安徽等省全國(guó)2023-2024學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽等省全國(guó)名校2023-2024學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子’’的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xwR,

用國(guó)表示不超過X的最大整數(shù)，則y=國(guó)稱為高斯函數(shù)，例如：[-0.5]=-1,=已知函數(shù)

/（幻=47_32+4（0＜》＜2）,則函數(shù)y=[/（x）]的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2）

2.使得方](〃eN+)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()

(XyJX)

A.4B.5C.6D.7

3.已知雙曲線《=l(a>0/>0),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片、工為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G在C的漸近線上，F(xiàn),GIOG,

or”

且J^IOGRG邛I，則該雙曲線的漸近線方程為()

A.y-+^-xB.y=+^-xC.y=±xD.y=±\bx

22

4.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，m=L公差dG[l,2],且“4+20。+為6=15,則實(shí)數(shù)人的最大值為()

753231

A.-B.—C.---D.--

219192

5.已知。>0,b>0,a+b=1,若G=Q+—,/?=〃+—,則a+/的最小值是()

ab

A.3B.4C.5D.6

6.關(guān)于圓周率小數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可

以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)"的值：先請(qǐng)全校m名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(%,)，)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)

能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)。估計(jì)乃的值，那么可以估計(jì)萬的值約為()

4a。+2。+2機(jī)4a+2m

A.-B.----C.------D.-------

mmmm

7.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x>g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|-g(x)是奇函數(shù)

C./(。心⑴是奇函數(shù)D.[〃x)-g(x)是奇函數(shù)

8.已知。=log30，Z?=ln3,c=24"，則仇c的大小關(guān)系為()

A.h>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

9.已知a,b￡R,3+ai=b-(2a-l)i,則()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

10.已知復(fù)數(shù)二滿足z=i(l—z),(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.0B.73C.2D.3

14-y

11.函數(shù)/⑺二舊匚^的圖象大致為

C:

A-dJtBJWL-

F件:一■'：°：'x=

，[JJL

12.函數(shù)/(x)=sin(@x+e)(G>O,O<"<;r)的圖象如圖所示，為了得到g(x)二=cos3r的圖象，可將/(x)的圖

)H

象()IT/,

A.向右平移?個(gè)單位B.向右平移三個(gè)單位

o12

C.向左平移白個(gè)單位D.向左平移?個(gè)單位

126

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/H-J+sinx,若f(a)=M,則/(一。)=.

14.已知三棱錐P-A6C中，AB1BC,PA=PB=AB=258。=也，且二面角P-AB-C的大小為135°,

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.

15.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是.(寫出所有正確命題的序號(hào))

①因?yàn)閟“x+訃S沁,所以/是函數(shù)y=sinx的周期；

②對(duì)于定義在R上的函數(shù)/(x),若/(-2)*/(2),則函數(shù)/(%)不是偶函數(shù)；

③“M>N”是“/og2M>log2N”成立的充分必要條件；

④若實(shí)數(shù)。滿足/K4,則aV2.

16.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=2sinx+|a-3|+|〃一1|.

(D若求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)證明：VxeR,7(x)2|a—3|—，+1恒成立.

a

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-x2+ox(aGR).

(1)若/(x)w0恒成立，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù).f(x)的極值點(diǎn)為.%,當(dāng)。變化時(shí)，點(diǎn)(無0，/(/))構(gòu)成曲線M，證明：過原點(diǎn)的任意直線>=質(zhì)與曲線M

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

19.(12分)如圖所示，四棱錐P-A5CD中，PCJ_底面A8C￡>,PC=CD=2,E為A8的中點(diǎn)，底面四邊形A5CD

滿足NAOC=NOC8=90。，AD=l,BC=\.

(I)求證：平面PDEJL平面PAC；

(H)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;

(DI)求二面角D-PE-B的余弦值.

20.(12分)已知C(x)=k+a|(aeR).

(1)若/(x)習(xí)2%一1|的解集為[0,2],求。的值；

(2)若對(duì)任意xeR,不等式/'(x)=l+夜sin(x+工)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4

21.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前〃項(xiàng)和分別為且偽=2q=2,

b2s3=54,4+(=11?

(1)求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式;

(2)求=01bl+02b2+a3b3++anbn?

(3)是否存在正整數(shù)加，使得濘M恰好是數(shù)列｛%｝或｛2｝中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的加的值；若不

存在，說明理由.

22.(10分)在四棱錐P—4BCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中點(diǎn).

