對頂角求得，由角平分線的定義求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得結果．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了對頂角的定義，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關鍵．4．（2022春·湖南長沙·九年級長沙縣湘郡未來實驗學校?？茧A段練習）如圖，直線平行直線，，平分，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可知，進而求出，再根據(jù)平分可，再根據(jù)平行線的性質(zhì)知．【詳解】解：，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），．平分，．，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故選B．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，和角平分線的定義．熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．5．（2022秋·河南信陽·七年級?？计谀┮阎本€，將一塊含30°角的直角三角尺按如圖方式放置（），其中，兩點分別落在直線，上，若，則度數(shù)為（

）A．32° B．57° C．55° D．27°【答案】D【分析】根據(jù)題意易得∠2=∠ABD=57°，然后問題可求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴∠2=∠ABD=57°，∵，∴，故選D．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．6．（2022秋·北京西城·七年級期中）如圖，若，EF與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)，，平分線與EP相交于點P，，則__________°．【答案】【分析】由題可求出，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可知，根據(jù)角平分線的定義可得到結果．【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，注意數(shù)形結合思想是解題關鍵．7．（2022秋·上海閔行·七年級?？茧A段練習）如圖，已知直線，將一塊三角板的直角頂點放在直線a上，如果，那么______度．【答案】【分析】根據(jù)平行線得到內(nèi)錯角相等，在根據(jù)直角即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴故答案為．【點睛】本題考查平行線性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等．8．（2022秋·北京·七年級?？茧A段練習）如圖，快艇從處向正北航行到處時，向右轉(zhuǎn)航行到處，再向左轉(zhuǎn)繼續(xù)航行，此時的航行方向為北偏西______°．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與方位角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，此時的航行方向為：北偏西；故答案為：．【點睛】此題主要考查方位角，解題的關鍵是熟知方位角的定義及平行線的性質(zhì)．9．（2022秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【答案】【分析】根據(jù)方位角的概念，過點作輔助線，構造兩組平行線，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關鍵是作輔助線，構造平行線．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．10．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十九中學校校考階段練習）如圖，已知，，若，則________．【答案】【分析】先根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出，再根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”得出答案．【詳解】如圖所示．∵，∴.∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活選擇平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．11．（2023春·吉林長春·九年級長春市解放大路學校?？茧A段練習）如圖，直線．直線與、分別交于、兩點．若，則的大小為_____度．【答案】【分析】根據(jù)鄰補角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵直線，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補角的應用，解此題的關鍵是求出的度數(shù)，注意：兩直線平行，同位角相等．12．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【分析】如圖所示，過點E作，則，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等分別求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出是解題的關鍵．13．（2021秋·四川南充·七年級四川省南充市高坪中學?？茧A段練習）如圖，已知：，，(1)說明：．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對頂角相等得到，再利用平行線的判定即可證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．（1）解：∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．14．（2021秋·山東德州·七年級校考期中）如圖：(1)若，猜想圖①中，、與之間的數(shù)量關系并加以證明；(2)若，如圖②，直接寫出、與之間的數(shù)量關系：．(3)學以致用：一個小區(qū)大門欄桿的平面示意圖如圖所示，垂直地面于，平行于地面，若，則．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)【分析】（1）過點作；通過平行線的性質(zhì)倒角即可；（2）過點作；根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補列出等式求解；（3）由（2）中的結論計算即可；【詳解】（1）解：；理由如下：如圖，過點作；∴∵∴∴∵∴（2）解：；理由如下：如圖，過點作；∵∴∴，∴（3）解：由（2）可知：∵∴∴【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及傳遞性；熟練運用平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角是解題的關鍵．15．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）如圖1，，直線外有一點，連接，．(1)證明：；(2)如圖2，延長至點，連接，平分，平分，且與交于點，求與的數(shù)量關系；(3)如圖3，在2的條件下，，，連接，且，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線性質(zhì)即可得到角度關系，即可求證；（2）過點作，過點作根據(jù)平行線性質(zhì)得到角度關系即可得到答案；（3）過點做，過點作，根據(jù)平行線性質(zhì)得到角度關系即可得到答案．【詳解】（1）證明：過點作，∵，，∴∴，,，∴，∴；（2）解：∵平分，設，又∵平分，設，∴，，過點作，∵，∴，∴，，∴，，∴，過點作，∴，∴，，∴∴；（3）設，過點做，∵，，∴，，∴，∵，∴，過點作，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由（2）知，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是作平行輔助線轉(zhuǎn)換角度關系．16．（2021春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考期中）閱讀并解決問題，課上教師呈現(xiàn)一個問題：已知：如圖，，交于點，交于點，當，時，求的度數(shù)．甲、乙、丙三位同學用不同的方法添加輔助線解決問題，如下圖：甲同學輔助線的做法和分析思路如下：輔助線：過點作．分析思路：①欲求的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求和的度數(shù)之和；②由輔助線作圖可知，，從而由已知的度數(shù)可得的度數(shù)；③由，推出，由此可推出；④由已知，即，所以可得的度數(shù)；⑤從而可求的度數(shù)．(1)你閱讀甲同學思路和方法后，請你根據(jù)乙同學所畫的圖形，描述輔助線的做法，并寫出你相應的分析思路．輔助線：_________________________________分析思路：(2)請你根據(jù)丙同學所畫的圖形，求的度數(shù)．【答案】(1)過點作交于點；分析思路見解析(2)【分析】（1）過點作交于點；根據(jù)，得出，根據(jù)得出，即可得出，從而得出答案；（2）過點做交于點，根據(jù)，得出，，根據(jù)，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：輔助線：過點作交于點；分析思路：1．欲求的度數(shù)，由輔助線作圖可知，，因此，只需轉(zhuǎn)化為求的度數(shù)2．欲求的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求和的度數(shù)和；3．由已知的度數(shù)，所以只需求出的度數(shù)；4．由，可推出；由可推出，所以可得；5．由已知，可得6．從而求出度數(shù)．故答案為：過點作交于點（2）解：如圖丙，過點做交于點，∵，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．考點2：真假命題的判定典例：（1）（2022春·陜西西安·八年級校考階段練習）命題“等邊對等角”的題設是______結論是______【答案】

