2015北京海淀初三年級上冊期末數(shù)學(xué)（含解析）

2015年北京海淀初三期末上數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

下面各理均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.

1.方程尤2-3尤-5=0的根的情況是（）.

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定是否有實(shí)數(shù)根

2.在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,則sinA的值為（）.

3.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（）.

A.長方體

B.正方體

4.小丁去得某場電影，只剩下如圖所示的六個(gè)空座位供他選擇，座位號分別為1號、4號、6號、3號、5

號和2號.若小丁從中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到的座位號是偶數(shù)的概率是（）.

■BBBBSH

HHSBaBH

B

5.如圖，和△A4C是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若為OC的中點(diǎn)，AB=4,則44的長

為（）.//'

A.1:W

B.2/

C.4

D.8

3

6.已知點(diǎn)4（%,%）,2（%,%）是反比例函數(shù)>=――的圖象上的兩點(diǎn)，若々〈。〈馬，則下列結(jié)論正確的是

%<0<%%<0<%

%<%<°%<%<0

7.如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，ODLAC于。，過點(diǎn)。作OE〃AC交半圓O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作

EF_LAB于F.若AC=2,則CE的長為（）.

3

4

C.1D.2

AB

8.如圖1,在矩形9CD中，AB<BC,AC,33交于點(diǎn)O.點(diǎn)E為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,BE,

過E作EF_LBD于尸.設(shè)AE=x,圖1中某條線段的長為V,若表示V與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖

2所示.則這條線段可能是圖1中的().

A.線段砂C.線段CED.線段跖

二、填空題(本題共16分，每小題4分)

9.若扇形的半徑為3cm,圓心角為120。，則這個(gè)扇形的面積為

10.在某一時(shí)刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m,同時(shí)測得一棟建筑物的影長為12m,那么這棟建

筑物的高度為m.

11.如圖，拋物線丫=62與直線丫=灰+。的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-2,4),8(1,1),則關(guān)于尤的方程

ax2-法—c=0的解為?

12.對于正整數(shù)“，定義尸(〃)=：'n：?.其中/(〃)表示”的首位數(shù)字、末位數(shù)字的平方和.

例如：F(6)=62=36,F(123)=/(123)=I2+32=10.規(guī)定￡如=/(〃),4+[(〃)=尸(4("))為正整數(shù)).

例如：￡(123)=/(123)=10,瑪(123)=/(月(123))="10)=1.

(1)求：?(4)=,私小4)=;

(2)若瑪,“(4)=89,則正整數(shù)機(jī)的最小值是.

三、解答題(本題共30分，每小題5分)

13.計(jì)算:(-1嚴(yán)5+$11130。-(兀-3.14)。+(；尸.

14.如圖，"BC中，AB=AC,。是3c中點(diǎn)，8￡_14。于￡\求證：△ACD^ABCE.

(m+l)(m-1)—1

15.已知加是一元二次方程尤2-3x-2=0的實(shí)數(shù)根.求代數(shù)式的值.

m

16.拋物線y=2f平移后經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),8(2,3),求平移后的拋物線的表達(dá)式.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y的圖象交于A,3兩點(diǎn)，A點(diǎn)

X

的橫坐標(biāo)為2,AC，x軸于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

k

(2)若點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=*圖象上的一點(diǎn)，且滿足△OPC與△MC的面積相等，請直接寫出點(diǎn)尸

X

的坐標(biāo).

4

18.如圖，A4BC中，N4cB=90。，sinA=-,BC=8,。是AB中點(diǎn)，過點(diǎn)3作直線CD的垂線，垂足

為點(diǎn)E.

（1）求線段。的長；

（2）求cos/ABE的值.

四、解答題（本題共20分，每小題5分）

19.已知關(guān)于x的一元二次方程加2一（加+2）元+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X],x2.

（1）求機(jī)的取值范圍；

（2）若％<0，且%>T,求整數(shù)機(jī)的值.

X]

20.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，據(jù)調(diào)研顯示，每個(gè)檔次的日產(chǎn)量及相應(yīng)的單件利潤如下

表所示（其中尤為正整數(shù)，且IWXWIO）：

質(zhì)量檔次12X10

日產(chǎn)量（件）9590100-5%50

單件利潤（萬元）682%+424

為了便于調(diào)控，此工廠每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品.當(dāng)生產(chǎn)質(zhì)量檔次為x的產(chǎn)品時(shí)，當(dāng)天的利潤為y萬

兀.

（1）求》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）工廠為獲得最大利潤，應(yīng)選擇生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品？并求出當(dāng)天利潤的最大值.