(1)證明：Q4,平面ABCD；

(2)設(shè)尸是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E到平面Q4戶距離最大時(shí)，求面Q4戶與面E4c所成二面角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)/(x)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得y=[f(x)]的

值域.

【詳解】

4*12

因?yàn)?(幻=44_32+4<0<x<2),所以丁=-1-32'+4=式2)-32+4,令2』(l<r<4),則

1,13

2

f(t)=-t-3t+4(l<r<4),函數(shù)的對(duì)稱軸方程為f=3,所以/(f)min=/(3)=-耳，/(On)ax=/(l)=p所以

/We—攝目，所以y=[/G)]的值域?yàn)?/p>

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).

2、B

【解析】

]3S

二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為G：(3X)E(一尸丫，若展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則〃一“尸=(),解得〃=當(dāng)「取2時(shí)，n

Xy]x22

的最小值為5,故選B

【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

3、D

【解析】

根據(jù)鳥GJ_OG,先確定出GK，G。的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線定義將后|OG|=|GKI轉(zhuǎn)化為"力,c,的關(guān)系式，化簡(jiǎn)

后可得到2的值，即可求漸近線方程.

a

【詳解】

如圖所示：

又因?yàn)镴^|OG|=|G用，所以#|OG|=|GFI],所以&|。@=,廠2+入川，

所以610G『=阿2+入川2,所以6a2=k+牝2+?x2cXcos(180。一ZGF2耳),

所以6。2=〃+4c2+28x2cx(-2),所以從=2a2,--y!2,

所以漸近線方程為y=±0x.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)雙曲線中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.

4、D

【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出入=立"，由dG[L2],能求出實(shí)數(shù)2.取最大值.

1+94

【詳解】

1,數(shù)列｛的｝是等差數(shù)列，?i=l,公差dG[l,2],且44+Xaio+ai6=15,

,、即313-18d

.,.l+3d+X(l+9d)+l+15d=15,解得入=-------,

l+9d

13-18d15

VdG[l,2],X=-2+是減函數(shù),

l+9dl+9d

]3—12I

.?.d=l時(shí)，實(shí)數(shù)入取最大值為入=「3=一一.

1+92

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

根據(jù)題意，將。、b代入a+6，利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】

Va>0,方>0,a+b=l9

n1,1,1,1「

a+。=a~\FZ?+—=1H--->Id--------=5

Aabab(a+b),

當(dāng)且僅當(dāng)a=b='時(shí)取“=”號(hào).

2

答案：C

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”

的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大，積定和最小)；三相等是

最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

’0<x<1

由試驗(yàn)結(jié)果知相對(duì)0?1之間的均勻隨機(jī)數(shù)蒼》，滿足八，，面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y),

0<y<1

滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)乃的

值.

【詳解】

解：根據(jù)題意知，團(tuán)名同學(xué)取加對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),即jo<),<「

對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y>\

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有〈

0<x<l

0<y<1

兀1i-an14a+2m

其面積SW一天則n有7=7一/解得乃二-------

m

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)

變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

7、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：/(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),

/(--?)=-/(X),g(-X)=g(x),

=,故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，

l/(-x)|.g(-x)=1為偶函數(shù)，故5錯(cuò)誤，

g(—幻1=一/(x)dg(x)I是奇函數(shù)，故C正確.

"(-x)?g(-x)Rf(x).g(x)I為偶函數(shù)，故。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

8、A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.

【詳解】

因?yàn)閘og3V2<log36=g，

所以a<二.

2

因?yàn)?>e,

所以b=ln3>lne=l,

因?yàn)?>-0.99>—1,y=2'為增函數(shù)，

所以!<c=2/"<l

2

所以力>。>。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

9、C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.

【詳解】

由3+山=力一(2。一1?,

[3=Z?1

得<1c，即。=b=l.

a=l-2a3

:?b=9a.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

z=/(l-z)=l+G故目=及，故選A.

11、D

【解析】

由題可得函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閧XIXH±1},

因?yàn)閒(-x)=ln|Fl=Tn|手|=一〃力,所以函數(shù)，(X)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；

1+x1-x

X/(l.l)=ln21>l,/(3)=ln2<l,所以排除選項(xiàng)A、C,故選D.

12、C

【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到/(X)=sin2x+|L結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.

【詳解】

LT7)7171—?八

由圖象知：一二-------=-=>T=7T??69=2.