同一個三角形中的兩條邊相等；

這兩條邊所對的兩個角也相等【分析】判斷一件事情的語句叫做命題．任何一個命題都有題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．命題都可以寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后接題設部分，“那么”后接結論部分．【詳解】解：由于命題“在同一個三角形中，等邊對等角”可改寫成：在同一個三角形中，如果有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的兩個角相等．所以題設是同一個三角形中的兩條邊相等，結論是這兩條邊所對的兩個角相等．故答案為：同一個三角形中的兩條邊相等；這兩條邊所對的兩個角相等．（2）（2022春·八年級單元測試）下列命題中，是真命題的是_________．（填序號）①對頂角相等；②內(nèi)錯角相等；③三條直線兩兩相交，總有三個交點；④若，，則．【答案】①④##④①【分析】根據(jù)對頂角相等可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)兩條直線相交的定義可判斷③；根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可判斷④，據(jù)此可作出判斷．【詳解】解：①對頂角相等，正確，是真命題，符合題意；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，不符合題意；③三條直線兩兩相交，總有三個或一個交點，故原命題錯誤，不符合題意；④若，，則，正確，是真命題，符合題意，正確的有①④．故答案為：①④．方法或規(guī)律點撥本題考查判斷命題真假，涉及對頂角相等、平行線的性質(zhì)、直線相交的交點問題，解答的關鍵是在判斷一個命題的真假時，需要熟知涉及到的相關數(shù)學知識，并對每一個命題作出正確的判斷．鞏固練習1．（2022春·山東青島·八年級期末）要說明命題“若，則”是假命題，可以舉的一個反例是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)舉出的反例要滿足，但不滿足，據(jù)此對選項一一進行分析，即可．【詳解】解：A．當時，不滿足，故不能成為反例，不符合題意；B．當時，不滿足，故不能成為反例，不符合題意；C．當時，，則，故不是反例，不符合題意；D．當時，，但不成立，故能成為反例，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了反例法判斷命題真假，解本題的關鍵在熟練掌握舉反例的方法．2．（2022春·浙江·八年級期中）對于命題“如果，那么．”能說明它是假命題的反例是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】能說明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結論的例子，逐項判斷即可．【詳解】A、滿足，但不滿足，滿足題意；B、滿足命題“如果，那么”，不符合題意；C、不滿足命題“如果，那么”，不符合題意；D、不滿足命題“如果，那么”，不符合題意；故選：A．【點睛】考查了命題與定理的知識，理解能說明它是假命題的反例的含義是解決本題的關鍵3．（2022·全國·七年級專題練習）下列語句是命題的是（）A．畫出兩個相等的線段 B．所有的同位角都相等嗎C．延長線段到C，使得 D．相等的角是對頂角【答案】D【分析】根據(jù)命題的概念判斷即可．【詳解】解：A、畫出兩個相等的線段，沒有做錯判斷，不是命題；B、所有的同位角都相等嗎，沒有做錯判斷，不是命題；C、延長線段到C，使得，沒有做錯判斷，不是命題；D、相等的角是對頂角，是命題；故選：D．【點睛】本題考查的是命題的概念，掌握判斷一件事情的語句，叫做命題，是解題的關鍵．4．（2022春·八年級課時練習）對于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（

）A． B．，C．， D．，【答案】A【分析】判斷命題是假命題，結論錯誤即可，由此即可求解．【詳解】解：當時，，但，∴命題“如果，那么”是假命題，故選：．【點睛】本題主要考查命題真假的判定，掌握命題真假的判定方法是理解命題的條件與結論的關系，即掌握相關定理，命題的定義和性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2022春·河南鶴壁·八年級?？计谥校╆P于命題“等角對等邊”，下列說法錯誤的是（

