2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)民辦上寶中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷1（含詳解）

2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.在RtAABC中，/C=90。，/A,ZB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列關(guān)系式錯(cuò)誤

的是（）

Aa=btanAB.b=ccosAC.a=csinAD.c=

b

sinA

2.如圖，分別以下列選項(xiàng)作為一個(gè)已知條件，其中不一定能得到與△C。。相似的

A.ZBAC=ZBDCB.ZABD=ZACDC.——=——D.

COBO

AO_OP

而一而

3.已知在AABC中，點(diǎn)。、E、廠分別在邊43、AC和上，5.DE//BC,DF//AC,那

么下列比例式中，正確的是（）

AECF-AEDE八DFDE八

A.----=-----B.----=-----C.-----------D.

ECFBECBCACBC

ECFC

~AC~~BC

4.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丁二小+機(jī)和函數(shù)y=-加/+2%+2（加是常數(shù)，且

mwO）的圖像可能是（）

V

5.下列關(guān)于向量的說法中，不正確的是（

A.|3a|=3|a|

B.3（a+b）=3a+3b

C.若a=k。（k為實(shí)數(shù)），則a〃b

D.若問=3忖,則a=3Z＞或a=-3匕

6.下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）

①平分弦直徑，平分這條弦所對(duì)的?。?/p>

②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)弧也相等;

③等弧所對(duì)的圓心角相等；

④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.在比例尺為1:50000的地圖上，某地區(qū)的圖上面積為20平方厘米，則實(shí)際面積為

__________平方千米.

8.如果拋物線y=-m（x+1）2-m+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,2）,那么它的開口方向

9.已知.ABC中，AB=6,AC=9,D、E分別是直線AC和AB上的點(diǎn)，若一=—

ACAB

且AD=3,則BE=

10.如圖，梯形A3CD中，AD//BC,E、尸分別是A3、CD上的點(diǎn)，旦EFIIBC,

AEBC5

――=――=-＞若AB=a，DC=b＞則向量EF可用a、b表示為______________

BEAD3

BC

11.已知在AABC中，ZC=90°,8c=8,A8=10,點(diǎn)G為重心，那么tan/GCB值為

12.如果拋物線y=（左-4）尤2+4的圖象都在了軸上方，那么左的取值范圍是.

13.如圖，已知在△A8C中，4B=3,AC=2,。是邊AB上的一點(diǎn)，ZACD=ZB,ABAC

AP

的平分線AQ與CD、BC分別相交于點(diǎn)尸和點(diǎn)Q,那么—-的值等于.

14.一個(gè)鋼球沿著坡比為1=1:3的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距離地面的高度是

______米.

15.己知圓。。的直徑為10,弦A2的長(zhǎng)度為8,M是弦4B上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)線段OM=d,則

1的取值范圍是.

2

16.已知AABC中，ZC=90°,AB=9,cosA=-,把AABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落

3

在點(diǎn)A。點(diǎn)B落在點(diǎn)Bl若點(diǎn)A，在邊AB上，則點(diǎn)B、B，的距離為.

17.如圖，四邊形A3QC中，AC=BC,NACB=90°,于點(diǎn)。.若

BD=2,CD=46，則線段A3的長(zhǎng)為.

18.如圖，在矩形ABC。中，42=4,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn),

ZADB^30°,連接所，作點(diǎn)。關(guān)于直線所的對(duì)稱點(diǎn)P.若則DP的長(zhǎng)為

BC

三.解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.已知拋物線y=^+mx+3的對(duì)稱軸為尤=-2.

（1）求m的值；

（2）如果將此拋物線向右平移〃個(gè)單位后，新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6,8）,求新拋物線與y

軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

2

20.如圖，已知人〃/2,點(diǎn)A、G、B、C分別在人和〃上，AF^-AB.

