上海復旦附中2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末調(diào)研試題含解析

上海復旦附中2023-2024學年高一數(shù)學第二學期期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數(shù)列1,3,6,10，…的一個通項公式是（）A． B．C． D．2．已知，則的值為（）A． B． C． D．3．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．4．若則一定有（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序，已知的初始值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．6．已知向量，則與夾角的大小為()A． B． C． D．7．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④8．若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．9．不論為何值，直線恒過定點A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為銳角，則_______.12．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時21海里的速度航行，一個燈塔M原來在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過40分鐘后，測得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來的距離是_____海里．13．在等腰中，為底邊的中點，為的中點，直線與邊交于點，若，則___________．14．已知直線和，若，則a等于________.15．設奇函數(shù)的定義域為R，且對任意實數(shù)滿足，若當∈[0,1]時，,則____.16．已知，，，則的最小值為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列，等比數(shù)列，，，如果，（1）求的通項公式（2），求的最大項的值（3）將化簡，表示為關于的函數(shù)解析式18．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1，2，3，4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個球被取出的可能性相等.（1）求取出的兩個球上標號為相同數(shù)字的概率；（2）若兩人分別從甲、乙兩個盒子中各摸出一球，規(guī)定：兩人誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由.19．如圖，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于、兩點.（1）如果，點的橫坐標為，求的值；（2）已知點，函數(shù)，若，求.20．若,且,求的值.21．已知關于的函數(shù).（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若對任意的恒成立，求實數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

試題分析：可采用排除法，令和，驗證選項，只有，使得，故選C．考點：數(shù)列的通項公式．2、B【解析】sin(π+α)?3cos(2π?α)=0，即：sinα+3cosα=0，①又∵sin2α+cos2α=1，②由①②聯(lián)立解得：cos2α=.∴cos2α=2cos2α?1=.故選B.3、B【解析】

分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當平面時，三棱錐體積最大很關鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結(jié)果，屬于較難題型．4、D【解析】本題主要考查不等關系．已知,所以，所以，故．故選5、C【解析】

第一次運行：，滿足循環(huán)條件因而繼續(xù)循環(huán)；接下來繼續(xù)寫出第二次、第三次運算，直至，然后輸出的值.【詳解】初始值第一次運行：，滿足循環(huán)條件因而繼續(xù)循環(huán)；第二次運行：，滿足循環(huán)條件因而繼續(xù)循環(huán)；第三次運行：，不滿足循環(huán)條件因而繼續(xù)循環(huán)，跳出循環(huán)；此時.故選：C【點睛】本題是一道關于循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題，需要借助循環(huán)結(jié)構(gòu)的相關知識進行解答，需掌握循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種形式，屬于基礎題.6、D【解析】

。分別求出，，，利用即可得出答案.【詳解】設與的夾角為故選：D【點睛】本題主要考查了求向量的夾角，屬于基礎題.7、C【解析】

根據(jù)線線、線面和面面有關定理，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.8、A【解析】

由的體積計算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應用，根據(jù)已知計算出球的半徑是解答的關鍵，屬于中檔題．9、B【解析】

根據(jù)直線方程分離參數(shù)，再由直線過定點的條件可得方程組，解方程組進而可得m的值．【詳解】恒過定點，恒過定點，由解得即直線恒過定點.【點睛】本題考查含有參數(shù)的直線過定點問題，過定點是解題關鍵．10、B【解析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的圖象向左平移φ（0＜φ＜）個單位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．為偶函數(shù)，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因為，故得到，k=-1,的值為.故答案為B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系得，再根據(jù)角度關系，利用誘導公式即可得答案.【詳解】∵且，∴；∵，∴.故答案為：.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號問題.12、【解析】

畫出示意圖，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【點睛】本題考查解三角形的實際應用，難度較易.關鍵是能通過題意將航海問題的示意圖畫出，然后選用正余弦定理去分析問題.13、；【解析】

題中已知等腰中，為底邊的中點，不妨于為軸，垂直平分線為軸建立直角坐標系，這樣，我們能求出點坐標，根據(jù)直線與求出交點，求向量的數(shù)量積即可.【詳解】如上圖，建立直角坐標系，我們可以得出直線，聯(lián)立方程求出,,即填寫【點睛】本題中因為已知底邊及高的長度，所有我們建立直角坐標系，求出相應點坐標，而作為F點的坐標我們可以通過直線交點求出，把向量數(shù)量積通過向量坐標運算來的更加直觀.14、【解析】

根據(jù)兩直線互相垂直的性質(zhì)可得，從而可求出的值.【詳解】直線和垂直，.解得.故答案為：【點睛】本題考查了直線的一般式，根據(jù)兩直線的位置關系求參數(shù)的值，熟記兩直線垂直系數(shù)滿足：是關鍵，屬于基礎題.15、【解析】

根據(jù)得到周期，再利用周期以及奇函數(shù)將自變量轉(zhuǎn)變到給定區(qū)間計算函數(shù)值.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，則，故，又因為是奇函數(shù)，所以，則.【點睛】（1）形如的函數(shù)是周期函數(shù)，周期；（2）若要根據(jù)奇偶性求解分段函數(shù)的表達式，記住一個原則：“用未知表示已知”，也就是將自變量變形，利用已知范圍和解析式求解.16、1【解析】

由題意整體代入可得，由基本不等式可得．【詳解】由，，，則．當且僅當＝，即a＝3且b＝時，取得最小值1．故答案為：1．【點睛】本題考查基本不等式求最值，整體法并湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】

（1）設等比數(shù)列的公比為，運用等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）判斷的單調(diào)性，可得所求最大值；（3）討論當時，當時，由分組求和，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，，，由，，可得，，解得：，數(shù)列的通項公式：.（2）由題意得，，當時，遞增；當時，遞減；由，可得的最大項的值為.（3）由題意得，當時，；當時，綜上函數(shù)解析式【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的分組求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）這樣規(guī)定公平，詳見解析【解析】

（1）利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的計算公式，求得的概率，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設從甲、乙兩個盒子中各取1個球，其數(shù)字分別為x、y.用表示抽取結(jié)果，可得，則所有可能的結(jié)果有16種，（1）設“取出的兩個球上的標號相同”為事件A，則，事件A由4個基本事件組成，故所求概率.（2）設“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C，則，.可得，即甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率也是，所以這樣規(guī)定公平.【點睛】本題主要考查了古典概型的概率的計算及應用，其中解答中認真審題，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題題.19、(1)；(2)【解析】

（1）根據(jù)條件求出的正余弦值，利用兩角和的余弦公式計算即可（2）利用向量的數(shù)量積坐標公式運算可得，由求出即可求解.【詳解】（1），為銳角，則，點的橫坐標為，即有，，則；（2）由題意可知，，，則，即，由，可得，則，即有．.【點睛】本題主要考查了單位圓，三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)之間的關系，向量數(shù)量積的坐標運算,屬于中檔題.20、【解析】

本題首先可根據(jù)以及誘導公式得出，然后根據(jù)以及同角三角函數(shù)關系計算出，最后根據(jù)即可得出結(jié)果．【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以解得，．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系的應用，考查的公式有、以及，考查計算能力，是簡單題．21、（