）A．這個命題是真命題 B．條件是“一個三角形有兩個角相等”C．結論是“這兩個角所對的邊也相等” D．可以用“舉反例”的方法證明這個命題是真命題【答案】D【分析】分析原命題，找出其條件與結論，然后寫成“如果…那么…”形式即可．【詳解】解：在三角形中，如果有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡稱：“等角對等邊”，則選項A、B、C正確，不符合題意，不可以用“舉反例”的方法證明這個命題是真命題．故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，正確理解定義是關鍵．6．（2022春·北京·八年級人大附中?？计谥校﹏個正整數(shù)排成一列A：a1，a2，a3，……，an，，每次進行以下操作之一：操作一：將其中一個數(shù)刪除；操作二：將其中一個數(shù)變?yōu)楦〉恼麛?shù)；操作三：將其中一個數(shù)變?yōu)閮蓚€正整數(shù)，且兩個正整數(shù)之和小于原來的正整數(shù)；現(xiàn)甲乙兩人對這些數(shù)按照甲—乙—甲—乙—……的順序輪流進行操作，規(guī)定最后操作將所有數(shù)刪除的人獲勝．以下說法正確的是（）A．若A：2，3，則甲第一次操作后可以產(chǎn)生6種不同的結果B．若A：2，3，若甲乙兩人經(jīng)過k次操作后將所有數(shù)都刪除，且上述三種操作至少各進行了一次，則b＝1或5C．若A：1，2，2，則甲有必勝策略D．若A：1，2，3，則乙有必勝策略【答案】C【分析】若要進行操作三，則最大項的數(shù)值必須大于等于3；若要進行操作二，則最大項的數(shù)值必須大于等于2；進行操作二不改變數(shù)列的項數(shù)．【詳解】解：A、當甲進行操作一時，會產(chǎn)生2種不同的結果，或；當甲進行操作二時，會產(chǎn)生2種不同的結果，或；當甲進行操作三時，會產(chǎn)生1種不同的結果，；因此甲第一次操作后可以產(chǎn)生5種不同的結果，A故錯誤．B、在數(shù)列中，只有項能進行操作三，并要求三種操作至少各進行了一次，進行操作三后，項數(shù)為3，：①第二步先進行操作一時，只能刪除為1的項，此時（操作三）+1（操作二）+4（操作一）；②第二步先進行操作二時，此時（操作三）+1（操作二）+3（操作一）；因此或6，故B錯誤．C、根據(jù)題意可知，若數(shù)列有奇數(shù)個項，甲、乙逐個消去，最終甲執(zhí)行最后一次操作；有偶數(shù)個項逐個消去，最終乙執(zhí)行最后一次操作；執(zhí)行操作二、操作三不影響最終結果；，為奇數(shù)項且最多可執(zhí)行2（偶數(shù)）次操作二，能確保甲最后將所有項消除，只需保證進行偶數(shù)次操作二即可，故C正確．D、，為奇數(shù)項且最多可執(zhí)行3（奇數(shù)）次操作二，能確保乙最后將所有項消除，只需保證進行奇數(shù)次操作二即可，故D錯誤．故選C【點睛】本題主要考查了數(shù)列的應用和邏輯推理，屬于難題．7．（2022春·湖南長沙·七年級長沙縣湘郡未來實驗學校?？茧A段練習）一棟公寓樓有5層，每層有一或兩套公寓．樓內(nèi)共有8套公寓．住戶J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里．已知：（1）J住在兩套公寓的樓層．（2）K住在P的上一層．（3）二層只有一套公寓．（4）M、N住在同一層．（5）O、Q不同層．（6）Q不住在一層或二層．（7）L住在她所在層僅有的公寓里，且不在第一次或第五層．（8）M在第四層；那么，J住在第（）層．A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】首先根據(jù)已知，采取篩選法進行一個一個篩選，就能確定答案．【詳解】解：由（4）和（8）得出M和N住在第四層．由（2）得K只能在2或3層，又由（7）得出L在3層且只有一戶，K在二層只有一戶，P則在一層．又由（5）和（6）知道O只能在一層，Q在五層．這時只有五層還有一套公寓，所以J只能住在五層．故選：D．【點睛】用到的知識點是推理和論證，能根據(jù)已知，采取篩選法進行一個一個篩選是解此題的關鍵．8．（2022春·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學期末）判斷命題“若，則”是假命題，需要舉出的反例是______．【答案】當時，滿足，但是【分析】根據(jù)舉反例的要求舉出滿足題設，但是不滿足結論的例子即可．【詳解】解：∵當時，滿足，但是，∴“若，則”是假命題的反例為：當時，滿足，但是，故答案為：當時，滿足，但是．【點睛】本題主要考查了乘方、命題以及證明，熟知舉反例的要求舉出滿足題設，但是不滿足結論的例子是解題的關鍵．9．（2022秋·北京海淀·七年級?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個數(shù)是（）①相等的角是對頂角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果，那么．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)對頂角、平行線的性質(zhì)、余角的概念、平方根的概念逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：①相等的角不一定是對頂角，原說法錯誤，是假命題；②兩直線平行，同位角相等，原說法錯誤，是假命題；③等角的余角相等，原說法正確，是真命題；④如果，那么，原說法錯誤，是假命題，即真命題的個數(shù)為1，故選：A．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．10．（2022春·上海·八年級階段練習）寫出命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題：如果___________________，那么_____________________．【答案】