（1）若AB=a，AC＞用向量a與Z?表示4G;

（2）在圖中作出。/在A3、AC上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并

寫明結(jié)論）

21.政府將要在某學(xué)校大樓前修一座大橋.如圖，宋老師測(cè)得大樓的高是20米，大樓的底

部D處與將要修的大橋2C位于同一水平線上，宋老師又上到樓頂A處測(cè)得B和C的俯角

ZEAB,NE4C分另U為67。和22。，宋老師說現(xiàn)在我能算出將要修的大橋8C的長(zhǎng)了.同

學(xué)們：你知道宋老師是怎么算的嗎？請(qǐng)寫出計(jì)算過程（結(jié)果精確到01米）.其中

175123152

sin67°?一,cos67°?一，tan67°?一,sin22°心一，cos22°=一,tan22°^—

131358165

22.如圖，在RtA48C中，點(diǎn)尸為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△A8P沿直線AP折疊，使得點(diǎn)8

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8',聯(lián)結(jié)AS',CB',BB',PB',BB，與AP交于點(diǎn)E,P斤與AC交于點(diǎn)D

（圖1）（圖2）

（1）如圖1,若AP=PC,BC=6,cosZABC=-,求C8的長(zhǎng);

3

B，D

（2）如圖2,若A8=AC,BP=3PC,求——的值.

AD

23.將一個(gè)矩形A8CO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),得到矩形AQC。，連接

（圖1）(圖2)

(1)如圖1,當(dāng)ct=90。時(shí)，點(diǎn)C，恰好在。8延長(zhǎng)線上.求證：點(diǎn)B是線段。。的黃金分割

點(diǎn);

(2)如圖2,連接AC,過點(diǎn)。作。M〃AC交瓦)于點(diǎn)射線DB分別交A。，AC于

點(diǎn)P,N.求證：MN^PNRN.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=爐+樂+<:經(jīng)過A(0,-1),B(4,1).直線

AB交x軸于點(diǎn)C,尸是直線48下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作PDLA2,垂足為

D,尸E〃x軸，交直線A8于點(diǎn)E.

(ffll)(圖2)

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,在拋物線上有一點(diǎn)尸，使得求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)△POE的周長(zhǎng)為史S+8時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5

25.如圖，在菱形A8CQ中，/A8C是銳角，E是BC邊上動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)R

(1)當(dāng)AE_LBC,時(shí)，連接B。，EF,

①求證：ACEFs4CBD；

G#EF_2SA/尸

②右=一，求弋的值；

BD53菱形ABC。

j_

(2)當(dāng)/EA尸=2時(shí)，延長(zhǎng)BC交射線AF于點(diǎn)M,延長(zhǎng)。C交射線AE于點(diǎn)N,聯(lián)

結(jié)AG,MN,若AB=4,AC=2,當(dāng)△AMN是等腰三角形，求CE的長(zhǎng).

2021-2022學(xué)年上海市閔行區(qū)上寶中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.在RtAABC中，/C=90。，/A,ZB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列關(guān)系式錯(cuò)誤

的是（）

A.a=btanAB.b=ccosAC.a=csinAD.c=

b

sinA

【答案】D

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得：tanA=—,cosA=-,sinA=-,所以a=btan

bcc

A,b=ccosA,a=csinA,c——-一.所以，選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

sinA

故選D.

2.如圖，分別以下列選項(xiàng)作為一個(gè)已知條件，其中不一定能得到△AOB與△CQD相似的

A.ZBAC=ZBDCB.ZABD=ZACDC.——=——D.

COBO

AO_OP

而一而

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：由題意得：ZAOB=ZCOD,

A、,/ZBAC=ZBDC,ZAOB=ZCOD,

：.△AOB^LDOC,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、VZABD=ZACD,ZAOB=ZCOD,

：.ABOA^ACOD,故此選項(xiàng)不符合題意;

AODO

C、-----=------,NAO_D=N_BOC,

COBO

.,.△AODsMOB,并不能證明AAOB與△COD相似，故此選項(xiàng)符合題意;

AOOD

D、----=-----,NAOB=NCOD,

OBCO

:.xAOBsXDOC,故此選項(xiàng)不符合題意;

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

3.已知在AABC中，點(diǎn)。、E、尸分別在邊A3、AC和上，MDE//BC,DF//AC,那

么下列比例式中，正確的是（）

,AECFrAEDE八DFDE、

A.---=---B.---=---C.---=----D.

ECFBECBCACBC

EC_FC

~AC~~BC

【答案】D

【分析】根據(jù)題意證明AADES^ABC,ABDF^ABAC,結(jié)合平行線的性質(zhì)列出比例式,

比較、分析、判斷即可解決問題.