2121229

7F

又不=一時(shí)函數(shù)值最大，

所以2x+(p=—+2k.兀(p=—+2k兀.又(pG(0,〃)，

y,從而/(x)=sin(2x+?J,g(x)=cos2x=sin(2x+])=sin271、71

/?(p=X+—+—

3212J3

只需將/(%)的圖象向左平移專個(gè)單位即可得到g(力的圖象，

故選C.

【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)y=4sin(a)x+e)+3(A>O,0>O)的圖象求解析式

(1)|A|=>'ax)'min,8='儂+%in°)由函數(shù)的周期/求包丁二」.

22co

(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求(P,一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(xh-V+sinx,其定義域?yàn)镽,

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又/(-X)=x)3+sin(-%)=-(*3+sinx)=-/(%),

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，因?yàn)?(a)="，

所以=

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中

檔題、?？碱}型.

14、32萬

【解析】

設(shè)的中心為7,A3的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為M,分別過何，7做平面A8C,平面98

的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心0,將的長(zhǎng)度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半

徑.

【詳解】

設(shè)AB43的中心為7,A8的中點(diǎn)為N,AC中點(diǎn)為分別過"，7'做平面A8C,平面R18

的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心。，如圖所示

/y

因?yàn)镻A=PB=AB=2&，BC=O,所以7N=1，NM=—，^C=V14?

2

又二面角P-AB-C的大小為135°,則NTW=135，ZTOM=45，所以

7M2=77V2+MN2-2MN?TN?cosZ.TNM=-,

2

7

設(shè)外接球半徑為R,則。例2=R2-彳，OT2=R2—4，

2

在AO77W中，由余弦定理，得TM?=7X）2+M0z一2M0TO?cosNTOM，

即：=尺2_4+R2_g_J（2R2_7）（R2_4）,解得R2=8，

故三棱錐尸一ABC外接球的表面積S=4兀R2=32萬.

故答案為：32萬.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計(jì)算量較大,

是一道難題.

15、①②④

【解析】

對(duì)①,根據(jù)周期的定義判定即可.

對(duì)②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.

對(duì)③,舉出反例判定即可.

對(duì)④，求解不等式/＜4,再判定即可.

【詳解】

解：因?yàn)楫?dāng)尸兀?時(shí)，sin[x+^\^sinx,

3

所以由周期函數(shù)的定義知y不是函數(shù)y=s譏x的周期,

故①正確;

對(duì)于定義在R上的函數(shù)/(x),

若/(-2)=./(2)，由偶函數(shù)的定義知函數(shù)“X)不是偶函數(shù),

故②正確;

當(dāng)M=1,N=0時(shí)不滿足log2M>log2N,

貝！1"加＞^不是“1%”＞四2乂”成立的充分不必要條件，

故③錯(cuò)誤;

若實(shí)數(shù)“滿足4,

則-2?a<2,

所以aW2成立,

故④正確.

正確命題的序號(hào)是①?④.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.

cn

16、8+—

3

【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為V=LX2X2X4+!X!〃X12X2=8+1.

2323

jr

故答案為：8+y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)(-8,0)L(4,+8)(2)證明見解析

【解析】

(1)將不等式/［彳)>6化為-3|+|。-1|〉4,利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.

(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證2sinxN-|a-l|-'+l恒成立，由2sinx的最小值為-2,得到只要證

a

-2>-\a-\\--+i,即證|a-1|+1+122,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式，證得上式成立.

aa

【詳解】

(1)>6,2+1a—31+1。-11>6,即|。-31+1a—11>4

。一3+。一1>4

當(dāng)。之3時(shí)，不等式化為「??a>4

a>3

(3-a)+(a-1)〉4

當(dāng)1<。<3時(shí)，不等式化為《,此時(shí)。無解

l<a<3

(3—a)+(l-a)>4

當(dāng)時(shí)，不等式化為1,,/.?<0

a<\

綜上，原不等式的解集為(-8,0)(4,+8)

(2)要證X/xeR,/(x)2|a—3|-』+1恒成立

即證VxeR,2sinx>—|a—11---Fl恒成立

a

-+1>2

a

.?.|“一1|+—+122成立，.?.原題得證

a

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法，基本不等式等知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化，分

類與整合思想.