三角形兩邊上的高相等

這個三角形是等腰三角形【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題；【詳解】命題“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題：如果三角形兩邊上的高相等，那么這個三角形是等腰三角形．故答案為：三角形兩邊上的高相等，這個三角形是等腰三角形．【點睛】本題主要考查命題與定理的知識點，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．11．（2021春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？计谥校┯邢铝忻}是真命題的是（）A．相等的角是對頂角B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C．有一邊互為反向延長線，且和為180°的兩個角是鄰補角D．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行【答案】D【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)和定義，鄰補角的定義，平行線的性質(zhì)，平行線公理逐一判斷即可．【詳解】A、共頂點，且一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線，這樣的兩個角是對頂角，但是，相等的兩個角，若不滿足對頂角的定義，也不是對頂角，故此命題是假命題；B、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故此命題是假命題；C、有一邊互為反向延長線，且共頂點與共一條邊的兩個角是鄰補角，故此命題是假命題；D、過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，是真命題；故選：D．【點睛】本題考查了命題真假的判斷，掌握命題所涉的相關知識是關鍵．12．（2022春·浙江·八年級階段練習）命題“對頂角相等”改寫成如果___，那么___．【答案】

兩個角是對頂角

這兩個角相等【分析】分清題目的已知與結論，即可解答．【詳解】解：命題“對頂角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．故答案為：兩個角是對頂角；這兩個角相等．【點睛】本題考查命題的擴充改寫，解題關鍵是先要明確命題中的已知條件和結論，然后根據(jù)已經(jīng)學過的知識將已知和結論的描述語言進行適當擴充．13．（2022春·全國·八年級專題練習）某次數(shù)學競賽中有5道選擇題，每題1分，每道題在A、B、C三個選項中，只有一個是正確的．下表是甲、乙、丙、丁四位同學每道題填涂的答案和這5道題的得分：第一題第二題第三題第四題第五題得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2丁BCCBA（1）則丁同學的得分是_____；（2）如果有一個同學得了1分，他的答案可能是_____（寫出一種即可）【答案】

