湖北省十堰市北京路中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

湖北省十堰市北京路中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，則向量的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．2．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知a=log0.92019，b=A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<c C．b<a<c D．b<c<a4．已知向量，，，則（）A． B． C． D．5．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．36．如圖，函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A．B．C．D．8．在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若c=2bsinC，B≤πA．π6 B．π4 C．π9．下列函數(shù)中最小值為4的是()A． B．C． D．10．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（）A．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.12．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________．13．設(shè)點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則=____.14．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則_______.15．設(shè)向量，，且，則______．16．已知，則的最小值為_(kāi)______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知為等差數(shù)列，且，．求的通項(xiàng)公式；若等比數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和公式．18．設(shè)，若存在，使得，且對(duì)任意，均有（即是一個(gè)公差為的等差數(shù)列），則稱數(shù)列是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”.（1）判斷下列數(shù)列是否為“弱等差數(shù)列”，并說(shuō)明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數(shù)列為“弱等差數(shù)列”.（3）對(duì)任意給定的正整數(shù)，若，是否總存在正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．已知是遞增的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)．（1）若，證明：函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在上有局部對(duì)稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在有兩個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先求出向量，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出夾角的余弦值．【詳解】∵，∴．設(shè)向量的夾角為，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和向量夾角的求法，解題的關(guān)鍵是求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及特殊位置即可利用排除法選出正確答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A，C；又因?yàn)?，故排除B．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，涉及余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a=log由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得b=20190.9>所以a<c<b，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于中檔題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間-∞,0,4、D【解析】

利用平面向量垂直的坐標(biāo)等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，，，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，解題時(shí)將向量垂直轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積為零來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先由三視圖判斷該幾何體為底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】據(jù)三視圖分析知，該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為1和，三棱柱的高為，所以該幾何體的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的三視圖，由三視圖求幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】

根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，去掉中絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，函數(shù)的圖象是B選項(xiàng)中的圖象.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)與正弦函數(shù)的圖象，去掉絕對(duì)值是關(guān)鍵，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.7、D【解析】

根據(jù)圖象可得最小正周期，求得；利用零點(diǎn)和的符號(hào)可確定的取值；令，解不等式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由圖象可知：又，，由圖象可知的一個(gè)可能的取值為令，，解得：，即的單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求解余弦型函數(shù)的解析式、余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式來(lái)求解解析式和單調(diào)區(qū)間，屬于常考題型.8、A【解析】

利用正弦定理可求得sinB=12【詳解】因?yàn)閏=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinB=1【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的運(yùn)用，難度較小.9、C【解析】

對(duì)于A和D選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求，對(duì)于B選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“相等”要求，即可選出答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.但無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，熟練掌握基本不等式的步驟為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、B【解析】

先化簡(jiǎn)得，根據(jù)函數(shù)圖像的變換即得解.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

時(shí),,利用時(shí),可得,最后驗(yàn)證是否滿足上式,不滿足時(shí)候,要寫成分段函數(shù)的形式.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),=,又時(shí),不適合,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了由求,注意使用求時(shí)的條件是,所以求出后還要驗(yàn)證適不適合,如果適合,要將兩種情況合成一種情況作答,如果不適合,要用分段函數(shù)的形式作答.屬于中檔題.12、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個(gè)扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求,∴P==.13、【解析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，列方程求出m的值．【詳解】P（m，）是角終邊上的一點(diǎn)，∴r＝；又，∴＝，解得m＝，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知求，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x．【詳解】∵；∴；∴x＝﹣1；故答案為﹣1．【點(diǎn)睛】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

運(yùn)用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的運(yùn)用求最小值，需要滿足一正二定三相等.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求得首項(xiàng)與公差，則的通項(xiàng)公式可求；求出，進(jìn)一步得到公比，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．【詳解】為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由已知可得，解得，．；由，，等比數(shù)列的公比，的前n項(xiàng)和公式．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．18、（1）①是，②不是,理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，證明見(jiàn)解析【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據(jù)題意找出符合條件的為等差數(shù)列即可；

（3）首先，根據(jù)，將公差表示出來(lái)，計(jì)算任意相鄰兩項(xiàng)的差值可以發(fā)現(xiàn)不大于．那么用裂項(xiàng)相消的方法表示出，結(jié)合相鄰兩項(xiàng)差值不大于可以得到，接下來(lái)，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開(kāi)可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)為，而已知，因此在足夠大時(shí)顯然成立．結(jié)論得證.【詳解】解：（1）數(shù)列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數(shù)列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”

否則，若數(shù)列②為“弱等差數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，

，

，又與矛盾，所以數(shù)列②2，，，，不是“弱等差數(shù)列”；

（2）證明：設(shè)，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數(shù)列為“弱等差數(shù)列”；（3）若存在這樣的正整數(shù)，使得

成立．

因?yàn)?，?/p>

則，其中待定．

從而，

又，∴當(dāng)時(shí)，總成立．

如果取適當(dāng)?shù)?，使得，又?/p>

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側(cè)展開(kāi)為關(guān)于的多項(xiàng)式，最高次項(xiàng)為，其次數(shù)為，

故，對(duì)于任意給定正整數(shù)，當(dāng)充分大時(shí)，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)，使得等比數(shù)列：是一個(gè)長(zhǎng)度為的“弱等差數(shù)列”.【點(diǎn)睛】本題要求學(xué)生能夠從已知分析出“弱等差數(shù)列”要想成立所應(yīng)該具備的要求，進(jìn)而進(jìn)行推理，轉(zhuǎn)化，最后進(jìn)行驗(yàn)證，本題難度相當(dāng)大.19、（1）；（2）【解析】

（1）{an}是遞增的等比數(shù)列，公比設(shè)為q，由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程可得所求；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，求得bn=2n+1，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，化簡(jiǎn)可得所求和．【詳解】（1）∵是遞增的等比數(shù)列，∴，，又，∴，是的兩根，∴，，∴，.（2）∵，∴由已知得，∴∴，化簡(jiǎn)可得.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，等差等比數(shù)列的通項(xiàng)通常是列方程組解首項(xiàng)及公差（比），數(shù)列求和常見(jiàn)的方法有：裂項(xiàng)相消和錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】

試題分析：(1)利用題中所給的定義，通過(guò)二次函數(shù)的判別式大于0，證明二次函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn)；(2)利用方程有解，通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為打鉤函數(shù)有解問(wèn)題，利用函數(shù)的圖象，確定實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)利用方程有解，通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間有解，建立不等式組，通過(guò)解不等式組，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)由得=,代入得,=,得到關(guān)于的方程=).其中,由于且,所以恒成立,所以函數(shù)=)必有局部對(duì)稱點(diǎn).(2)方程=在區(qū)間上有解,于是,設(shè)),,,其中，所以.(3),由于,所以=.于是=(*)在上有解.令),則,所以方程(*)變?yōu)?在區(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:.即,