【詳解】解:-：DE//BC,DF//AC,

KADEsAABC,ABDF^ABAC,

.ADDEDFBDAD_AEBFBD

'AB~BC"AC~AB'BD~EC"FC~AD

*_D___F_w__D___E__A__E__w__B__F_____A__D__w__D___E_

ACBC'ECFC'BDBC'

故選:D.

【點(diǎn)睛】考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

4.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丁=，冗v+m和函數(shù)y=-m2+2X+2（加是常數(shù)，且

加力0）的圖像可能是（）

y

【答案】D

【分析】分機(jī)〉0及小〈。兩種情況考慮兩函數(shù)的圖象，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A、由函數(shù)產(chǎn)煙+機(jī)圖象可知機(jī)<0,即函數(shù)產(chǎn)-皿2+2X+2開口方向朝上，

與圖象不符，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

-b21

B、由函數(shù)的圖象可知根V0,對(duì)稱軸為x=-—=-------二一<0,則對(duì)稱軸應(yīng)在y

2a—2mm

軸左側(cè)，與圖象不符，故3選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、由函數(shù)產(chǎn)mx+機(jī)的圖象可知相>0,即函數(shù)產(chǎn)-g2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，

故。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、由函數(shù)產(chǎn)nu+機(jī)的圖象可知相<0,即函數(shù)產(chǎn)-的2+2X+2開口方向朝上，對(duì)稱軸為m-

b21

——=-——=—<0,則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象相符，故。選項(xiàng)正確；

2a—2mm

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限的問題，關(guān)鍵是根的正負(fù)

的確定，對(duì)于二次函數(shù)產(chǎn)當(dāng)〃>0時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下.對(duì)稱

I）一

軸為x=--,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,C）.

2a

5.下列關(guān)于向量的說法中，不正確的是（）

A.|3a|=3|a|

B.3（a+b）=3a+3b

C.若。=。（k為實(shí)數(shù)），則々〃b

D.若同=3卜,則a=3。或a=-3匕

【答案】D

【詳解】根據(jù)平面向量的性質(zhì)分別進(jìn)行解答，即可判斷出正確答案.

解：A、根據(jù)數(shù)與向量的乘積的模等于該數(shù)與向量的模的乘積，即|34=3同，故本選項(xiàng)正

確；

B、根據(jù)數(shù)與向量和的乘積等于該數(shù)與各個(gè)向量乘積的和，即3（a+b）=3a+3b,故本選

項(xiàng)正確;

c、若。=]^（k為實(shí)數(shù)），可得。與的方向相同或相反，均有。〃匕，故本選項(xiàng)正確；

D、向量既有大小又有方向，假如a,匕且同=3網(wǎng)，則aw3b或且aw-3Z?，故本選項(xiàng)錯(cuò)

'□

樂；

故選D.

6.下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）

①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的?。?/p>

②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等；

③等弧所對(duì)的圓心角相等；

④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)垂徑定理，圓的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧，說法錯(cuò)誤；

②在等圓中，如果弦相等，但它們所對(duì)的弧不一定相等，說法錯(cuò)誤；

③等弧所對(duì)的圓心角相等，說法正確；

④過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，說法錯(cuò)誤

綜上所述，正確的說法有1個(gè).

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓的基本性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，圓的基本性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.在比例尺為1:50000的地圖上，某地區(qū)的圖上面積為20平方厘米，則實(shí)際面積為

__________平方千米.

【答案】5

【分析】根據(jù)比例尺即可求出圖上面積與實(shí)際面積之比，從而求出實(shí)際面積.

【詳解】解：：比例尺為1:50000

圖上面積與實(shí)際面積的比為

實(shí)際面積為204------------------=50000000000（平方厘米）

2500000000

50000000000平方厘米=5平方千米

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】此題考查的是比例尺，掌握?qǐng)D上面積與實(shí)際面積之比等于比例尺的平方是解題關(guān)

鍵.

8.如果拋物線y=-m(x+1)2-m+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),那么它的開口方向

【答案】向上

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出機(jī)的值，即可得到答案.

【詳解】解：：拋物線y=—初(％+1)2—機(jī)+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),

??一1=2,

/.m=—1,

.,?拋物線解析式為y=(x+1)2+2,

，拋物線的開口向上，

故答案為：向上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意

求出m的值.