21.如圖，四邊形MCD是平行四邊形，點(diǎn)A,B,C在。O上，與。O相切.射線AO交3c于點(diǎn)E,

交。O于點(diǎn)尸.點(diǎn)尸在射線AO上，且NPCB=2NBAF.

(1)求證：直線PC是。O的切線；

(2)若AB=Jid，AD=2,求線段PC的長.

22.閱讀下面材料：

小明觀察一個(gè)由1x1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是

1.他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問題：對于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)

陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角的正切值.

請回答：

(1)如圖1是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)。，作出線段CD,使得CDLAB；

(2)如圖2,線段AB與CD交于點(diǎn)O.為了求出44OD的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E,連接AE,

恰好滿足于點(diǎn)F,再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠

使問題得到解決.

請你幫小明計(jì)算：OC=；tanZAOD=；

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,計(jì)算：tanZAOD=

五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25小題8分)

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=幺的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,4),

X

(1)求代數(shù)式的值；

(2)若二次函數(shù)y=(x-l)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)3,求代數(shù)式/〃一2療〃+3%〃-4〃的值；

k

(3)若反比例函數(shù)y=勺的圖象與二次函數(shù)y=a(x-l)2的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在直線丁=”的

X

下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求〃的取值范圍.

-5-4

-4

-5

24.如圖1,在△ABC中，BC=4,以線段AB為邊作△"￡>,使得=連接DC,再以DC為邊

作使得0c=￡>E,ZCDE=ZADB=a.

(1)如圖2,當(dāng)Z4BC=45。且c=90。時(shí)，用等式表示線段AD,DE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF,連接所，AF.

①若夕=90。，依題意補(bǔ)全圖3,求線段AF的長；

②請直接寫出線段AF的長(用含1的式子表示).

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)尸@,乂），。（9，力）是圖形W上的任意兩點(diǎn).定義圖形w的測度面積:

若|士-4的最大值為回一%|的最大值為九，則5=〃附為圖形W的測度面積.例如.若圖形W是

半徑為1的。O.當(dāng)尸，。分別是。。與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖1,司取得最大值，且極大值加=2；

當(dāng)P,。分別是。。與，軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖2,他-必|取得最大值，且最大值"=2.則圖形W的測度

面積S—mn=4.

（1）若圖形W是等腰直角三角形ABO,

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)A,3在坐標(biāo)軸上時(shí)，它的測度面積S=

②如圖4,當(dāng)軸時(shí)，它的測度面積S=；

（2）若圖形W是一個(gè)邊長為1的正方形ABCD,則此圖形的測度面積S的最大值為

（3）若圖形W是一個(gè)邊長分別為3和4的矩形ABCD,求它的測度面積S的取值范圍.

圖3圖4

2015年北京海淀初三期末上數(shù)學(xué)試卷答案

一、選擇題(本題共32分，每小題4分)

題號12345678

答案AADCBBCB

二、填空題(本題共16分，每小題4分)

9.3兀；10.24；

11.玉二—2,馬=1；12.(1)37,26；(2)6

三、解答題：（本題共30分，每小題5分）

13.（本小題滿分5分）

解：原式=一1+：-1+2

2

1

~2.

14.（本小題滿分5分）

證明：VAB=AC,。是5C中點(diǎn)，

，AD±BC,

???ZADC=90°.

BELAC,

：.ZBEC=90。.

：.ZADC=ZBEC.

在△ACD和△5CE中，

jZACD=ZBCE

[ZADC=NBEC'

:.△AC4ABCE.

15.（本小題滿分5分）

解：由已知，可得小2—3%—2=0.

m2—2=3m-

.g_ix_m2-l-l_m2-2_3m

??原rTXj=--------=------==3.

mmm

16.（本小題滿分5分）

解：設(shè)平移后拋物線的表達(dá)式為y=2f+bx+c.

:平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)4。，3）,8（2,3）,

.J3=c

…i3=8+26+c'

b=-4

解得

c=3'

所以平移后拋物線的表達(dá)式為丁=2--4戈+3.

解二：?.?平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),8(2,3),

平移后的拋物線的對稱軸為直線x=l.

/.設(shè)平移后拋物線的表達(dá)式為y=2(x-丁+%.

3=2x(2-+左.

k=1.

所以平移后拋物線的表達(dá)式為y=2(x-1)2+1.

17.(本小題滿分5分)

解：(1)將x=2代入y=2x中，得y=2x2=4.

...點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4).

k

:點(diǎn)A在反比例函數(shù)y--的圖象上，

X

左=2x4=8.