3

CACCC【分析】（1）分甲從第1題到第5題依次錯一道，進而得出其余四道的正確選項，再根據(jù)乙，丙的選項和得分判斷，進而得出甲具體選錯的題號，即可得出結論；（2）由（1）先得出五道題的正確選項，然后留一個正確，其他都錯誤即可得出結論．【詳解】解：（1）當甲選錯了第1題，那么，其余四道全對，針對于乙來看，第1，3，5道錯了，做對兩道，此時，得分為2，而乙得分3，所以，此種情況不符合題意，當甲選錯了第2題，那么其余四道全對，針對于乙來看，第2，3，5道錯了，做對2道，此時，得分為2分，而乙得分3分，所以，此種情況不符合題意，當甲選錯第3題時，那么其余四道都對，針對于乙來看，第5道錯了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做對3道，即：第3題乙也選錯，即：第3題的選項C正確，針對于丙來看，第1，5題錯了，做對3道，此時，丙的得分為3分，而丙的地方為2分，所以，此種情況不符合題意，當甲選錯第4題，那么其余四道都對，針對于乙來看，第3，4，5道錯了，做對了2道，此時，得分2分，而乙的得分為3分，所以，此種情況不符合題意，當甲選錯第5題，那么其余四道都對，針對于乙來看，第3道錯了，而乙的得分為3分，所以，乙只能做對3道，所以，乙第5題也錯了，所以，第5題的選項A是正確的，針對于丙來看，第1，3，5題錯了，做對了2道，得分2分，針對于丁來看，第3，5題錯了，做對了3道，得分3分，故答案為3；（2）由（1）知，五道題的正確選項分別是：CCABA，如果有一個同學得了1分，那么，只選對1道，即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，故答案為：CACCC（答案不唯一）.【點睛】本題考查合情推理的應用，考查分析圖表的能力，熟練運用推理能力是解決本題的關鍵考點3：平行線的性質(zhì)與判定的綜合應用典例：（2022春·陜西漢中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點D，E，G分別在，，上，連接，點F在上，連接，，已知．(1)試判斷與的關系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，證明，，即可得出結論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2），，，，，又，，∵，．方法或規(guī)律點撥本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關鍵．鞏固練習1．（2022秋·廣西南寧·七年級南寧三中?？计谥校┮阎?，點E在連線的右側(cè)，與的角平分線相交于點F，則下列說法正確的是（）；①；②若，則；③如圖（2）中，若，，則；④如圖（2）中，若，，則．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】分別過、作，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到解答．【詳解】解：分別過、作，，∵，∴，∴，，∴，即，①正確；∵，，∴，∵，∴，，∴，②正確，與上同理，，∴，∴，③正確，由題意，④不一定正確，∴①②③正確，故選：C．【點睛】本題考查平行線的應用，熟練掌握平行線的性質(zhì)及輔助線的作法和應用是解題關鍵．2．（2022秋·廣東湛江·七年級校考期末）如圖，點，，，在同一條直線上，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)證得，求出，利用鄰補角定義求出．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇南通·七年級期中）如圖，線段，交于點，為直線上一點（不與點，重合）．過點在的右側(cè)作射線，過點作直線，交于點（與不重合）．(1)如圖，若點在線段上，且為鈍角．求證：；(2)若點在線段的延長線上，直接寫出與的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）依據(jù)過點在的右側(cè)作射線，過點作直線，交于點，畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出，進而得出；（2）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而得出．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即；（2），理由：如圖，過點作，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．4．（2022春·八年級單元測試）如圖，已知點在直線上，點在線段上，與交于點，，．(1)求證：；(2)試判斷與之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)若求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析；(3)【分析】（1）依據(jù)同位角相等，即可得到兩直線平行；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出，進而判定，即可得出；（3）依據(jù)已知條件求得的度數(shù)，進而利用平行的性質(zhì)得出的度數(shù)，依據(jù)對頂角相等即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，；（2）解：;理由：，,，,,；（3）解：，，,又，，，又，，．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關系判定兩直線的位置關系，平行線的性質(zhì)是由平行線關系來尋找角的數(shù)量關系．5．（2022春·八年級單元測試）如圖所示，已知，，試判斷與的大小關系，并對結論進行說理．【答案】．證明見解析【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行推理即可．【詳解】解：．證明見解析證明：（鄰補角定義），（已知）（同角的補角相等）（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又（已知），（等量代換），（同位角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等）．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．6．（2022春·吉林長春·七年級吉林大學附屬中學期末）（1）問題背景：如圖1，已知，點P的位置如圖所示，連結，試探究與、之間的數(shù)量關系，以下是小明同學的探索過程，請你結合圖形仔細閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學式）：解：過點P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關系是______．（2）類比探究：如圖2，已知，線段與相交于點E，點B在點A右側(cè)．若，，則______．（3）拓展延伸：如圖3，若與的角平分線相交于點F，請直接寫出與之間的數(shù)量關系______．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；；（2）；（3）【分析】（1）結合圖形利用平行線的性質(zhì)填空即可；（2）如圖2，過E點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，結合對頂角的性質(zhì)可求解；（3）由（2）知：，如圖3，過F點作，利用平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義即可求解．【詳解】解：（1）過點P作，∵（已知），∴（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴（等式的性質(zhì)）．即，，之間的數(shù)量關系是．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；；（2）如圖2，過E點作，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（3）由（2）知：，如圖3，過F點作，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴．即．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，利用類比方式推理是解題的關鍵．7．（2022秋·北京·七年級校考期中）已知：直線，點，在直線上，點，在直線上，連接，，平分，平分，且，所在的直線交于點．(1)如圖1，當點在點的左側(cè)時，若，，直接寫出的度數(shù)；(2)如圖2，當點在點的右側(cè)時，設，，求的度數(shù)（用含有，的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作，當點在點的左側(cè)時，根據(jù)，，結合平行線的判定與性質(zhì)，由題中角平分線的定義得到，，即可求的度數(shù)；（2）過點作，當點在點的右側(cè)時，，，參照（1）中解決問題的方法即可求的度數(shù)．【詳解】（1）解：過點作，如圖1所示：則有，，，，，即，平分，平分，，，；（2）過點作，如圖2所示：則，，，，，，即，平分，平分，，，．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．8．（2022秋·陜西渭南·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點在上，點在上，、分別交于點、，已知，．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見詳解(2)【分析】（1）由，，即可推出，即可證明；（2）由，可推出，從而可證明，得出，，結合題意即得出，再根據(jù)得出，從而可得出．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，又∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、鄰補角、對頂角等知識，熟練掌握平行線的判定條件和性質(zhì)是解題關鍵．9．（2022春·陜西漢中·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線與直線、分別交于點E、F，．(1)試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由；(2)如圖2，與的角平分線交于點P，延長交于點G，點H是上一點，且，過點P作，則與平行嗎？為什么？【答案】(1)，見解析(2)平行，理由見解析【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可得到結論；（2）先求得，則，由即可得到結論．【詳解】（1）解：，