ADAF

9.已知，ABC中，AB=6,AC=9,D、E分別是直線AC和AB上的點(diǎn)，若一=——

ACAB

且AD=3,則BE=一.

【答案】4或8

【分析】通過比例式，可以確定AE的長(zhǎng)度，點(diǎn)E是直線AB上的點(diǎn)，沒有限定E的位

置，只限定AE的長(zhǎng)度，以點(diǎn)A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)是點(diǎn)E位置，

有兩個(gè)，要分類求即可.

【詳解】如圖

ADAE

VAB=6,AC=9,AD=3,——=——，

ACAB

AD-AB_3x6

.*.AE==2,

AC9~

當(dāng)E在AB上，

.?.BE=AB-AE=6-2=4,

當(dāng)E在AB延長(zhǎng)線上，

BE=AB+AE=6+2=8,

則BE的長(zhǎng)為4或8.

故答案為：4或8.

【點(diǎn)睛】本題考查比例式下的線段問題，用比例求出的線段只限定長(zhǎng)度，要考慮線段的位

置，要會(huì)分類計(jì)算是解題關(guān)鍵.

10.如圖，梯形A3CD中，AD//BC,E、E分別是A3、CD上點(diǎn)，豆EFHBC,

AEBC5

而=而=＞若AB=a，DC=b，則向量即可用a、b表示為一

【答案】—b-----a

88

【分析】過點(diǎn)A作AH〃C。交EF于點(diǎn)G,交BC于H,可得AD=GF=CH,然后用BH表

AFAFFG

示出CH,再求出——，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得——=——，再用BH表示出

ABABBH

EG、EF,根據(jù)向量的三角形法則求出BH,即可得解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AH7/C。交EF于點(diǎn)G,交BC于H

AD//BC,EF//BC

四邊形ADFG、GFCH、ADCH均為平行四邊形

:.AD=GF=CH

AEBC5

BE~AD~3

AE5

BC=-AD,

3~AB8

52

:.BH=BC-CH=-AD-AD=-AD

33

3

:.CH=-BH

2

QEF//BC

AEGABH

.AE_5_EG

"AB~8~BH

5317

:.EF=EG+GF=-BH+-BH=—BH

828

右AB=a，DC=b

則①/=AH-AB=b-a

-17--

:,EF=—(b-a)

17

故答案為：—(Jb—a).

8

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量、梯形、平行四邊形與相似三角形相結(jié)合，關(guān)鍵在于作平行

線表示出BH,熟記向量的平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵.

11.已知在△ABC中，ZC=90°,BC=8,AB=10,點(diǎn)G為重心，那么tanNGCB的值為

3

【答案】-##0.75

4

【分析】連接CG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，根據(jù)重心的定義可知CD是放△ABC的中線，求

出C。、3。的長(zhǎng)度，過點(diǎn)。作DEL2c于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)及三角形

中位線的性質(zhì)可求得CE、OE的長(zhǎng)度，從而由正切的定義即可求得結(jié)果.

【詳解】連接CG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，則由重心的定義可知CD是放△ABC的中線

...點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)

??ZACB=90°

：.BD=CD

在RdABC中，AB=10,BC=8,由勾股定理得：AC=7AB2-BC2=V102-82=6

過點(diǎn)D作DELBC于點(diǎn)E,則E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)

/.CE=-BC=4,是放△ABC的中位線

2

：.DE=-AC=-x6=3

22

DF3

在MZXOEC中，tanZGCB=——=-

CE4

3

故答案為：一

4

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的中位線定理等知識(shí),

掌握三角形的重心是三邊中線的交點(diǎn)，并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是關(guān)鍵.

12.如果拋物線y=（%-4）N+4的圖象都在天軸上方，那么上的取值范圍是.

【答案】k＞4

【分析】根據(jù)拋物線y=（左-4）無2+4的圖象都在％軸上方，得到拋物線的開口向上，且拋

1-4＞0

物線與x軸沒有交點(diǎn)，則（0_4左（左—4）＜0，由此求解即可.

