河北省承德市第一中學2023-2024學年高三第一次模擬考試數學試卷含解析

河北省承德市第一中學2023-2024學年高三第一次模擬考試數學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．102．設集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．4．設，其中a，b是實數，則（）A．1 B．2 C． D．5．已知函數是定義域為的偶函數，且滿足，當時，，則函數在區(qū)間上零點的個數為（）A．9 B．10 C．18 D．206．設復數滿足，則（）A． B． C． D．7．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．8．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．10．大衍數列，米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和.已知該數列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數列中奇數項的通項公式為（）A． B． C． D．11．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標為，則的最小值是（）A． B． C． D．12．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中項的系數與項的系數分別為135與，則展開式所有項系數之和為______.14．已知是夾角為的兩個單位向量，若，，則與的夾角為______.15．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.16．若滿足，則目標函數的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，，，且.（1）求證：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．（12分）試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M，N．19．（12分）如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關系，并求證直線的斜率為定值.20．（12分）某市調硏機構對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調查，抽調了50名市民，他們月收入頻數分布表和對“樓市限購令”贊成人數如下表：月收入（單位：百元）頻數51055頻率0.10.20.10.1贊成人數4812521（1）若所抽調的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調查者中隨機選取2人進行追蹤調查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數學期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據表格數據，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請直接寫出你的判斷結果．21．（12分）己知函數.（1）當時，求證：；（2）若函數，求證：函數存在極小值.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，、分別為、中點．（1）求證：；（2）求二面角的大?。?/p>

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數列的基本量的求解，難度較易.已知等差數列的任意兩項的值，可通過構建和的方程組求通項公式.2、C【解析】

作出韋恩圖，數形結合，即可得出結論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關系及充要條件，注意數形結合方法的應用，屬于基礎題.3、A【解析】

本道題繪圖發(fā)現三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結合拋物線性質可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質，難度中等．4、D【解析】

根據復數相等，可得，然后根據復數模的計算，可得結果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數模的計算，考驗計算，屬基礎題.5、B【解析】

由已知可得函數f（x）的周期與對稱軸，函數F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點的個數等價于函數f（x）與g（x）圖象在上交點的個數，作出函數f（x）與g（x）的圖象如圖，數形結合即可得到答案.【詳解】函數F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點的個數等價于函數f（x）與g（x）圖象在上交點的個數，由f（x）＝f（2﹣x），得函數f（x）圖象關于x＝1對稱，∵f（x）為偶函數，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函數周期為2.又∵當x∈[0，1]時，f（x）＝x，且f（x）為偶函數，∴當x∈[﹣1，0]時，f（x）＝﹣x，g（x），作出函數f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數圖象共10個交點，即函數F（x）＝f（x）在區(qū)間上零點的個數為10.故選：B.【點睛】本題考查函數的零點與方程根的關系，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，屬于中檔題.6、D【解析】

根據復數運算，即可容易求得結果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，屬基礎題.7、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得位于，結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數形結合思想易得．8、D【解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F1（0，），F2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．9、B【解析】由題意可得c=，設右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．10、B【解析】

直接代入檢驗，排除其中三個即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時B也滿足，，，故選：B．【點睛】本題考查由數列的項選擇通項公式，解題時可代入檢驗，利用排除法求解．11、C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結合，可得，易得曲線的解析式為，結合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數性質的應用，涉及到函數的平移、函數的對稱性，考查學生數形結合、數學運算的能力，是一道中檔題.12、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎．解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、64【解析】

由題意先求得的值，再令求出展開式中所有項的系數和.【詳解】的展開式中項的系數與項的系數分別為135與，，，由兩式可組成方程組，解得或，令，求得展開式中所有的系數之和為.故答案為：64【點睛】本題考查了二項式定理，考查了賦值法求多項式展開式的系數和，屬于基礎題.14、【解析】

依題意可得，再根據求模，求數量積，最后根據夾角公式計算可得；【詳解】解：因為是夾角為的兩個單位向量所以，又，所以，，所以，因為所以；故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數量積的運算律，以及夾角的計算，屬于基礎題.15、【解析】

設，，，，由，，，根據平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數形結合求解.【詳解】設，，，，如圖所示：因為，，，所以A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數形結合的方法，屬于中檔題.16、-1【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標函數為，由圖可得，當直線過點時，直線在軸上的截距最大，由得即，則有最大值，故答案為．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據題目所給遞推關系式得到，由此證得數列為等比數列，并求得其通項公式.然后利用累加法求得數列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得數列的前項和【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數列，所以，.（2）由（1）得：，，①，②①－②可得，則即.【點睛】本小題主要考查根據遞推關系式證明等比數列，考查累加法求數列的通項公式，考查錯位相減求和法，屬于中檔題.18、y＝2sin2x．【解析】

計算MN，計算得到函數表達式.【詳解】∵M，N，∴MN，∴在矩陣MN變換下，→∴曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數解析式為y＝2sin2x．【點睛】本題考查了矩陣變換，意在考查學生的計算能力.19、（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件得到直線與的斜率直線的關系（互為相反數），然后設直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把點代入橢圓方程，求得，所以橢圓方程為；（2）由題易得直線、斜率均存在，又，所以，設直線代入橢圓方程，化簡得，其一解為，另一解為，可求，用代入得，，為定值.考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.兩點間連線的斜率20、（1），頻率分布直方圖見解析；（2）分布列見解析，；（3）來自的可能性最大．【解析】

（1）由頻率和為可知，根據求得，從而計算得到頻數，補全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖；（2）首先確定的所有可能取值，由超幾何分布概率公式可計算求得每個取值對應的概率，由此得到分布列；根據數學期望的計算公式可求得期望；（3）根據中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】（1）由頻率分布表得：，即．收入在的有名，，，，則頻率分布直方圖如下：（2）收入在中贊成人數為，不贊成人數為，可能取值為，則；；，的分布列為：．（3）來自的可能性更大．【點睛】本題考查概率與統(tǒng)計部分知識的綜合應用，涉及到頻數、頻率的計算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機變量的分布列與數學期望的求解、統(tǒng)計估計等知識；考查學生的運算和求解能力.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）求導得，由，且，得到，再利用函數在上單調遞減論證.（2）根據題意，求導，令，易知；，易知當時，，；當時，函數單調遞增，而，又，由零點存在定理得，使得，，使得，有從而得證.【詳解】（1）依題意，，因為，且，