理由：∵，，，

．（2）解：由（1）知，，．

，，，即．

，．【點睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活應用平行線的判定和性質(zhì)是解題解題的關鍵．10．（2022秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知，點，分別在射線和上，在內(nèi)部作射線，，使平行于．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在內(nèi)部，無論如何變化，的值始終為定值，請你結合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的改為，其他條件不變，請直接寫出與之間的數(shù)量關系；②如圖4，已知，點，分別在射線，上，在與內(nèi)部作射線，，使平行于，請直接寫出與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)(3)①，②【分析】（1）過點作，可以求出，結合，可以得到，即可求出的度數(shù)；（2）過點作，結合已知可以得出，進而得到，即可求出，的值；（3）①根據(jù)題意畫出對應的圖形，結合平行線的性質(zhì)和判定即可得到與之間的數(shù)量關系；②根據(jù)題意畫出對應的圖形，添加適當?shù)妮o助線，結合平行線的性質(zhì)與判定即可正確解答．【詳解】（1）過點作∴∵∴∵∴∴∵∴（2）過點作∴∴∵∴∴∵∴∴（3）①②【點睛】本題主要考查的是平行線模型，根據(jù)題意畫出對應的圖形，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．11．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十九中學校?？茧A段練習）已知：，、是上的點，、是上的點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，為的角平分線，交于點，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點作于點，作的角平分線交于點，若平分，且比的多，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同位角相等，兩直線平行即可求證；（2）如圖所示（見詳解），過點作，根據(jù)平行性的性質(zhì)，可求得，由此即可求解；（3）設，則，根據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，可得，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴．（2）證明：如圖所示，過點作，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，即∴．（3）解：如圖所示，設，則，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵∴∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故的度數(shù)為．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)的綜合運用，掌握平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識是解題的關鍵．12．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學校?？计谥校┤鐖D，直線、被所截，直線分別交、于、兩點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，、分別為夾在、中的兩條直線，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，為上一點，連接，為上一點，連接，，平分交于點，，，，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）只需要證明即可證明；（2）先由平行線的性質(zhì)得到，進而證明，即可證明；（3）如圖所示，過點N作直線，則，設，先證明，再由平行線的性質(zhì)得到，，由，得到，則，，進而求出，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，從而求出，再由平分，得到，最后根據(jù)，即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點N作直線，則，設，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．考點4：利用圖形的平移解決問題典例：（2022秋·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中．(1)把△ABC進行平移得到△A′B′C′，使點B與B′對應，請在網(wǎng)格中畫出；(2)線段AA′與線段CC′的關系是______________；(3)平移過程中，線段BC掃過的面積是________．【答案】(1)見詳解(2)平行且相等(3)12【分析】（1）根據(jù)圖形可得，點B向右平移5個單位，向上平移2個單位，得到，分別將A、C按照點B平移的路徑進行平移，然后順次連接即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解；（3）連結、、，過C點作，BC掃過的圖形看成兩個三角形，利用網(wǎng)格圖即可求解．（1）作圖如下，即為所求；（2）線段與線段相互平行且相等，故答案為：平行且相等，（3）連接、、，過C點作，如圖，由圖可知BC掃過的圖形為四邊形，根據(jù)網(wǎng)格圖可知：，，∵，∴面積為，同理可以求出面積為6，∵平行四邊形的面積是和的面積之和，∴平行四邊形面積為6+6=12，即BC掃過的圖形的面積為12．方法或規(guī)律點撥本題考查了平移變換作圖以及平移的性質(zhì)，解答本題的關鍵是根據(jù)網(wǎng)格結構找到對應點的位置，然后順次連接．鞏固練習1．（2022秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）如圖是2022年北京冬奧會的吉樣祥物冰墩墩，在下面的四個圖形中，能由該圖經(jīng)過平移得到的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】平移的兩個要素是方向、距離，平移后圖像大小不變，平移圖像與原圖像對應點的連線相互平行，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)平移的要素，性質(zhì)得，選項，大小發(fā)生變化，不符合題意；選項，圖像發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不符合題意；選項，圖像是由平移得到，符合題意；選項，圖像發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查平移的定義，要素，性質(zhì)，掌握平移后原圖像與平移后圖像對應點的連線相互平行，圖像大小不變是解題的關鍵．2．（2021春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？计谥校┤鐖D，有一塊長為a米，寬為3米的長方形地．中間陰影部分是一條小路，空白部分為草地，小路的左邊線向右平移米能得到它的右邊線，若草地的面積為12米，則a的值為（）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)小路的左邊線向右平移米能得到它的右邊線，可得路的寬度是米，根據(jù)平移，可把路移到左邊，再根據(jù)面積公式，可得答案．【詳解】解：依題意有，解得．故答案為：C【點睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，難度不大，屬于?？碱}型．3．（2022秋·江蘇南通·七年級期中）如圖，將直角沿邊向右平移得到，交于點G．