【詳解】解：：拋物線＞=*-4）N+上的圖者口在％軸上方，

，拋物線的開口向上，且拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，

%-4〉0

0—4左（0-4）＜0

解得左＞4,

故答案為：女＞4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，熟知二次函

數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，已知在△ABC中，AB=3,AC=2,。是邊AB上的一點(diǎn)，ZACD=ZB,ABAC

AP

的平分線AQ與C。、BC分別相交于點(diǎn)尸和點(diǎn)Q，那么7萬的值等于

A

ABAC32

【分析】先證△ABCs△AC。，得到——=——，即—=——，ZACB=ZADP,則

ACAD2AD

4APAD2

AD=—,再證△AOPS/WCQ,即可得到7^=7^=..

3A。AC3

【詳解】解：VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,

ABC^AACZ),

ABAC32,

----=----,即an一=,NACB=NAD尸

ACAD2AD

又平分NA4C,

ZDAP=ZCAQ,

/.△AOP^AACQ,

.AP_AD_2

,?而一就一§，

2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知相似三角形的

性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

14.一個(gè)鋼球沿著坡比為1=1:3的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距離地面的高度是

_______米.

【答案】叵

2

【分析】可根據(jù)坡比設(shè)出坡面的鉛直高度和水平高度，然后根據(jù)勾股定理列方程求解即

可.

【詳解】

如圖，在Rtz^ACB中,

ZC=90°,i=—=~,AB=5

AB3

設(shè)5C=x,則AC=3尤

根據(jù)勾股定理得：/+（3x）2=52

解得：x=?（負(fù)值舍去）.

2

故答案為：叵

2

【點(diǎn)睛】本題主要考察對(duì)坡度坡角的掌握及勾股定理的運(yùn)用，掌握坡比的概念是解題的關(guān)

鍵.

15.已知圓0O的直徑為10,弦A8的長(zhǎng)度為8,M是弦A8上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)線段。加=”,則

d的取值范圍是.

【答案】3<d<5

【分析】首先過點(diǎn)。作OC,A3于點(diǎn)C,連接04根據(jù)垂徑定理求得AC的長(zhǎng)，又由

直徑為10得OA的長(zhǎng)，然后在Rt^AOC中利用勾股定理可求得OC的長(zhǎng)，繼而得到線段

。加的取值范圍.

【詳解】

過點(diǎn)。作OC_LA5于點(diǎn)C,連接04

AC=-AB

2

AB=8

.-.AC=4

。。的直徑為10

:.OA=5

在用AAOC中,

OC=Si-AC。=J52-42=3

當(dāng)〃與A或B重合時(shí)，OM最長(zhǎng)為5；當(dāng)M與C重合時(shí)，最短為3

d的取值范圍是3W2W5

故答案為：3W2W5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是

解決本題的關(guān)鍵.

2

16.已知AABC中，ZC=90°,AB=9,cosA=-,把AABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落

3

在點(diǎn)A，，點(diǎn)B落在點(diǎn)Bl若點(diǎn)A，在邊AB卜.，則點(diǎn)B、B，的距離為.

【答案】475

【分析】過點(diǎn)C作CHXAB于H,利用解直角三角形的知識(shí)，分別求出AH、AC、BC的

值，進(jìn)而利用三線合一的性質(zhì)得出AA，的值，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判定△ACA's^BCB，，

繼而利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得出BB，的值.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CHLAB于H,

AC=AB?cosA=6,BC=3y/5，

在R3ACH中，AC=6,cosA=—,

3

AH=AC?cosA=4,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AC=AC,BC=B，C,

???△ACA，是等腰三角形，因此H也是AA，中點(diǎn)，

???AA三2AH=8,

又???/kBCB，和AACA，都為等腰三角形，且頂角NACA，和NBCB，都是旋轉(zhuǎn)角,

.?.ZACA^ZBCB1,

???△ACA'sABCB',

.AC_AA6J_

..法=加即g3番=一所

解得：BB，=4占.

故答案為4石.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三

角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出△ACA，s/iBCB；

17.如圖，四邊形A3DC中，AC^BC,NACB=90°,于點(diǎn)￡).若

BD=2,CD=40，則線段A3的長(zhǎng)為.

【答案】2而

【分析】設(shè)AT)、5C交于點(diǎn)F,過C作CELAZ),用△CMS2\BZ小求出

CF、BF,即求出BC的長(zhǎng)，又因?yàn)锳C=3C,NACB=90°從而求得A8.

