第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）-高二數(shù)學(xué)精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出方程表示雙曲線時參數(shù)的取值范圍，從而可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，故，故，而為的真子集，故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A.2．已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合線段和差的三角不等式列式求解即可.【詳解】令橢圓的左焦點(diǎn)為，有，由橢圓定義知，

顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時取等號，當(dāng)點(diǎn)與重合時，，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C3．已知是拋物線：上一點(diǎn)，過的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．24 B．28 C．30 D．32【答案】D【分析】求出拋物線方程后，設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程消元后，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義可得，利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，故，則拋物線方程為，設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立，故的最小值為，故選：4．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，，則的周長是（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出c，a的值.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，，

如圖，，所以為正三角形，又因?yàn)橹本€過且垂直于，所以，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，顯然,則，，所以，解得，,由圖，直線垂直平分，所以的周長等于的周長，.故選：D.5．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線的定義可得，從而可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題，，則，根據(jù)雙曲線的定義，又，得，所以，所以其漸近線方程為.故選：C6．拋物線上兩點(diǎn)（不與重合），滿足，則面積的最小值是（

）A．4 B．8 C．16 D．18【答案】C【分析】設(shè)直線為且，且，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求得，根據(jù)已知有，直線過定點(diǎn)，再由求最值.【詳解】由題設(shè)，可設(shè)直線為且，且，聯(lián)立，消去得，故，則，由，易知，則或（舍），故的方程為過定點(diǎn)(4,0)，由上知：，則面積為，時等號成立.故選：C7．已知雙曲線虛軸的一個頂點(diǎn)為D，分別是C的左，右焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若的重心在以為直徑的圓上，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨取，再求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而求得重心的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，解得，由此得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線，則其虛軸上的頂點(diǎn)為，不妨取，聯(lián)立，解得，則兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的重心的坐標(biāo)為，即，因?yàn)椤鰽BD的重心在以為直徑的圓上，而為直徑的圓的方程為，所以，解得，所以的漸近線方程為.故選：D.8．已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，滿足．設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件畫出圖形結(jié)合圓錐曲線的定義及條件可得，然后利用點(diǎn)差法可得，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】由題可知在左支上在右支上，如圖，設(shè)，在左準(zhǔn)線上的射影為，因?yàn)?，則，所以，設(shè)，則，所以，，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出，然后利用點(diǎn)差法得，根據(jù)基本不等式即得.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q在第四象限，若，則（

）A．為等腰直角三角形 B．C的離心率等于C．的面積等于 D．直線l的斜率為【答案】ABC【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知，且滿足，即可得A正確；易知可得C正確；在等腰直角三角形中，可知直線的斜率為，計算可得的離心率等于.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，不妨設(shè)，又因?yàn)椋傻?；利用橢圓定義可知，所以；即，所以點(diǎn)即為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，如下圖所示：

由，可知滿足，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，因此的面積為，故C正確；此時可得直線的斜率，故D錯誤；故選：ABC.10．若雙曲線：與雙曲線關(guān)于直線對稱，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)點(diǎn)的軸對稱性，可得答案.【詳解】由題意得的焦點(diǎn)分別為，．設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，得，設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，得，故的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．故選：AC11．設(shè)拋物線E：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線E上不同的兩點(diǎn)，且，則（

）A．線段AB的中點(diǎn)到E的準(zhǔn)線的距離為4B．直線AB過原點(diǎn)時，C．直線AB的傾斜角的取值范圍為D．線段AB的垂直平分線過某一定點(diǎn)【答案】ABD【分析】先求出，可判斷A與B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理與判別式可判斷C，化簡的垂直平分線方程可判斷D．【詳解】由題意知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)，由拋物線：，得，由拋物線的定義得，所以，所以線段AB的中點(diǎn)到E的準(zhǔn)線的距離為，故A正確；直線AB過原點(diǎn)時，設(shè)，則，所以，，所以，故B正確；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，由得，所以，得，又，得，故或，故C錯誤；直線AB的斜率存在時，線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以線段AB的垂直平分線的方程為，又，所以得，直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率不存在時也成立，故D正確．故選：ABD．12．隨著我國航天科技的快速發(fā)展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要作用，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)作直線l交x軸于，交y軸于點(diǎn)N，則（

）A．C的漸近線方程為B．過點(diǎn)作，垂足為H，則C．點(diǎn)N的坐標(biāo)為D．四邊形面積的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)方程，可直接求出漸近線方程，即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推得點(diǎn)為的中點(diǎn).進(jìn)而得出，結(jié)合雙曲線的定義，即可判斷B項(xiàng)；由已知可得，進(jìn)而結(jié)合雙曲線方程，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷C項(xiàng)；由，代入利用基本不等式即可求出面積的最小值，判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可得，，所以雙曲線的漸近線方程為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，如圖，