，，，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】是直角，是梯形的高，根據(jù)的長度求出的長度，利用梯形的面積公式求出．【詳解】解：∵，，∴，，又∵是梯形的高，陰影部分的面積為：．故答案是：．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)．根據(jù)平移的性質(zhì)，確定的長度，利用直角三角形的性質(zhì)，確定為高，是解題的關鍵．4．（2022秋·廣東東莞·七年級東莞市中堂中學?？计谥校┤鐖D，中，，，將平移至的位置，若四邊形的面積為20，且，則__．【答案】4【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可知：，，，根據(jù)題中圖形關系得到，設，則，即，解方程求得的值即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：由平移至得，，，，，，，四邊形的面積為20，，設，則，即，解得，，故答案為：4．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)、有關圖形的面積關系，求出各個相關圖形面積的表示是解決問題的關鍵．5．（2022春·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖，這個圖形的周長為多少____．【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，再根據(jù)圖形的周長等于長是寬是的矩形的周長，然后列式計算即可解答．【詳解】解：如圖：圖形的周長．故答案為：20．【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，把圖形的周長轉(zhuǎn)化為矩形的周長是解答本題的關鍵．6．（2022春·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學校期末）如圖，某住宅小區(qū)內(nèi)有一長方形地塊，想在長方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路（圖中陰影部分），余下部分綠化，若小路的寬為2m，則綠化面積為___________？【答案】560【分析】將小路平移后綠化部分即是長，寬的長方形，根據(jù)長方形的面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：560．【點睛】此題主要考查了生活中的平移現(xiàn)象，這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進而列式求出答案．．7．（2022秋·北京西城·七年級期中）如圖，將沿BC方向平移得到，若的周長為16，則四邊形的周長為__________．【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段相等及，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，，，，∵的周長為16，∴四邊形的周長為：，故答案為：．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)：圖形平移大小形狀不改變，只是位置發(fā)生改變，對應點連線等于平移距離．8．（2022秋·重慶云陽·七年級?？茧A段練習）如圖，在寬為13米、長為24米的長方形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），道路的寬為2米，余下部分種植草坪.則草坪的面積為__________.【答案】242平方米【分析】通過平移可得，草坪可以看作長為米，寬為米的長方形，再根據(jù)長方形的面積計算即可．【詳解】解：草坪的面積為：（平方米）．故答案為：242平方米．【點睛】本題主要考查了平移現(xiàn)象，理清題意，把草坪可看作長為米，寬為米的長方形是解答本題的關鍵．9．（2021春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點、、均在小正方形的頂點，把三角形平移得到三角形，使點的對應點為．(1)請在圖中畫出三角形．(2)連接、，直接寫出三角形的面積為___________．【答案】(1)作圖見詳解(2)【分析】（1）連接，確定移動距離，過點，作的平行線，并在平行線上分別取，，連接點，，所成圖形即為所求圖形；（2）根據(jù)圖示（見詳解），每個小正方形的邊長均為1，由此可知的長，的高，由此即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)平移的性質(zhì)，作圖如下，所在位置即為所求圖形的位置．（2）解：如圖所示，連接、，∵網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，∴的長，過點作延長線于，則的高，∴三角形的面積為，故答案為：．【點睛】本題主要考查網(wǎng)格中三角形的變換，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)，三角形面積的計算方法是解題的關鍵．10．（2022春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為“格點”，每個小正方形的邊長均為1，內(nèi)角均為直角，的三個頂點均在“格點”處．(1)將平移，使得點B移到點的位置，畫出平移后的；(2)利用正方形網(wǎng)格畫出的高；(3)連接、，利用全等三角形的知識證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點，，即可；（2）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；（3）證明，可得結論．【詳解】（1）過點作，且，再沿著向右移動兩個單位，再向上移動五個單位，就可得到點，連接，，即可得到（2）設從點的位置向右兩個單位的點為，連接，則就是所求的高（3）設交于點J．在和中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查作圖平移變換，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，正確尋找全等三角形解決問題．11．（2022·全國·七年級專題練習）在如圖所示的網(wǎng)格圖每個小網(wǎng)格都是邊長為個單位長度的小正方形中，，分別是的邊，上的兩點．(1)將線段向右平移，使點與點重合，畫出線段平移后的線段，連接，并寫出相等的線段；(2)在（1）的條件下，直接寫出與相等的角；(3)請在射線上找出一點，使點與點的距離最短，并寫出依據(jù)．【答案】(1)圖見解析，相等的線段有：(2)(3)圖見解析，點即為所求．依據(jù)是：垂線段最短【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形，然后根據(jù)平移的性質(zhì)找到相等的線段即可；（2）利用平移和平行線的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)垂線段最短解決問題即可．【詳解】（1）解：如圖所示，線段，線段即為所求；由平移的性質(zhì)可知：（2）解：由平移的性質(zhì)可知，∴，∴，即，∴與∠BOC相等的角有；（3）解：如圖所示，點D即為所求，依據(jù)是：垂線段最短．【點睛】本題考查作圖—平移作圖，平行線的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．12．（2022秋·河北承德·七年級?？计谥校┳鲌D并回答問題：(1)上圖中的網(wǎng)格是邊長為1個單位長度的正方形構成的，畫出網(wǎng)格內(nèi)四邊形ABCD向右平移8個單位長度后的四邊形．(2)若∠DCB=95°，∠=65°，則∠=_______，∠BAD=_______；(3)若AD，，則=_______，AB=_______；(4)線段、、、之間的關系是_________________________．【答案】(1)見解析(2)