【詳解】如圖，設(shè)AO、BC交于點(diǎn)F,過C作CELA。，

ZACB=90°AD±BD

:.A,B、C,。在以A3為直徑的圓上

AC=BC,ZACB=90°

:.ZABC=45°

AC^AC

ZADC=ZABC=45°

CD=4近

CE=ED=4

AD±BD,CEYAD

BD//CE

△CEFsABDF

DFBD_2

EF~CE~4^2

DF_1

DF+EF~3

:.DF=-,EF=-

33

在HfCEF和RNBDF中

CF=VCE2+EF2=J42+(|)2=

BF=飛DF?+BD?=^(1)2+22=

.-.BC=CF+BF=^1+^1=2713

33

AC=BC,ZACB=90°

AB=2726

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的直徑所對(duì)的圓周角為90。，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形

的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題能找到NAOC=NA5C=45°是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在矩形A8CD中，AB=4,點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是對(duì)角線8。上一動(dòng)點(diǎn)，

ZADB=30°,連接EF,作點(diǎn)。關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P.若PELBD,則。P的長(zhǎng)為

BC

【答案】2或6##6或2

【分析】先求出AD=4G，從而求出AE=2JJ,然后分兩種情況：當(dāng)尸點(diǎn)在8。的下

方和P點(diǎn)在BO的上方，進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：：四邊形A3C。是矩形，

，ZA=90°,

又：A8=4,ZADB=30°,

：.BD=2.AB=8,

AD=ylBD2-AB2=4A/3，

是A。的中點(diǎn)，

：.AE=ED=-AD=2s/3

2

如圖1所示，設(shè)PE與BD交于點(diǎn)Q

?：PE±BD,ZEDQ=3Q°,

：.ZPED=6Q°,QE=3ED=6

是。關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)，

垂直平分PD

ZDEF=ZPEF=ZEDF=30°,

：.EF=DF,QF=^EF,

?：QE2+QF~=EF2,

3+-EF2=EF2,

4

?*.EF=DF=2；

同理可求出QE=；ED=6，由對(duì)稱性可知，PF=DF,PE=DE,

'：PQ±DF,

/PQD=90°,

DQ=^DE^-EQ1=3

又；NQOE=30°,

/.ZDEQ=60°,

：.ZEPD+ZEDP=60°,

：.ZEDP=ZEPD=30°,

：.ZPDQ=60°,

；.△尸即是等邊三角形，

：.DF=2DQ=6,

故答案為：2或6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，熟知相關(guān)知識(shí)利用分類討論的思想求解是解題的

關(guān)鍵.

三.解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.已知拋物線y=x2+mx+3的對(duì)稱軸為x=-2.

(1)求機(jī)的值；

(2)如果將此拋物線向右平移”個(gè)單位后，新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(6,8),求新拋物線與y

軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)m=4

(2)(0,8)或(0,80)

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸尤=-9=-2進(jìn)行求相的值即可；

2a2

(2)利用(1)的結(jié)果求得該拋物線的解析式，然后根據(jù)“左加右減”的原則求得平移后

的拋物線的解析式，然后代入坐標(biāo)(6,8)求解即可.

【小問1詳解】

hrrj

解：由題意得》=——=——=-2,

2a2

m=4；

【小問2詳解】

解:由（1）知,m=4,

...此拋物線的表達(dá)式為>=尤2+4彳+3=（尤+2）2-1.

:向右平移”個(gè)單位后，所得拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)G+2-〃）2-1,

;新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6,8）,

，8=（6+2-

.??（8-4=9,

解得〃=5或〃=11,

???新的拋物線解析為y=（x+2—5）2—1=（%—3）2—1或

J=（X+2-11）2-1=（X-9）2-1,

；?令x=0,解得y=8或y=80,

新的拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0,8）或（0,80）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)對(duì)稱

軸公式，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2

20.如圖，已知/1〃亂點(diǎn)A、G、B、C分別在人和〃上，AF^-AB.

（1）若AB=a，AC=b>用向量a與8表示AG;

（2）在圖中作出。/在A3、AC上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并

寫明結(jié)論）

22

【答案】（1）—a—b

33

（2）見解析

UUIUUUIUUUU11

分析】（1）先求出BC=AC_A3=〃—a，然后證明△APGS/XBFC,得到

ApA(Z23

—=—,由AF=—AB,得到BE=—AB,由此即可得到答案；

BFBC55

(2)根據(jù)分向量的作圖方法求解即可.