18、(1)a<l；(2)證明見解析

【解析】

InXInX

(1)由/(X)WO恒成立，可得——恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x——，求導(dǎo)可判斷出g(x)的單調(diào)性，

XX

進(jìn)而可求出g(x)的最小值g(X)min，令a<g(X)min即可；

(2)由/(幻=二2'+?+1,可知存在唯一的3e(o,+8),使得r(x°)=O,則—2%+辦。+1=0,a=,

Xxo

進(jìn)而可得/=+即曲線"的方程為y=lnx+/-i,進(jìn)而只需證明對(duì)任意ZeR,方程

Inx+f—1=區(qū)有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)F(x)=lnx+x2—日—1,分&<()、0<%<2&和女>20三種情況，

分別證明函數(shù)尸(x)在((),+8)上有唯一的零點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

InY

(1)由題意，可知x〉0,由/(尤)40恒成立，可得——恒成立.

x

./、Inx,x2-1+Inx

令g(x)=x-----，貝ljg'(zx)=

XX2

令〃(xQf-l+Inx,則/z'(x)=2x+—,

x

./x>0,，〃'(x)>0,

〃(x)=V-1+m8在(0,+8)上單調(diào)遞增，又力⑴=0,

二XG(0,1)時(shí)，h(x)<0；XG(l,+oo)h(x)>0,

即xw(0,l)時(shí)，g'(x)<0；xw(l,+oo)時(shí)，g'(x)>0,

.?.XG(O,1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；xe(L+co)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，

；.x=l時(shí)，g(x)取最小值g⑴=1,

2

(2)證明：由/(x)=」_2x+a=：2x+融:1,^T(x)=-2x+ax+l,

XX

由T(0)=l>。，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的毛￡(0,+8),使得廣(為)=0,故/(X)存在唯一的極值點(diǎn)方,

9「1

貝ij-2x：+ax(}+1=0,。=2x0---,

*0

2

f(x0)=Inx0-玉)2+ax()=Inx()+x()-1,

?.曲線M的方程為y=Inx+/一1.

故只需證明對(duì)任意ZwR,方程比工+/一1="有唯一解.

17r2—-I-1

令/(x)=lnx+f一米一1,則尸(x)=L+2x-Z=一q十1,

XX

①當(dāng)ZW0時(shí)，F(xiàn)'(x)>0恒成立，.?/(》)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

veA<l,e2*<1,F(ek)=k+e2k-kek-l=k(l-ek)+e2i-1<0,

尸(1)=一左NO,.??存在r滿足時(shí),使得產(chǎn)⑺=0.

又F(x)單調(diào)遞增，所以為唯一解.

②當(dāng)0〈攵420時(shí)，二次函數(shù)y=2f一日+1,滿足△=/?—8<0,

則9⑴部恒成立，E(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

.F(l)=-k<Q,F(e3)=3+e6-)le3-l=(e3-^)2+e3(2V2-/:)>0,

.??存在re(l,e3)使得E(f)=O,

又F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，.?」=/為唯一解.

③當(dāng)%>20時(shí)，二次函數(shù)y=2f-日+1,滿足△=公一8>0,

此時(shí)尸'(X)=0有兩個(gè)不同的解x,,x2>不妨設(shè).r,<x2,

列表如下:

XX(x,+oo)

(0,x,)X|(XpX2)22

F'(x)+0—0+

/(x)/極大值極小值7

由表可知，當(dāng)％=王時(shí)，/(x)的極大值為F(X])=lnXI+x：-h；]-l.

22

2xt-^+1=0,F(xt)=Inx,-x1-2,

0<x,<——-<,In%]<xj+2,

2

/.F(X1)=In$-X：一2<(),:.F(X2)<F(xl)<0.

F(ek2)=k2+e2M-8,一1=(1-0)』+左2_i?

下面來證明苫2_k>0，

?O2[

構(gòu)造函數(shù)機(jī)(x)=x2-Inx(x>2>/2),則m(x)=2x——=------,

xx

.??當(dāng)不￡(2后,+8)時(shí)，m(x)>0,此時(shí)〃Mx)單調(diào)遞增，

m(x)>m(2>/2)=8—ln2>0,

2

二XG(2&,+8)時(shí)，%2>Injr>e>elnv=x?

故6-k>0成立.

F(ek2)=(*-1)e，+12-1>0，

二存在fe(辱/)，使得FQ)=O.

又F(x)在(&，+8)單調(diào)遞增，為唯一解.

所以，對(duì)任意女eR,方程lnx+爐—1="有唯一解，即過原點(diǎn)任意的直線>=履與曲線”有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問題，考查學(xué)生的

計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于難題.