95°

65°(4)===；【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C，D的對應點，，，即可；（2）利用平移變換的性質(zhì)知對應角相等即可求解；（3）利用平移變換的性質(zhì)知對應邊相等即可求解；（4）根據(jù)平移變換的性質(zhì)即可求解．（1）解：如圖，四邊形即為所求；；（2）解：若∠DCB=95°，∠=65°，則∠=95°，∠BAD=65°；故答案為：95°，65°；（3）解：若AD，，則，AB；故答案為：，；（4）解：線段、、、之間的關系是：===；．【點睛】本題考查了平移變換的性質(zhì)．平移的性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行且相等．平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向（平移前后的兩個圖形是全等形）．13．（2022秋·福建廈門·七年級?？茧A段練習）按要求作圖(1)在圖1中過A點畫直線l的垂線段，垂足為點D．(2)在圖2中畫出△ABC平移后的圖形△，使點A運動到點A'．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂線段的定義畫出圖形即可．（2）利用平移變換的性質(zhì)分別作出B，C的對應點B′，C′即可．（1）解：如圖1，線段AD即為所求作．（2）解：如圖2，△A′B′C′即為所求作．【點睛】本題考查作圖﹣平移變換、垂線段的定義等知識，解題的關鍵是理解并靈活應用相關概念．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2021春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期中）可以用來說明命題“若，則”是假命題的反例是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】找到一對滿足，但不滿足的、的值即可．【詳解】解：，滿足，但不滿足,故當，時符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理，解題的關鍵是了解相等或互為相反數(shù)的兩數(shù)的平方相等．2．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，若圖形A經(jīng)過平移與下方圖形陰影部分拼成一個長方形，則平移方式可以是（

）A．向右平移4個格，再向下平移4個格B．向右平移6個格，再向下平移5個格C．向右平移4個格，再向下平移3個格D．向右平移5個格，再向下平移4個格【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)、結合圖形解答即可．【詳解】解：圖形A向右平移個格，再向下平移個格可以與下方圖形陰影部分拼成一個長方形，故選：．【點睛】本題考查的是平移的性質(zhì)，把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．3．（2022·河南安陽·模擬預測）如圖，生活中，將一個寬度相等的紙條按圖所示折疊一下，如果，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)進行求解即可；【詳解】如圖，將一個寬度相等的紙條按右圖所示折疊，，，，，，，．故選：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準確結合已知條件進行計算是解題的關鍵．4．（2022春·八年級單元測試）如圖，，直線交于點，交于點，平分，交于點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得的度數(shù)，又由平分，求得的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，平分，，，故選：C．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，注意掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補與兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應用．5．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）如圖：按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點B作長方形邊的平行線，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出，再解答即可．【詳解】解：過點B作，∵，∴，∴，即，∵，，∴的度數(shù)為．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，此題的關鍵是加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．6．（2022秋·河北邢臺·七年級校考期末）如圖，點，分別在直線，上，點，在兩直線之間，線段與相交于點，且有，．三人說法如下：甲：；乙：；丙：．下列判斷正確的是（

）A．甲錯，乙對 B．甲對，乙錯 C．甲對，丙對 D．乙對，丙錯【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判斷即可求解答案．【詳解】解：∵，∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），∴甲說的對；∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵，∴（等量代換），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴乙說的對；∵不能確定與，與的關系，∴條件不足，無法證明，∴丙說的錯誤．即甲對、乙對、丙錯，故選：D．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判斷，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判斷是解題的關鍵．二、填空題（每題3分）7．（2022春·八年級單元測試）在同一平面內(nèi)，直線、、中，若，，則、的位置關系是__．【答案】##【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：如圖所示：同一平面內(nèi)，已知直線a、b、c，且，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平行公理及其推論，即若兩條平行線中的一條垂直于另一條直線，那么另一條也垂直于這條直線．8．（2022秋·陜西渭南·七年級統(tǒng)考階段練習）將命題“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行”改寫為“如果……，那么……”的形式為__________________________________________．【答案】如果在同一平面內(nèi)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行【分析】命題由題設和結論兩部分組成，通常寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．【詳解】解：命題可以改寫為：如果在同一平面內(nèi)兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行．故答案為：如果在同一平面內(nèi)兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行．【點睛】本題考查命題的題設和結論，解題的關鍵是掌握任何一個命題都可以寫成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接題設，“那么”后面接結論．在改寫過程中，不能簡單地把題設部分、結論部分分別寫在“如果”、“那么”后面，要適當增減詞語，保證句子通順而不改變原意．9．（2021春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校?？计谥校┤鐖D，，把三角板的直角頂點放在直線上，若，則的度數(shù)為_________【答案】35【分析】先由直角三角板得，再由直線根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：如圖：∵，∴，∵，∴，故答案為35．【點睛】題考查了學生對平行線性質(zhì)的應用，關鍵是求出．10．（2022·四川宜賓·模擬預測）有下列說法：對頂角相等；同位角相等；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；點到直線的距離即為垂線段；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行其中正確的有___________．【答案】【分析】分別利用平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)及平行公理對四個選項逐一判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：對頂角相等，故正確；只有在兩直線平行的條件下，同位角一定相等，故錯誤；在同一平面內(nèi)，過一點有且