【小問1詳解】

解：AC^b>

UUIUUUIUUUU11

BC=AC—AB=b—a，

?：li//h,

:.xAFGs叢BFC,

.AF_AG

??一,

BFBC

2

\"AF=-AB,

5

3

：.BF=-AB,

5

.AFAG_2

"BF~BC~3'

tun2uun2r2r

，AG=——BC=-a——b；

333

【小問2詳解】

解如圖所示，分別過點(diǎn)尸作BN〃AC,過點(diǎn)C作CM〃AB,交EN與點(diǎn)P,則CN，C4分

別是。下在AC、A3上的分向量.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的計(jì)算和分向量的作圖，相似三角形的性質(zhì)與判定條件，熟

知向量的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

21.政府將要在某學(xué)校大樓前修一座大橋.如圖，宋老師測(cè)得大樓的高是20米，大樓的底

部D處與將要修的大橋BC位于同一水平線上，宋老師又上到樓頂A處測(cè)得B和C的俯角

ZEAB,NE4c分別為67。和22°，宋老師說現(xiàn)在我能算出將要修的大橋BC的長(zhǎng)了.同

學(xué)們：你知道宋老師是怎么算的嗎？請(qǐng)寫出計(jì)算過程（結(jié)果精確到01米）.其中

125123152

sin67°?一,cos67°?一，tan67°?一，sin22°心一，cos22°=一,tan22°^-

131358165

【分析】根據(jù)確定乙4題》=67。，ZACD=22°,利用正切函數(shù)求得DC的長(zhǎng)度

即可求解.

【詳解】如圖，

/.ZABD=61°,ZACD=22°,

:tan/ABD=-----,tan/ACD=------,

DBDC

2020

——25——

.,.DB=12=—,DC-2=50,

——3-

55

25

/.BC=DC-DB=50--=41.7（米）.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了俯角的意義，解直角三角形，準(zhǔn)確理解俯角的意義，熟練運(yùn)用三角函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在RtaABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線AP折疊，使得點(diǎn)2

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為2',聯(lián)結(jié)AB',CB',BB',PB',BB與AP交于點(diǎn)E,PB與AC交于點(diǎn)D

（圖1）（圖2）

（1）如圖1,若AP=PC,BC=6,cosZABC=-,求CB'的長(zhǎng);

3

（2）如圖2,若AB=AC,BP=3PC,求——的值.

AD

14

【答案】（1）—

3

力BD572

AD8

【分析】(1)先由AP=PC證明點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，然后借助cos/ABC的值和BC=6求

得PB=Ri=PC=3,AB=2,再借助折疊的性質(zhì)求得P8'=P8、ZAPB'=ZAPB,進(jìn)而利

用勾股定理求得尸E的長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作尸”，6c于點(diǎn)H,構(gòu)造△CPHgAPBE,最后利用

等腰三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)度；

(2)先設(shè)AB=AC=4〃，進(jìn)而利用勾股定理和2P=3CP得到2C、PC、尸8的長(zhǎng)，然后利

用折疊得到NPB'A=NPC。，PB=PB',然后得證△OCPs△。8A,再設(shè)。。=〃，PD=

m,再利用相似三角形的性質(zhì)得到相與〃的值，進(jìn)而得到笈D和AD的長(zhǎng)，最后得到結(jié)

果.