，且滿足，所以直線的方程為，聯(lián)立化簡得，由于，即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點(diǎn).則垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn)，所以，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，設(shè)，則，整理可得.又，所以有，所以有，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C項(xiàng)錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，四邊形面積的最小值為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】利用余弦定理將角度的范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓離心率的不等式即可.【詳解】因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?，所以，所以，，，在中，由余弦定理得：，故，即，即，不等式，即，解?舍去)或不等式，即所以.故答案為：14．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積.【答案】2【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長，再分別利用余弦定理聯(lián)立可得，最后根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故由得，又因?yàn)椋?，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以雙曲線方程為，則，設(shè)，，，所以，

故答案為：215．已知拋物線上三點(diǎn)，若直線AB，AC的斜率互為相反數(shù)，則直線BC的斜率為【答案】/-0.5【分析】先求得拋物線的方程，設(shè)出直線的方程，由此聯(lián)立方程組，整理后可得直線的方程，從而求得直線的斜率.【詳解】將代人，得，則拋物線方程為.設(shè)，聯(lián)立，得.由于A，B，C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)為該方程的三個根，所以B，C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)滿足.又，所以.故直線BC的斜率為.故答案為：16．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由，的平分線與直線PQ垂直，結(jié)合圖像，根據(jù)雙曲線的定義，找出各邊的關(guān)系，列出等式，求解.【詳解】依題意，由，得，即的平分線與直線PQ垂直，如圖，設(shè)的平分線與直線PQ交于點(diǎn)D，則，，又，所以，所以，．由題得，，設(shè)，，，在中，，，則，，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)，且.(1)求此橢圓的方程；(2)若點(diǎn)在第二象限，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，根據(jù)橢圓定義得到，然后求即可得到橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)數(shù)量積的公式列方程，然后解方程得到，最后利用三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由題意可得，，，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則①，，，因?yàn)?，所以②，由①②得，所?18．已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)是軸上兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，若直線與的另一個交點(diǎn)為，直線與的另一個交點(diǎn)為，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)(2)直線與圓相交，理由見解析【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，求解即可.（2）設(shè)，由點(diǎn)在圓上，得出，由的坐標(biāo)，得出直線方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo).從而得到直線方程，通過直線過定點(diǎn)，，從而得出點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.【詳解】（1）因?yàn)榈碾x心率為，所以，所以，漸近線方程，因?yàn)辄c(diǎn)到一條漸近線距離為，所以，解得，所以的方程為.（2）直線與圓相交，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，

由（1）得，直線方程為：與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，，因?yàn)橹本€與都有除以外的公共點(diǎn)，所以，所以，即，同理當(dāng)，.，所以直線方程為：，令得，，即直線經(jīng)過定點(diǎn).因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交.19．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，一條漸近線方程為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)若過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在定點(diǎn)M，.【分析】（1）根據(jù)漸近線方程，求出a,b的關(guān)系，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，最后解出a,b即可.（2）考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程并代入雙曲線方程并化簡，進(jìn)而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與得到答案.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，依題意，即，又，于是，所以雙曲線的方程是．（2）雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：，，由消去y得：，顯然，設(shè)，，則，假設(shè)存在點(diǎn)符合條件，而，由，得，即，整理得，于是，整理得，依題意，對任意的恒成立，因此，解得，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線與雙曲線的二交點(diǎn)，不妨令，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時，，所以存在定點(diǎn)M符合條件，．20．以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法求解即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量共線探討出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，并確定的坐標(biāo)，再計算即得.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，則，由，得，而，于是，，同理，而，于是，則，，令，而是橢圓上的動點(diǎn)，則，得，于是，所以存在和，使得是定值，且定值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．21．已知橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)到其兩個焦點(diǎn)的距離之和為.(1)求橢圓的離心率的值.(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.(3)已知平面內(nèi)有點(diǎn)，求過這個點(diǎn)且和橢圓相切的直線方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】（1）根據(jù)題意求出，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解；（2）先求出橢圓的方程，再利用點(diǎn)差法求解即可；（3）分直線斜率是否存在討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)即可得解.【詳解】（1）由題意可得橢圓得焦半徑，，故，所以橢圓的離心率；（2）由（1）得，所以橢圓得方程為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為弦的中點(diǎn)，所以，由，兩式相減得，即，所以，即，所以直線的方程為，即；（3）當(dāng)所求直線斜率不存在時，直線方程為，此時直線與橢圓相切，符合題意，當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消得，則，