19、(I)證明見解析(II)(DI)-生僅.

317

【解析】

(I)由題知O￡_LPC,如圖以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線CD、CB、CP分別為"八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算

DEAC=O>證明。七_(dá)LAC,從而￡>￡_L平面％C,即可得證；

(U)求解平面POE的一個(gè)法向量〃，計(jì)算cos(〃,CP)，即可得直線PC與平面POE所成角的正弦值；

(HI)求解平面P5E的一個(gè)法向量m，計(jì)算即可得二面角D-PE-8的余弦值.

【詳解】

(I)PCL底面A3CD,DEYPC,

如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CZXCB、CP分別為"八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),0(2,0,0),5(0,3,0),P(0,0,2),A(2,l,0),￡(1,2,0),

二DE=(-1,2,0),AC=(-2,-1,0),.AC=0，

：.DE±AC,又CP「C4=C,，。石，平面P4C,

;￡)￡u平面PQE,平面PDEJ_平面/MC；

(n)設(shè)〃=(±，x，zj為平面PZ)E的一個(gè)法向量,

又PE=(1，2,—2),DE=(-1,2,O),CP=(0,0,2),

n-DE--x,+2y,=0,,.

''，取,=1,得〃=(2,1,2)

則V

n-PE=xi+2yi-2zi=0)

n-CP2

2

直線PC與平面PDE所成角的正弦值-；

(IH)設(shè)機(jī)=(工2，%，22)為平面/>8￡'的一個(gè)法向量,

又尸3=((),3,-2),E8=(-1,1,0),

PB=3y2-2z=0

則2取＞2=2,得加=(2,2,3),

n?EB=-x2+必=°

n-m_4^17

/.cos(m.n

|n|-|m|17

二二面角D-PE-B的余弦值-生叵

17

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計(jì)算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的

應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.

20、(1)a=l；(2)(-00,2]

【解析】

(1)利用兩邊平方法解含有絕對(duì)值的不等式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出。的值；(2)利用絕對(duì)值不等式求出

/(x)+|x-a|的最小值，把不等式八x)=l+應(yīng)sin(x+J化為只含有。的不等式，求出不等式解集即可.

【詳解】

(1)不等式/(力,2%_1,Bp|x+a|>|2x-l|

兩邊平方整理得3f-(2a+4)x+l-a2<0

由題意知0和2是方程3_?一(24+4)》+1-。2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

0+2=^^^

3

即《2，解得”=1

cc1—a

0x2=----

3

(2)因?yàn)?(x)+|x-a|=|x+tz|+|x-a|>|(x+?)-(x-tz)|=2|<?|

所以要使不等式f(x)=l+母sin(x+()恒成立，只需2時(shí)23a-2

當(dāng)。20時(shí)，2aN3a-2,解得即0＜。＜2；

2

當(dāng)avO時(shí)，一2a23a-2,解得。＜二，即ovO；

綜上所述，。的取值范圍是(-吟2]

【點(diǎn)睛】

本題考查了含有絕對(duì)值的不等式解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題.

n

21、(1)a?=2n-1,bn=2-3-'；(2)Mn=2(n-l)-3"+2；(3)存在，1.

【解析】

(1)利用基本量法直接計(jì)算即可;

(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算;

、Sm+Tm+.療一l+3'向“*人W2_1+3?.+1

(3)————=―-------eN,令=可得(L-D(病-1)=(3-L)3"‘，1<4,3,討論即可.

Sm+Tm>―1+3"'nr-\+T

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為q,

因?yàn)閎[=2a、=2,b2s鼻=54M2+4=11,

3

2q(3+3d)=54號(hào):解得q:3q=——

所以《,即,d=2’或2(舍去).

l+d+2+2q=lld+2g=8

d=5

所以q=2〃-1也=2-3"T.

21

(2)Mn=afy+a2b2+a3h3++anbn=1X2+3X2X3+5X2X3H--F(2n-l)x2x3"-,

3M?=1X2X3+3X2X32++(2n-3)x2x3B-1+(2n-l)x2x3M,

所以-2監(jiān)=2+4(3+32++3"T)-(2〃_1)X2X3”,

=2+4*里三~^一(4〃—2"3”=-4—(4〃-4).3"

所以〃“=2(〃-1)-3"+2.

(3)由(1)可得S“=〃2,4=3"-1,

/n2-l+3),,+l

所以下+勺