【小問1詳解】

解:(1)'：AP=PC,

：.ZPCA=ZPAC,

VZBAC=90°,

ZACP=90°-Z.PBA,ZPAC=9O°-ZPAB,

：.ZPAB=ZPBA,

：.PA=PB=PC,

點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，

1

VBC=6,cosZABC=

3

1

：.PC=PB=PA=3,AB=BCXcosZABC=6X-=2,

3

由折疊得，PB,=PB=PC,APIB'B,ZAPB=ZAPB',

設(shè)AE=x,貝ijPE=PA-AE=3-尤，

在RSBE中,BP^PB--PE2,

在MA4BE中，BE^=AB2-AE2,

：.AB2-A^PB2-PE2,即22-x2=32-(3-x)2,

2

解得：R=j，

7

：.PE=

3

過點(diǎn)尸作PH_L8C于點(diǎn)"，則NPHC=N8石尸=90°，

???點(diǎn)”是8C的中點(diǎn)，/CPH=NB，PH,

VZAPB=ZAPB\ZAPB+ZAPB'+ZCPH+ZBTH=180°,

AZCPH+ZAPB=90°,

VZAPB^ZPBE=90°,

：.ZCPH=ZPBE,

又?；BP=PC,/PHC=/BEP,

AACPH^APBE(A4S),

7

：.CH=PE=-,

3

7

：?B'H=一,

3

7714

；?B'C=CH+B'H=—+—=—.

333

【小問2詳解】

設(shè)AB=AC=4a,則BC==4形〃，

,:BP=3CP,

CP=也a,,BP=30^,,

由折疊得，ZAB1P=ZABP=45°,PB'=PB=3?a,,AB=AB=4a,

ZAB'D=ZPCD,

,.?ZB'DA=ZCDP,

：.AB'DA^ACDP,

.CP_BD_AD

―^Br~~CD~^D，

設(shè)CZ）=〃，PD=m,貝!JAD=4Q-〃，B'D=3y[2a-m,,

.y/2a3y[2a-m4a-n

??----------------------,

4anm

鏟俎167220

77

.A-51672_50,n=8

777

5V|

.B'D_^Ta

,?~AD~~8—一丁,,

一a

7

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三

角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)得到相關(guān)的線段和角相等.

23.將一個(gè)矩形A8CO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),得到矩形AQCTJ,連接8D

（圖1）(圖2)

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)。恰好在。8延長(zhǎng)線上.求證：點(diǎn)2是線段的黃金分割

點(diǎn);

(2)如圖2,連接AC,過點(diǎn)。作。AC交8。于點(diǎn)M,射線。8分別交A。，，AC于

點(diǎn)、P,N.求證：M^P=PN-DN.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】（1）如圖1,設(shè)A8=l,BC=x,則AZ）'=AD=5C=x,

C'D'=AB'=AB=1,BD'=AD'-AB=x-l,然后證明△ABDsAiNZXBC',得到

BD'CD'BC

——,即nn

ABADBD

解得X=或x=(舍去)，則OC=±zl=避二1,即可得到點(diǎn)8是線段

22BD12

OC'的黃金分割點(diǎn)；

(2)如圖2所示，連接DD',連接AM,先證明NA￡)'W=NO'AC',然后證明

AAC'D'^ADBA,得到ND'AC=NADS,則NAD8=NAZX0；推出

ZMDD二ZMD'D，得到￡>'"=￡)",即可證明△ADfM且△ADM，得到

ZMAD=ZMAD'，即可推出NAMN=N24M,得到M4=M0,證明△ANPS^ONA,

PNAN

得到F=K7，則AN。=PN-DN，MN2=PN-DN-

ANDN

【小問1詳解】

解：如圖1,設(shè)AB=1,BC=x,

V矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形ABCD.

...點(diǎn)A、B、0c三點(diǎn)共線，

AAD'=AD=BC=x,CD'=AB'=AB=1,

：.BD'=AD'-AB=x-l,

:點(diǎn)C恰好在。B延長(zhǎng)線上，

ZABD=ZD'BC,

又,：ZBAD=ZBD，C',

：.AABD^AND'BC',

BD'CD'BCx-11

----=-----=----,即m-----=—,

ABADBDlx

x2-x-1=0>

解得X=叵或X=匕立(舍去)，

22

.BC_x-1y/5-1

"BD~12，

點(diǎn)8是線段DC的黃金分割點(diǎn)；

【小問2詳解】

解：如圖2所示，連接QCT,連接AM,

?/D'M//AC,

：.ZAD'M=ZD'AC,

?/AD'=AD,ZAD'C=ZDAB=90°,D'C=AB,

：.^AC'D'^DBA(SAS),

ZD'AC=ZADB,

???ZADB=ZAiyM，

?；AD=A。'，

；?ZADD=ZAUD,

：?ZMDD=ZMD'D，

：.D'M=DM,

在小ADM和VAD'M中，

AD=AD'

<AM=AM,

DM=D'M

：.AAD