Q

反比例函數(shù)的解析式為

X

(2)網(wǎng)1,8)或網(wǎng)-1,一8).

18.(本小題滿分5分)

4

解：(1);△/IBC中，ZACB=90°,sinA=g,BC=8,

AB$=J=10

5

???△ABC中，ZACB=90°,。是鉆中點(diǎn),

CD^-AB=5.

2

(2)法一：過點(diǎn)C作CFLAB于/，如圖.

zero=90°.

在RtAA5C中，由勾股定理得AC=^AB--BC2=>/102-82=6.

CFAB=ACBC,

.?_ACBC_24

AB5

?.,BELCE,

：.ZBED=90°.

?:ZBDE=ACDF,

：.ZABE=ZDCF.

24

?CFW24

,,cosZABE=cosZDCF=—=上-=—?

CD525

法二：：。是M中點(diǎn)，AB=10,

：.BD=-AB^5.

2

??S^BDC=萬^AABC?

在中，由勾股定理得47=，4笈—叱=Ji02—gz=6.

?e?S^ABC=1x6x8=24.

?S=12

??A-BDC?

：.-BECD=n.

2

,:CD=5,

24

BE=—

5

BErCE,

：./BED=90。.

24

BF

cos/ABE=——

BD525

四、解答題（本題共20分，每小題5分）

19.（本小題滿分5分）

解：（1）由已知，得"W0且A=（m+2）2-4*2機(jī)=m2一4加+4=（相一2『＞0,

；?znw0且根w2.

（2）原方程的解為x=（"+2）±（*2）.

2m

..尤=1或%=一.

m

9

：x2<0,

m<0.

V—>-1,

%

2

m>—2.

又「根wO且加w2,

—2<m<0.

???m是整數(shù)，

m=—l.

20.（本小題滿分5分）

解：（1）y=（100-5.x）（2%+4）=-1Ox2+180%+400,（1W0且了為整數(shù)）.

（2）,/y=-10x2+180x+400=-10（x-9）2+1210.

又?.?KWIO且x為整數(shù)，

.?.當(dāng)x=9時(shí),函數(shù)取得最大值1210.

答：工廠為獲得最大利潤，應(yīng)生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品，當(dāng)天的最大利潤為1210萬元.

21.（本小題滿分5分）

解：（1）連接OC.

?/4）與。。相切于點(diǎn)A,

FAA.AD.

?.?四邊形是平行四邊形，

AD//BC,

：.FA±BC.

,/E4經(jīng)過圓心O,

，P是BC的中點(diǎn)，BE=CE,NOEC=90。.

：.ZCOF=2ZBAF.

'：NPCB=2ZBAF,

：.NPCB=NCOF.

:ZOCE+ZCOF=180°-ZOEC=90°,

ZOCE+ZPCB=90°.

：.OC±PC.

:點(diǎn)c在。。上，

...直線PC是。o的切線.

（2）,四邊形ABCD是平行四邊形，

BC=AD=2.

：.BE=CE=1.

在中，ZAEB=90°,AB=J10,

AE=VAS2-BE2=3?

設(shè)。。的半徑為r,則OC=Q4=r,OE=3-r.

在RtAOCE中，ZOEC=90°,

OC2=OE-+CE2.

：.r=（3-r）2+l.

解得

VZ.COE=ZPCE,ZOEC=ZCEP=90°.

：.^OCE^^CPE.

.OEOC

^~CE~~CP'

,3-55

??3=3.

i-CP

：.CP=-.

22.(本小題滿分5分)

(1)如圖，線段CD即為所求；

(2)逑，tanZAOD=5；

5

7

(3)tanZAOZ)=-.

4

五、解答題：(本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分)

23.(本小題滿分7分)

k

解：(1)??,反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)41,4),

X

k=4.

4

???反比例函數(shù)的解析式為y=—.

x

4

??,反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(m,n),

x

；?mn=4.

(2)???二次函數(shù)y=(x-的圖象經(jīng)過點(diǎn)5(八〃),

n=(m—1)2.

11=4—2m+1.

m2—2m=〃-1?

由(1)得mn=4,

???原式=4加之—8m+12—4n

二4(m2—2m)+12—4n

二4(〃-1)+12-4〃

=8.

4

(3)由(1)得反比例函數(shù)的解析式為y=2.

令,=%，可得/=4,解得x=±2.

4

???反比例函數(shù)y=2的圖象與直線y=x交于點(diǎn)(2,2),(-2,-2).

x

當(dāng)二次函數(shù)y=〃(％-1尸的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,2)時(shí)，可得〃=2；

2

當(dāng)二次函數(shù)y=a(x-lf的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,-2)時(shí)，可得，=—§.

??,二次函數(shù)y=a(x-l)2的頂點(diǎn)為(1,0),

2

???由圖象可知，符合題意的a的取值范圍是0vav2或a<-

24.(本小題滿分7分)

(1)AD+DE=A.

(2)①補(bǔ)全圖形，如右圖所示.

解：設(shè)DE與相交于點(diǎn)“，連接AE交3C于點(diǎn)G,如圖.

ZADB=ZCDE=90°,

：.ZADE=ZBDC.

在與△BDC中，

AD=BD

?.…/ADE=ZBDC,

DE=DC

：.&ADEm公BDC.

：.AE=BC,ZAED=ZBCD.

???DE與BC相交于點(diǎn)H,ZGHE=ZDHC.

：.ZEGH=ZEDC=90°.

???線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段￡F,

:.EF=CB=4,EF//CB.

:?AE=EF.vCB//EF,AZAEF=ZEGH=90°.

vAE=EF,ZAEF=9Q°,：.ZAFE=45°.

：.AF=EF=442.

cos45°

ry

②AF=8sin—.

2

25.(本小題滿分8分)

解：⑴①1；②1.

(2)2.

(3)不妨設(shè)矩形MCD的邊AB=4,BC=3.

由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，

將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)3平移至x軸上.

當(dāng)頂點(diǎn)A,3或3,C都在龍軸上時(shí)，如圖5和圖6,

矩形/WCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時(shí)S取得最小值，且最小值為12.

當(dāng)頂點(diǎn)A,C都不在x軸上時(shí)，如圖7.

過A作直線AELx軸于點(diǎn)E,過C作直線CFLx軸于點(diǎn)廠，

過。作直線G”〃無軸，與直線AE,CF分別交于點(diǎn)”和點(diǎn)

G,則可得四邊形跳GH是矩形.

當(dāng)點(diǎn)尸，。分別與點(diǎn)A,C重合時(shí)，歸-尤2I取得最大值機(jī)，

且最大值7〃=￡F；

當(dāng)點(diǎn)尸，。分別與點(diǎn)3,。重合時(shí)，|%-%|取得最大值”，且最大值〃=GE.

，圖形W的測度面積S=跖?GF.

?/ZABC=9Q°,

???ZABE+NCBF=90。.

ZAEB=900,

：.ZABE-^-ZBAE=90°.

：.ZBAE=ZCBF.

又「ZAEB=ZBFC=90°,

：.△ABES/^BCF.

,AE_EBAB_4

**BF-FC-BC-3*

設(shè)AE=4a,EB=4b,則5月=3。，F(xiàn)C=3b,

在中，由勾股定理得A￡2+B￡2=.2.

A16?2+16Z?2=16.

即4+/=1.

VZ?>0,

??b=\ll—a2

易證△ABE之△CDG.

???CG=AE=4a.

:?EF=EB+BF=4b+3a,GF=FC+CG=3b+4a.

：.S=EFGF=(4b+3a)(3b+4a)

=12a2+12b2+25ab

=12+25adi—片

=12+25^fl2(l-?2)

tz>0,b>0,

??J/一/>Q.

5>12.

49

???當(dāng)頂點(diǎn)A,。都不在元軸上時(shí)，S的范圍為12<SW^-.

2

綜上所述，測度面積S的取值范圍是12WSW49?.

2

解法二：由可知：AAEBs^BCF,AAEBmACGD,△4?四△CFB,

ABBEAE

BC~CF~BF~3"

設(shè)AE=4a,EB=4b,則5尸=3a,FC=AH=3b,

在中，由勾股定理得鉆2+5￡2=.2.

???16片+16廿二16,

即a2+b2=\^2ab，ab^-.

2

S四邊形HEFG=（40+36）（48+3。）=12a2+25。匕+1262=12+25a^y.

49

故S的取值范圍是12WSW竺.

2

2015年北京海淀初三期末上數(shù)學(xué)試卷部分解析

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】方程三-3尤-5=0,A=32-4xlx（-5）=29＞0,故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選A.

2.【答案】A

【解析】在RtZVlBC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,sin-=—.

■AC5

故選A.

3.【答案】D

【解析】這個(gè)幾何體為圓錐.

故選D.

4.【答案】C

【解析】一共6個(gè)空格，三個(gè)偶數(shù)，三個(gè)奇數(shù)，從中隨機(jī)抽取一個(gè)，則抽到的座位號是偶數(shù)的概率是